Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Ute efter någon som kan trigonometri igen!

Har uppgiften: Bestäm de okända vinklarna i fyrhörningen

Drog då en diagonal och kallade den sidan för x

Använde cosinussatsen så jag fick ut vad x var

x^2=81+121-144cos60

x=11.40 eller √130

Använder då sinussatsen för att få ut vinklarna y respektive z

sin60/√130=sinY/11

sin^-1(11sin60/√130)=Y=56.66°

Då bör ju z vara 180-60-55.66=63.33°

Kontrollräknar

sin60/√130=sinZ/9

sin^-1(9sin60/√130)=Z=43.123°

Förstår att jag gjort något fel, men förstår inte vad. Och sen, skulle även vara bra att veta hur jag får ut de andra vinklarna(Skulle gissa att jag använder mig av cosinussatsen(Alltså vinkeln vid C=cos^-1((8^2+10^2-√130^2)/2*8*10)=77°, men det är inget av svarena i facit, så det lär ju vara fel) Har jag alltså räknat ut x fel?)

Edit: Svarena är för övrigt 68°, 97° och 135°

x^2=a^2+b^2-2abcos60? Eller är jag helt fel ute? Och 2*7*8 är väl 144? o.O

ops ja, menade 9 och 11, och jaha, använde 9 och 8 där, men 9/11 innan, liten miss där. Tack för att du uppmärksammade rokkie-misstaget

Edit: Använde mig nu av det nya värder för x(√ 103) och allting stämmer bra

Idiot behöver hjälp igen

Från en 19 meter hög klippa kastas en sten rakt upp i luften med en hastighet av 8m/s. Vi bortser från luftmotståndet och räknar med en acceleration på g = 9,8m/s^2 vid fritt fall.

a) Bestäm ett funktionsuttryck h(t), där t är tiden i skeunder, som beskriver stenens höjd över ytan

h(t)=19+8t-4.9t^2 (Enligt facit, får det till samma men förstår inte varför man tar 9.8/2?, kan någon förklara? Är det pga (at^2)/2? )

Edit: Fick fram svaret på B och allt, undrar bara varför det är 4.9/2, är det pga s=v_0t+at^2/2?

Vill inte dubbelposta så kan någon på enkelt sätt förklara hur man får fram primitiv funktion till e/e^x?

f(x)= e/e^x F(x)=?

Skickades från m.sweclockers.com

Sitter på telefon just nu och kan inte se posten du hänvisar till. Kommer till startsidan

Skickades från m.sweclockers.com

Tack så mycke! Förstod att täljaren kunde struntas i.Men dum som få, F(x)n av 1/e^x är 1/e^(x+1)*(x+1) ? Så primitiva funktionen är e/e^(x+1)*(x+1) känner mig helt fel utw(?)

Skickades från m.sweclockers.com

Ja: a i formeln s = at² ∕ 2 betecknar acceleration, och accelerationen är ju här gravitationsaccelerationen g. Alltså är
   at² ∕ 2 = gt² ∕ 2 ≈ 9.8 m/s² ⋅ t² ∕ 2 = 4.9 m/s² ⋅ t²

Den formeln för sträckan gäller för likformig acceleration (dvs accelerationen är konstant) där man startar från "sträcka 0" och "hastighet 0". Här startade man från "sträcka 19 m", alltså lade man till en konstant term. Dessutom startade man med "hastighet 8 m/s", vilket genom högstadieklassikern "s =v ⋅ t" ger termen 8 m/s ⋅ t. Denna formel för avstånd bör finnas i varje formelsamling för gymnasiefysik.

—

Ska man undersöka exemplet mer för att förstå var formeln kommer ifrån så kan man lägga märke till likheten mellan matematisk integrering och svaret.

Låt säga att vi börjar med accelerationen a. Om du har sett ett "a t-diagram" så vet du att hastigheten representeras av arean (med tecken) under kurvan. Hur får man fram sådana areor under kurvor? Jo, vi integrerar. Alltså kan vi övertyga oss om att hastigheten är integralen av accelerationen med avseende på tiden, dvs (om vi antar att accelerationen a är konstant i tiden):
   v(t) = ∫ a dt = a t + C
Vad är integrationskonstanten C? Testa med att sätta in t = 0: då får vi att v(0) = C. Alltså är C hastigheten vid tiden 0, dvs begynnelsehastigheten. Normalt kallas den v₀

På samma sätt så har du nog sett ett "v t-diagram", där arean (med tecken) under kurvan representerar sträckan som färdats. I andra ord: sträckan är integralen av hastigheten med avseende på tiden. Låt oss därmed ta vårt uttryck för hastigheten och integrera igen:
   s(t) = ∫ v(t) dt = ∫ a t + v₀ dt = a t² ∕ 2 + v₀ t + D
där vi har en ny integrationskonstant D. På samma sätt som tidigare ser vi att t = 0 ger s(0) = D, och alltså är D begynnelsepositionen, vilken kan kallas s₀.

Sammantaget ger detta:
   s(t) = a t² ∕ 2 + v₀ t + s₀
vilket är din formel. Du har fått värden på a, v₀ och s₀ som bara är att sätta in (och de kallar s för h, men det spelar ingen större roll).

Notera hur kvadraten på t och faktorn ½ dyker upp naturligt genom integration, snarast ur enbart definitionen av "sträcka", "hastighet", "acceleration" och "tid". Det är inte en "empirisk" formel som bara dykt upp genom mätningar, utan det är en matematisk sanning utifrån vad vi menar med "acceleration".

Hur kan 2x^3+2x-2 ha bara en rot? 2(x^3+x-1)=0 => x^3+x-1=0 Eller är jag fel ute?

Ja, förstod att den har 3 och 2 av dom är imaginära, men hur kan jag se att bara en av dem är reell?

Aha, det är alltså en terasspunkt?

Om man bortser från diskretiseringsproblem i uppgiften (om en kvinna kan få ett barn på nio månader, kan nio kvinnor då få ett barn på en månad?) och i stället antar kontinuitet i katternas musoperation så räknar man mest konsekvent ut det genom att införa enheten "kattminut".

Hur många möss per kattminut kan fångas enligt givna förutsättningar? Låt oss kalla detta effektiviteten E:
   E = (6 möss) ∕ (6 katter ⋅ 6 minuter) = 1 ∕ 6 m/(k min)
Nu kan vi räkna ut hur många kattminuter vi behöver för att fånga 10 möss. Om man knappt vill behöva tänka så kan man använda "tricket" med dimensionsanalys: vi behöver eliminera "möss" och få upp "kattminut" i nämnaren, dvs invertera E och multiplicera med antalet möss:
   (10 möss) ∕ E = 60 k min
OK, så vi behöver få ihop 60 kattminuter för att fånga 10 möss. Uppgiften säger att det ska ske under 10 minuter, så (t ex genom enhetsanalys igen, fast det är rätt trivialt) vi behöver dela antalet kattminuter med antalet minuter för att få antalet katter:
   60 k min ∕ 10 min = 6 k
dvs 6 katter.

Vi kan skriva upp detta som en funktion för katterna i uppgiften om vi vill:
   K(m, t) = ⌈ m ∕ (E t) ⌉
där K är antalet katter som behövs för att fånga m möss under tiden t med effektivitet E [möss ∕ (katt ⋅ tidsenhet)]. "⌈ ⌉" betyder att svaret ska rundas upp till närmsta heltal (vi vill inte ha halva katter, och vi vill få tillräckligt med möss).

Så ja, du tänker rätt, men att det blev så fina siffror var för att problemet var fint uppställt. Ifall de hade frågat efter hur många katter som krävdes för att fånga 33 möss på 5.45 minuter så hade det blivit svårare (svar: 37, direkt från formeln ovan!).

En katt på väg att fånga en mus.

function xprim = testdiff (t,x)
    xprim = [C*sin(x(1)); x(2)];
end

Du har tappat ett minustecken innan C, men framför allt så ska du byta på indexen 1 och 2. Det är det stora logiska felet i din kod. Index 1 representerar ju v (eftersom du har skrivit uttrycket för v ′ som första element) och index 2 u.

Att indexen är "blandade" så att index 2 refererar till x(1) och vice versa är det som gör att ekvationerna är kopplade. Just nu löser `ode45` två separata system samtidigt, varav inget är av intresse.

[t,X1]=ode45('testdiff',[0 5],[pi/4 0]); %[0 5] är intervallet, [pi/4 0] är begynnelse värden.

"Fnuttarna" ser jag ingen anledning till, och är rent ut sagt förvånad att/om det fungerar utan att Matlab klagar med mycket röd text. Du har också blandat ihop ordningen på begynnelsevärdena. Systemet är lösbart ändå, och kommer utvecklas med samma ungefärliga karakteristik, men om y börjar på 0 när du plottar så ser du att du uppenbarligen har fel enligt givna villkor. Sådana kontroller bör alltid göras när man väl har en bild klar.

Ytterst vanligt under matematikutbildning .

Du ska som sagt byta på indexen samt begynnelsevärden, ta bort fnuttarna från funktionsnamnet och sätta in ett minus på ett bra ställe. Jag tror det är allt som felar, från det jag kan se. Approachen är helt rätt i övrigt.

—

Ett försök att förklara vad som händer: du vill skriva
   y ″ + C sin y = 0
   y (0) = π/4   (du skrev π/3 ovan, men π/4 i dina kodexempel)
   y ′ (0) = 0
som ett system av två första ordningens differentialekvationer.

Som du säger så ska du göra substitutionen
   y ′ = v
vilket blir en av dina ekvationer (än har vi inte "gjort något", utan bara "definierat något"). Den andra kommer från att skriva in denna substitution i din originalekvation:
   v ′ = −C sin y
(vi har fortfarande egentligen bara definierat saker). Notera att båda ekvationerna är av första ordningen, och att de beror "diagonalt" på varandra: y ′ beror på v, och v ′ beror på y.

Vad Matlab anbelangar så vill det ha en vektor med dessa ekvationer för att kunna kötta på med sin lösare. För att inte återanvända notation och skapa förvirring (notera att min notation inte är den du har i din kod), låt oss definiera vektorn u enligt
   u = [y, v]
vars komponenter vi redan har uttryck för. Naturligt är då även att säga:
   u ′ = [y ′, v ′] = [ u(2), −C sin u(1) ]
där u(1) noterar u:s första komponent, osv. Begynnelsevillkoren är nu också, om jag får misshandla notationen lite:
   u(0)(0) = π/4
   u(1)(0) = 0

Än så länge har vi bara definierat problemet på en form med vektorn u ′. Denna form råkar vara den som Matlabs `ode45` gillar, så trots att vi knappt gjort något så är vi egentligen klara. Bara att trycka in denna funktionsvektor, intervallet och begynnelsevärden i `ode45` och plotta eller göra vad man vill.

Det att lära sig, utöver Matlabs egenheter med funktioner, är att `ode45` tar högerledet i en funktion på formen
   y ′ = f(t, y)
och ger dig tillbaka numeriska lösningar för y och motsvarande t. I fallet ovan med kopplade ekvationer så gjorde man något mer avancerat genom att trycka in ett system av ekvationer på den formen som till och med berodde på varandra, men det klarar Matlab och Runge-Kutta av.

Det kan vara bra att även plotta markörer för varje evalueringspunkt. Ifall du ser att det blir ordentligt tjockt med punkter i någon del av utskriften så kan du ha fått tag i en problematisk ("styv") ODE och kan behöva titta på Matlabs andra rutiner för ODE-lösning.