Hej Ts, jag har inte läst särskilt mycket matte men gymnasiematten och lite till har jag läst och känner att jag behärskar den relativt väl så jag har gjort en liten lapp som förklarar logaritmfunktionen på ett väldigt basic och egentligen felaktigt sätt men lappen beskriver iaf hur logaritmfunktioner fungerar såpass att man får en tillräcklig "förståelse"
Då jag skrev på ett A4 ska jag ladda upp bilden imorgon så fort jag får tillgång till en usb-adapter till min mobil. Men i korthet så frågar logaritmfunktionen bara vilket tal x som en exponentialfunktion med en given bas (den givna basen ger namnet på logaritmfunktionen t.ex 2a-logaritmer för exponentialfunktionen 2^x som alltså har basen 2.) ska upphöjas till för att bli ett visst tal.
T.ex så är 2a-logaritmen av 4 lika med 2. 2-alogaritmen av 4 som skrivs 2log(4) är alltså frågan: vilket tal x skall exponentialfunktionen 2^x upphöjas till för att bli 4? Och svaret är som vi vet att talet x är 2 då 2^2=4
e-logaritmen(e) blir då 1 eftersom exponentialfunktionen med basen e skall upphöjas till talet 1 för att bli e. som ekvation blir detta e^x=e och har svaret x=1 dvs ln(e)=1. Likaså är 5e-logaritmen av 5 lika med 1 då exponentialfunktionen med basen 5 ska upphöjas till 1 för att bli 5.
sen kan man lite fiffigt upphöja ett tal till sin samma logaritmfunktion som talet för att genom definitionen av logaritmfunktionen få ett bra omskrivningssätt. Det funkar som så att man upphöjer t.ex talet e till e-logaritmen för ett visst tal låt oss säga e^e-logaritmen av 4 och enligt definitionen av en logaritmfunktionen betyder detta e upphöjt till det tal som e skall upphöjas till för att bli 4 och är då lika med 4. Eftersom ln(4) eller e-logaritmen av 4 frågar vilket tal x exponentialfunktionen e^x skall upphöjas till för att ekvationen e^x=4 ska stämma och ln(4) är alltså exakt lika med det talet x som uppfyller ekvationen e^x=4. Och om vi då upphöjer e till exakt det talet x som e skall upphöjas till för att bli 4 DVS ln(4) så blir ju resultatet givetvis 4 alltså e^e-logaritmen av 4 eller e^ln(4) ÄR lika med 4 DVS e^ln(4)=4.
Likaså är e^ln(f(x))=f(x) och e^ln(2)=2 och e^ln(971)=971
(och vilken bas som helst b)^b-logaritmen av vilket tal som helst x = x som man skriver b^b-log(x)=x
Sen finns det också några logaritmlagar som gör räkning med logaritmer särskilt bra för att göra om multiplikation till addition och division till subtraktion. Det finns enkla härledningar till varför logaritmlagarna funkar att hitta på t.ex matteboken.se som är en kanonsida.
Men det fina med att gå på gymnasiet är att du får ha formelblad exakt hela tiden och du behöver därför inte lära dig logaritmlagarna utantill!
En central tillämpning av logaritmlagarna är vid lösning av exponentialfunktioner. Detta kommer du redan ha använt och det är då att lna^t=t*lna som tillåter en att lösa just exponentialfunktioner med en given bas upphöjt till ett okänt tal (väldigt ofta x) som blir ett känt tal. Det ser ut som så här: b^x=45 och löses då förslagsvis genom att b-logaritmera bägge led enligt: b-log(b^x)=b-log(45) => x*b-log(b)=b-log(45) och vi vet ju nu att b-log(b) ÄR lika med 1 eftersom b-logaritmen(b) frågar vilket tal x som löser exponentialfunktionen b^x=b och det är 1 Alltså får vi nu x*1=b-log(45). Man behöver dock inte vara allt för finurlig och välja den logaritmfunktion man tycker passar bäst utan man kan t.ex alltid köra med ln eller e-logaritmen och då löser man samma exponentialfunktionsekvation enligt:
b^x=45 => ln(b^x)=ln(45) => x*ln(b)=ln(45) => x=ln(45)/ln(b) Och om b är t.ex 5 så ser det ut som:
5^x=45 => ln(5^x)=ln(45) => x*ln(5)=ln(45) => x=ln(45)/ln(5)
Nu kan du också hävda att matte är bajs eftersom att enligt definitionen är ln(bajs) exakt det talet som e skall upphöjas till för att bli bajs och därför är e^ln(bajs)=bajs.
Ursäkta för övertydlighet och upprepningar men bättre det än tvärtom. Samt även ursäkta för lathet då jag inte skrivit i något program så att det blir mer begripligt men jag tror det funkar ändå.