"Massa" är ett begrepp som Einstein krånglade till en hel del. E = m c² — energi är massa (med en konstant skalfaktor c² i "vanliga", för ändamålet osmidiga, enheter), så om man tillför energi till ett system så ökar den massa som påverkar gravitationen.
För att förankra resonemanget så kan man titta på fission/fusion: en uran-235-kärna har en viss massa. Om du låter den sönderfalla och mäter vilomassan för de resulterande delarna var för sig så kommer de summera till mindre än kärnans ursprungliga massa — faktum är att skillnaden i massa är exakt den energi som delarna fick när de fissionerade och flög ifrån varandra. Om du tänker dig att du sätter ihop atomen igen så kommer den återfå sin ursprungliga massa (detta kommer ju dock kräva energi, vilket åter lagras i konstellationen).
Solen jobbar åt andra hållet: då en helium-4-kärna har mindre massa än beståndsdelarna (två protoner, två neutroner) var för sig så frigörs en mängd energi (notera hoppet mellan H-1 och He-4 i grafen nedan) när två protoner slås ihop (väldigt förenklat sagt; utförligare om proton-proton-cykeln). Det krävs mycket energi för att att nå över den elektrostatiska barriären (lika laddning repellerar, protonen har laddning +e), men eftersom det är så varmt i solen så har protonerna tillräcklig kinetisk energi för att nå över denna "potentialkulle" (Coulombbarriären) så att den starka kärnkraften, som verkar över mycket kortare distanser, ska kunna ta över och se till att heliumkärnan binds ihop. Detta frigör då alltså än mer energi genom masskillnaden, vilket gör att reaktionen fortgår, och solen fortsätter lysa.
Dock så är masskillnaden inte speciellt stor (minst sagt) relativt uranets/protonernas massa. Det krävs alltså väldigt mycket energi för att åstadkomma en liten masskillnad, eller omvänt: en liten masskillnad motsvarar mycket energi.
Diagram från Nuclear binding energy [Wikipedia]:
För de ämnen som är till vänster om högsta punkten (järn-56) så kommer generellt (med några få undantag, som synes; läs om skalmodellen för mer insikt i detta ifall det är intressant) sammanslagning (fusion) frigöra energi. För de ämnen som är långt till höger om järn-56 så kommer generellt sönderdelning (fission) frigöra energi. Om man vill så kan man säga att alla ämnen spontant strävar efter att bli järn-56, men hindras av barriärer av olika slag. Notera också att det är mycket större skillnad i bindningsenergi till vänster: fusion med lätta kärnor frigör alltså bra mycket mer energi än fission med tunga kärnor. Dessutom är lätta kärnor mycket vanligare att hitta, så vi skulle gärna vilja kunna utnyttja sollik fusion snarare än dagens kärnkraft, vilket forskas på.
Innan uranet sönderdelas/efter heliumkärnan bildats så säger man att extraenergin är lagrad i kraftfält. Kan man alltså tillföra energi till ett system så lagras den i motsvarande fält, och bidrar till massan.
Det om det, men ja: ditt förslag om att leda ström genom eller värma upp ett ämne ökar alltså faktiskt den massa som är källa till gravitationsfältet, och den minskar igen när strömmen slutar eller ämnet kyls. Tittar du på Einstens ekvation för mass-energi-ekvivalens så ser du dock att det handlar om "piss i Mississippi"-effekten. Energi är massa, massa är energi, men lite massa motsvarar en massa energi .
serpent29s länk till Mass–energy equivalence [Wikipedia] är helt rätt länk i frågan, och exemplet med att den snurrande Jorden har flera miljarder extra ton massa jämfört med om den varit still är slående (det motsvarar likväl bara en försumbar del av Jordens totala massa, men ändå).