Matematiktråden – få hjälp med dina matematikproblem här!

Man kan ju se det som att de decimala talsystemet inte kan beskriva alla tal. Dock går ju 100/3 att beskriva just genom att skriva 100/3, eller 33 + 1/3 eller nått annat som utnyttjar bråk. Så ett enkelt svar är, nej, det blir inte 33.33333... men det är det närmaste vi kommer om vi vill beskriva talet med decimaler.

Ja, 0.999999..... och 1.0000000..... är ju faktiskt samma tal.

Det råkar bara vara så att det finns fler än ett sätt att skriva tal i decimalform ibland. Man gör lite felet att tänka sig talen som om de vore ändliga decimalutvecklingar.
Det är just att man går "hur långt som helst" som möjliggör detta fenomen.

Du kan, som Haffe också säger, tänka dig så här : Om dessa tal inte är lika, hur mycket skiljer de sig ? 0.1 ? Nää, det är mindre än så.
0.001 ? Nää, det är mindre än så 0.0000001 ? näää, mindre... osv

Vilket litet tal du en säger så är skillnaden mindre än så. Och då måste ju faktiskt skillnaden vara 0 för att det logiskt ska gå ihop..och då är de samma tal.

Jag håller inte riktigt med (fast jag vet att det är allmänt känt att 0.999999... = 1). Du säger att oändligt lite = 0? Eller? Hur kan då oändligt många oändligt lite bli någonting? (tänk integral)

Nja, jag använde inte begreppet "oändligt lite".
Det där med att man ofta brukar säga att en integral är en oändlig summa oändligt tunna staplar med oändligt liten area är inget strikt matematiskt resonemang utan mer ett slags intuitivt handviftande.
För att definiera integral så använder man gränsvärden, som avskaffar behovet av att tala om oändligt små eller stor mängder.
Ursprungligen så var det dock annorlunda, men integralkalkylen fick till sist en rigorös grund, baserad på gränsvärdesbegreppet, i slutet på 1800-talet.

Att ett icke-negativt tal som är mindre än varje givet positivt tal måste vara 0 var det jag använde mig av.

Man kan dock, har det visat sig (även om det inte tillhör standardteorin), använda sig av ett slags utökat talsystem för att definiera integraler.
Nämligen alla vanliga reella tal plus alla sk. infiniter och infinitesimaler.
En (positiv) "infinit" är ett "tal" "större" än alla reella tal och en (positiv) "infinitesimal" ett positivt tal mindre än alla positiva reella tal.

Sådana tal finns inte i det vanliga talsystemet och måste därför "läggas till".
Med hjälp av dessa kan man definiera integraler och liknande.

De vanliga decimaltalen räcker dock som sagt bra för att definiera integraler.

Lösning finns, fräsigheten kan dock diskuteras.
h1 = den sträcka den långa stegen når upp på väggen
h2 = den sträcka den korta stegen når upp på väggen
h = skärningspunktens vertikala höjd = 2,4 m
s1 = horisontell sträcka från den korta stegens markpunkt till skärningspunkten
s2 = horisontell sträcka från den långa stegens markpunkt till skärningspunkten
S = s1 + s2 = grändens bredd

* Pythagoras sats => h1^2 + S^2 = 9^2 => h1 = sqrt(81 - S^2)
* Pythagoras sats => h2^2 + S^2 = 6^2 => h2 = sqrt(36 - S^2)
* h2*s1/S = h1*s2/S => s1 = s2*h1/h2
* S = s1 + s2 => S = (1+h1/h2)s2
* likformighet => s2/h = S/h1 => S = (1+h1/h2)hS/h1 => h = h1(1+h/h2) = sqrt(81 - S^2)(1 - h/sqrt(36 - S^2)) (1)

Här kan man till exempel införa y^2 = 36 - S^2 och erhålla
h = sqrt(45+y^2)(1-h/y) => h^2 = (45 + y^2)(1-h/y)^2 => (hy)^2 = (45+y^2)(y-h)^2, eller om man så vill
y^4 -2hy^3 +45y^2 -90hy +45h^2 = 0
Denna ekvation orkar jag dessvärre inte göra så mycket åt. Kanske har någon en bättre metod?

Numerisk lösning av (1) ger för övrigt S = 4,864 m

Kom också fram till en fjärdegradsekvation när jag försökte.
Dock så känns det ju som att det borde finnas någon smidigare lösning här.
Varför skulle det behövas en ekvation med 4 rötter liksom..

Man ser rätt snabbt att vi har två likformiga trianglar under stegarna. Vi kallar dem 1 och 2. 1 är under den långa stegen och 2 är under den korta.

Vi får följande ekvationer.

a1 = C*a2 där C är en konstant.
b1 = C*b2
c1 = C*c2
b1 + b2 = 9
c1 + c2 = 6
S = s1 + s2 där S är den sökta sträckan
(b1 + b2)^2 = a1^2 + S^2 (phytagoras under långa stegen)
(c1 + c2)^2 = a2^2 + S^2 (phytagoras under korta stegen)
c1^2 = h^2 + s1^2 där h = 2.4
b2^2 = h^2 + s2^2 där h = 2.4

Antal ekvationer = 10
Antal okända = 10 (a1, a2, b1, b2, c1, c2, C, s1, s2, S)

Alltså borde ekvationssystemet gå att lösa. Blir inga 4:e-gradare va? Orkar inte kolla, men jag skulle inte tro det.

Zartax : Prydligt och snyggt uppställt.
Dock så leder dessa ekvationer just till nämnda 4:e gradare (iallfall när jag försöker lösa). Men det är mycket möjligt att det på något smart sätt går att slippa ifrån det..
Själv har jag varit för sommarslö för att finna det ännu dock...

Jag med, hehe.

Införandet av vinklar kanske underlättar lite, men jag orkar inte just nu.

Då har du fått helt rätt.
Det finns inte ett unikt sätt att välja ut två basvektorer i kolonnrummet.
Ditt svar är precis lika rätt.
Dina två vektorer och de i facit spänner upp precis samma 2-dimensionella rum.

Notera tex att du kan få vektorn (-1,6,4) som en linjärkombination av vektorerna i den andra basen :
(-1,6,4) = (-1)*(1,5,7) + 11*(0,1,1) .

Hmm.
(z-3)/(z-1)^2 är ju redan partialbråksuppdelat i sig så långt det går ?

Eller menar du någor annat liknande ? Vilken form vill du ha den i ?

Ok. Har aldrig själv jobbat med z-transform, men sökte lite och det finns ett litet knep här som hjälper :
Du har A(z)= (z-3)/(z-1)^2. Knepet är att inte direkt partialuppdela detta (som ju är uppdelat så långt det går) utan istället partialuppdela funktionen
A(z)/z = (z-3)/(z*(z-1)^2).

Du får då (kan ha räknat fel, räknade lite snabbt)

A(z)/z = -3/z + 3/(z-1) - 2/(z-1)^2

Sedan multiplicerar du båda led med z :

A(z) = -3 +3*z/(z-1) -2z/(z-1)^2

Nu kan du lätt finna invers z-transform tex genom denna tabell :

http://mathworld.wolfram.com/Z-Transform.html

Om du känner definitionen på definitionsmängd är det väl bara att använda denna?

För reell logaritm gäller att ln(x) ej är definierat för x <= 0, vilket medför att definitionsmängden för ln(x-3) är x > 3.

I det komplexa fallet gäller att ln(z) = ln(|z|) +i*arg(z), vilket innebär att endast |z| = 0 är odefinierat. Definitionsmängden för ln(x-3) är alltså x != 3

Jag har en lösning, men den får tyvärr inte plats