Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Det ser spontant korrekt ut. Jag tror det hade blivit tydligare att följa om du använt notationen aᵢ, bᵢ och cᵢ för strängarnas komponenter, men tankegången ser som sagt helt korrekt ut.

Ifall uppgiften hade frågat efter själva härledningen så hade det kanske också varit tydligare om man använt mer matematisk notation (implikationspilar, etc.), men kan man beskriva det strukturerat i ord så bör det räcka långt, och dessutom så frågade de ju inte efter själva härledningen, om jag tolkade uppgiften rätt, utan bara om huruvida påståendet var sant eller inte (för att svara på det så bör man ju dock kunna härleda det snarare än att gissa).

Tusen tusen tack för ditt svar! Har inte förstått allt riktigt än, men jag är på god väg!

Det jag undrar är över den meningen jag citerade nu. Hur menar du? Jag tänkte att φ stod för vinkeln som den lilla cirkeln roterat, men det kan den ju inte göra eftersom man inte skulle kunna ta differensen mellan θ och φ för att få just φ.

Kan du förklara en gång till vad φ är?

Tror att polletten trillar ner snart.

Och åter igen tack för hjälpen!

φ är vinkeln som b roterat i den lilla cirkelns koordinatsystem, men för att få värdet på φ just när b och c möts för andra gången (poängen är att detta gäller generellt under rörelsen, men min tanke var att det skulle vara lättare att visualisera just för mötespunkterna) så måste vi kompensera för att den lilla cirkeln även roterat i den stora. Låt oss säga att b och c möts första gången när φ = 0. φ behöver inte gå ett helt varv innan b och c möts igen, då kontaktpunkten inte kommer vara då φ = 0 nästa gång, utan med en vinkelskillnad som blir just θ, vilket är det som används när de kompenserade cirkelbågarna likställs för att lösa ut φ som funktion av θ. När vi kan uttrycka φ(θ) så kan rörelsen parametriseras i endast θ, vilket är anledningen till den lilla utflykten.

Ett annat sätt att se samma sak är att introducera en hjälpvinkel ψ i den lilla cirkeln som hela tiden har sin referens i kontaktpunkten och når till b. Dels kommer denna vinkel ändra sig när b roterar medurs, men den får även ett tillskott när kontaktpunkten rör sig moturs på den lilla cirkeln. Summeras detta så ser man att ψ = θ − φ (minustecken för att hålla på vinkelkonventionen med positiva vinklar moturs… Ständigt dessa tecken ), att det inte slirar ger att R θ = r ψ, vilket efter substitution ger oss det tidigare uttrycket.

Fick en uppföljningsfråga i PM som jag vänder tillbaka till tråden. Jag skrev:

Detta är sant, men det bör förtydligas att det gäller för b i den lilla cirkelns koordinatsystem, inte för b:s rörelse i det globala koordinatsystemet. I det globala så kommer även den lilla cirkeln i sig ha flyttat sig, vilket ger en mer komplicerad rörelse. Faktum är att det är exakt den typen av sammansatt rörelse vi försöker "räkna ut", och får om vi sätter d = r (det specialfallet kallas för en hypocycloid).

b har alltså rört sig en lika lång sträcka på den lilla cirkeln (som samtidigt roterar åt andra hållet) som kontaktpunkten har rört sig på den stora cirkeln i varje given stund: det är det som menas med "no slip"-villkoret här, dvs att cirkeln inte slirar.

Slänger in en bild från Wikipedia, vilket förhoppningsvis inte förvirrar alltför mycket trots att den har använt lite andra beteckningar än jag:

Deras t och t′ (t̂ i Wikipedias text) är mitt θ respektive φ (egentligen med minustecken, men det använder Wikipedia också i sin text, även om det ser annorlunda ut på bilden). Den tjocka svarta pilen motsvarar mitt ψ — jag tror dock att den lilla cirkeln redan snurrat ett helt varv på bilden och är inne på sin andra cykel, men det är oklart om bilden är tänkt att vara matematiskt korrekt i sina proportioner eller bara illustrativ; jag är tyvärr rätt säker på att det är det senare, så försök inte "mäta i bilden".

I övrigt refererar jag till genomgången på den länkade Wikipediasidan som är utförlig. Den är inte så farlig som den ser ut, om man börjar nysta i deras variabler.

Har inte riktigt tid att lösa uppgiften just nu men tror man ska göra på följande sätt.
Gravitationen som påverkar motorcykeln beror på backens vinkel(a). Denna är cos(a)*9,81(gravitationen).
Gravitationen måste vara mindre än accelerationen som påverkar motorcykelns masscentrum uppåt för att framhjulet ska lyfta.
Du får sen räkna ut vinkeln(b) från backdäcket där det är i marken och masscentrum.
Du kan nu räkna ut accelerationen som krävs genom: tan(b)=gravitationen/(accelerationen rakt fram).

Hoppas det stämmer/hjälper dig.

Vad har du själv för tankar kring uppgifterna? Vart i dem är det du kör fast?

Om vi börjar med uppgifterna 4, 6 då.

Vet du vad betydelsen av => och <=> är?

Vet du vad en linjär funktion är?

Då bör du nog börja här http://sv.wikipedia.org/wiki/Lista_%C3%B6ver_matematiska_symb... för att kolla upp vad de olika symbolerna betyder. Alternativt finns det kanske något exempel i din mattebok? Vilken kurs är det?

Har en kort fråga, förhoppningsvis.

Vad innebär det att någonting är en "precis matematisk formulering"?

Svårt att säkerställa utan sammanhang. Det betyder troligen bara att det existerar ett fullt matematiskt ramverk för att beskriva en viss process, jämfört med att bara kunna beskriva det "i ord".

För att ta ett påhittat exempel: om jag säger: "ju fler rävar man har i skogen, desto färre kaniner finns det" så är det på egen hand inte en "precis matematisk formulering" av processen. Om jag däremot kan ställa upp ekvationer som beskriver detta samspel och kan ge svar på frågor som "hur påverkas antalet kaniner i detta läge av en fördubbling av antalet rävar?" så kanske det går att säga att jag har en "precis matematisk formulering" av problemet. Här måste det inte betyda att modellen är perfekt, utan snarare bara att den går att uttrycka på ett matematiskt vettigt sätt.

Men som sagt: utan sammanhang anser jag inte att det går att säkert säga exakt vad som menas. Saxa gärna in en hel mening.

Tack för svar, hade på känn att jag borde ha inkluderat dess sammanhang.

Frågan lyder:

dT/dt = – λ(T – TR)

"Förklara varför differentialekvationen ovan är en precis matematisk formulering av avsvalningslagen".

Jag svarade genom att utgå från formeln ovan och räkna ut T(t) = Ke^(–λt) + TR men är osäker om det var det som efterfrågades.

Jag skulle också tro att det är vad de vill att ni ska göra: dvs visa att differentialekvationen innehåller all matematisk information för att uttrycka en "avsvalningslag" som ni antas kunna utantill på förhand.

Du kan exempelvis införa och substituera x med hjälpvariabeln ξ = x + 3 (dvs byta ut alla x mot ξ − 3) och då i stället beräkna gränsvärdet när ξ → 0 (vilket ju är samma sak som att x → −3).

Följ sedan samma metod som du säkert tittat på för att räkna liknande gränsvärden. I korthet: utveckla alla paranteser, förenkla, dela med lägsta kvarvarande potensen av ξ och låt sedan ξ gå mot 0, vilket bör ge dig ett svar.

Jovars, det uppstår en hel del möjligheter att räkna fel i uppgifter med mycket utveckling . Har man koll på kvadrerings- och kuberingsregler så att man kan utveckla ()³ och ()² enkelt (och felfritt) så ska man dock vara i hamn. Har man inte full koll på dessa så märker man att de är smidiga att lära sig.

En viktig reflex som kommer med mycket övning är att kunna göra kontinuerliga felkontroller i varje led när man räknar. Man sparar i längden mycket tid på att automatiskt kasta ett snabbt getöga bakåt och kontrollräkna upptäcka eventuella fel direkt när de gjorts, hellre än att upptäcka dem ett par led senare.

För fullkomlighets skull så kan jag nämna att man kan slippa en hel del algebra genom att först förenkla uttrycket för hand genom att dela bort gemensamma rötter mellan täljaren och nämnaren. I väldigt utförliga steg:
   (2 x³ + 12 x² + 18 x) ∕ [ (x³ − 9 x) (x + 3) ]
[Bryt ut x ur första parantesen i nämnaren och förkorta; dvs dela bort den gemensamma roten x = 0]
      = (2 x² + 12 x + 18) ∕ [ (x² − 9) (x + 3) ]
[Faktorera ut tvåan i täljaren]
      = 2 (x² + 6 x + 9) ∕ [ (x² − 9) (x + 3) ]
[Faktorera ut rötterna till täljaren, dvs "lös andragradaren"; här extra enkelt då vi direkt kan identifiera kvadreringsregeln]
      = 2 (x + 3)² ∕ [ (x² − 9) (x + 3) ]
[Förkorta gemensam faktor; dvs dela bort den gemensamma roten x = −3]
      = 2 (x + 3) ∕ (x² − 9)
[Identifiera konjugatregeln i nämnaren och se att den förenklar saker]
      = 2 (x + 3) ∕ [ (x + 3) (x − 3) ]
[Förkorta med ytterligare en rot x = −3]
      = 2 ∕ (x − 3)
[Substituera med ξ som tidigare, eller än enklare bara låt x → −3 direkt nu när alla rötter i −3 har förkortats]
      → 2 ∕ (−3 − 3) = 2 ∕ (−6) = −1 ∕ 3, x → −3

Har man snälla uttryck så att man direkt kan se sådana förenklingar så kan de spara mycket tid. Om man inte ser något uppenbart så kan man ofta lika gärna substituera direkt och utveckla, och försöka hålla tungan rätt i mun. Med övning så blir man dock bättre på att mer eller mindre direkt se rötter till "tillrättalagda" polynom.

Hej!
Ska hitta alla rötter ut följande tal: z^4-z^3-5z*2-z-6, jag vet en rot vilket är z-i. Jag försökte använda mig av polynomdivision men man verkar bara få en loop när man ska få bort allt rest. Har då använt mig av (vet inte vad det heter) då man tar alla konstanter och roten därefter multiplicerar man roten, alltså i, men konstanten, den konstanten adderar man sedan med nästa konstant. Skickar en bild som gör det tydligare:

i i det vänstra hörnet multipliceras alltså med det tal under det helstreckade, den produkten skickas sedan snett uppåt. i*1=i och därefter adderas den med konstanten över som hamnar precis under den streckade linjen. Behöver hjälp med vad som ska göras här näst för jag har glömt då vi hade en snabb genomgång av det och inget av detta står i boken.