Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Troligtvis, men tom matte 4 har du inga sådana tabeller vid provet, däremot har du grafräknare vid sådana uppgifter....

Dessutom, enligt min mattelärare, approximerar man "slutet" av en normalfördelning vid 10x standardavvikelse.
Kanske är detta en allmän regel inom matte som man inte har en förklaring för, lite som 50^0 = 1, kanske sa hon det för att vid de tal som vi (Ma4) räknar med så räcker 10x standardavvikelse.

Vad vi fick på nationella:
http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/FORMELSAMLING-4.pdf

Får du använda formelsamling under provet? Annars finns det en sats du behöver lära dig utantill för att lösa fråga 2.

EDIT: Såg att du skrev att formelsamling är ok. Titta då på randvinkelsatsen. Den används för att lösa andra frågan.

Det finns en god förklaring för x^0 = 1.

Naturligtvis, och 1=(a^n)/(a^n)=a^(n−n)=a^0, men "god" förklaring?
Har sett härledningarna och massor med förklaringar, men fortfarande:

X^1 = X
X^2 = X*X
X^3 = X*X*X
X^0 = ?

@TsExi vill du fortfarande ha en komplett lösning på båda två eller har du fått tillräckligt?

Rekommenderar dig att posta i #15441759

Jag, och många andra som är grymt mycket bättre, håller ett öga på den tråden så förhoppningsvis får du bra svar.

X^3 = X*X*X
X^2 = X*X
X^1 = X
X^0 = 1 då x^a / x^a = x / x som du redan visat. Jag tycker att det är en god förklaring.

Detta är egentligen bara ett ekvationssystem med tre (linjärt oberoende) ekvationer och fyra obekanta, vilket gör att du kan bestämma tre variabler uttryckta i den fjärde. Lämpar sig för matrisberäkning om ni sysslat med sådant.

Om det inte är tänkt att lösas med matriser så är det bara att börja "skala av" variablerna en efter en. Räkna ut skärningspunkten mellan de två först givna ekvationerna. Det ger dig en x- och en y-koordinat för skärningspunkten, uttryckta i a och b. Stoppa in denna skärningspunkt i sambandet y = 3 x och förenkla, så får du ett samband mellan a och b som behöver gälla för att de tre linjerna ska skära i samma punkt.

Det du skriver är lösningarna till andragradsekvationen, men de frågar efter när du får två distinkta reella lösningar. Det sätter krav på vilka värden a kan anta. När dyker imaginära tal upp? När får du två sammanfallande lösningar (dvs en "dubbelrot")?

Jag antar att denna bild försökt återskapas med Paint eller något liknande efter bästa förmåga?

Ska ellipsen vara en cirkel? Ska M i så fall vara cirkelns mittpunkt, eller är det en fokuspunkt i ellipsen? Ska AB vara lika lång som BC? Det känns som att det behövs en tydligare bild eller åtminstone information om vad de olika punkterna ska beteckna innan det går att börja lösa denna uppgift.

Den serie du tittar på använde ju x = √3, vilket gav den förenklade termen ln n ∕ n². Den termen är ju dock större än 1 ∕ n² som du försökte jämföra med, så det ger i sig ingen information om dess konvergens — det säger bara att serien är större än en viss konvergent serie. Du behöver hitta en bättre serie att jämföra med.

1. n⁴ ∕ n⁷ = 1 ∕ n^(vad?)

2. Är serier från n = 1 till ∞ med följande termer konvergenta?

   • 1 ∕ n

   • 1 ∕ n³

   • 1 ∕ n^(3 ∕ 2)

   • 1 ∕ n^(1.1)

   • 1 ∕ n^(0.1)

   • 1 ∕ n^(0.9)

3. För stora n, är ln n större eller mindre än följande termer?

   • n

   • n²

   • n¹⁰

   • n^(1 ∕ 2)

   • n^(1.01)

   • n^(0.01)

Det finns en enkel regel bakom varje separat numrerad punkt ovan som man bör ha koll på, vilket hjälper till med att hitta en "bra" serie att jämföra med.

I första uppgiften så får du ett ekvationssystem att lösa. Låt säga att någon ger dig ekvationerna
   a + 2b = 7    (1)
   7a − b = 4    (2)
(dvs två ekvationer och två obekanta). Utifrån dessa så kan du bestämma värdet då dina obekanta variabler a och b genom att kombinera ekvationerna. Ett sätt är att ur exempelvis ekvation (2) flytta om så att du kan uttrycka b i termer av a:
   (2) ⇒ b = 7a − 4    (3)
Detta uttryck för b kan nu sättas in i ekvation (1) för att få ett värde på a:
   (1) & (3) ⇒ a + 2 (7a − 4) = 7
                ⇒ 15a = 7 + 8 = 15
                ⇒ a = 1    (4)

Ibland kallar man detta för att "eliminera b", dvs man uttrycker b i övriga variabler och masserar om uttrycken för att "bli av" med en obekant.

Detta värde på a kan man nu stoppa in i egentligen vilken av våra ursprungliga ekvationer som helst för att få b; låt säga att vi väljer ekvation (3) som ser snäll ut:
   (3) & (4) ⇒ b = 7 a − 4 = 7 ⋅ 1 − 4 = 3
Utifrån två ekvationer med två obekanta så har vi nu bestämt båda dessa obekanta. Wolfram Alpha håller med.

Hade man haft tre ekvationer med tre obekanta så hade man på samma sätt kunnat lösa ut alla dessa tre obekanta, genom att plocka av en efter en. När man får många obekanta så går man gärna över till matrisräkningar (och allra helst låter man en dator jobba, och just matriser är något av datorers absoluta paradgren).

I ditt fall så börjar du med ekvationer för två linjer. Det är ett ekvationssystem. Löser du detta (dvs hittar värden på de obekanta variablerna x och y — a och b är visserligen också obekanta, men det är ju dessa du vill hitta ett senare samband mellan) så får du i praktiken en koordinat (x, y) uttryckt i a och b.

Nästa fråga är när denna punkt även ligger på den tredje angivna linjen. Sätt in uttrycken för x och y i detta sista samband och se hur a förhåller sig till b.

Sammanfattat så handlar uppgiften om att lösa ekvationssystem. Läs på om detta och öva på enklare fall tills det sitter i muskelminnet.

——

Fråga 2 är tvådelad: dels behöver du hitta lösningen till andragradsekvationen vilket är vad du gjort, men du ska också säga för vilka värden på a som lösningarna är reella och distinkta.

• När uppstår imaginära tal i dina lösningar? Vilka krav ställs på a för att de ska undvikas här?

• När är x₁ = x₂ (dvs icke distinkta)? Hur undviks detta?

Då blev det rätt mycket lättare att se något .

Titta på randvinkelsatsen. Medelpunktsvinkeln kan du få utifrån de avstånd som givits.

(För övrigt så ser det tränade ögat att de har döpt vinkeln till den grekiska bokstaven ν och inte "v".)

Korrekt, vi har inte exakt dessa potenser i detta fall, men principen kan vi använda.

Korrekt.

Alla positiva potenser av n blir förr eller senare större än ln n för växande n. Jag minns en person vars metod för att beräkna gränsvärden mot ∞ var att sätta in stora tal på miniräknaren som tvivlade på att detta var sant, men det är i sanning sant (om än man ibland skulle behöva trycka in större tal än en miniräknare kan hantera — sensmoral: lita på analysen snarare än miniräknaren).

Så, om vi kan hitta en potens av n som är större än ln n (vilket enligt ovanstående inte är så svårt) så kan vi ersätta ln n med denna potens i seriens term för att få en term som är större än din givna serie. Är denna term därutöver en del av en konvergent serie, dvs den kan förenklas till formen 1 ∕ nᵖ, där p > 1, så har vi hittat en serie som är

1. (förr eller senare) termvis större än Σ ln n ∕ n² från n = 1 till ∞

2. konvergent

Jämförelsesatsen skulle då ge att Σ ln n ∕ n² från n = 1 till ∞ är konvergent.

Vissa val av denna potens är mer naturliga än andra, men allt som fungerar är ju giltigt.

Ja, det är skärningspunkten för de första två linjerna. Nu ska du kontrollera för vilka a och b (om några) denna punkt ligger på den tredje linjen y = 3x. Sätt in de uttryck för x och y du har i denna tredje linjens ekvation och se vad relationen mellan a och b blir.

Ja, något händer vid a = 2. Om jag skriver om dina lösningar x₁ och x₂ som:
   x = a ∕ 2 ± √[ (a³ − 8) ∕ 2a) ]
dvs skriver kvadratrottermen på gemensamt bråkstreck, och vi från uppgiften vet att a > 0, så ser vi att tecknet på uttrycket inuti kvadratroten skiftar just vid a³ = 8, dvs vid a = 2. Vi kan inte beräkna kvadratroten ur negativa tal, men genom att vi definierar √−1 = ⅈ så kan vi hantera situationen hjälpligt ändå: om vi får ett negativt tal under en kvadratrot så flyttar vi ut ett ⅈ och byter tecknet inuti kvadratroten.

Så, om 0 < a < 2 så kommer vi få en negativ kvantitet inuti kvadratroten (testa exempelvis att stoppa in a = 1 och se vad som händer), vilket betyder att lösningarna blir komplexa. Det ville vi inte tillåta.

Om a = 2 så kommer kvadratrottermen försvinna (också lätt att testa). Det gör att båda lösningarna får samma värde. Det ville vi inte heller tillåta.

Om däremot a > 2 så kommer vi en positiv kvantitet inuti roten, vilket gör våra lösningar reella. Vi kommer dessutom få distinkta lösningar eftersom termen efter ±-tecknen inte försvinner, vilket de frågade efter.

Eftersom n⁵ är en positiv potens av n, och därmed som vi konstaterade större än ln n för stora n, så är Σ n⁵ ∕ n² från n = 1 till ∞ visserligen större än Σ ln n ∕ n² från n = 1 till ∞ (vilket var villkor 1 i mitt förra inlägg), men det är ju som du själv säger inte en konvergent serie (vilket var villkor 2), så den hjälper inte som en jämförelse. n⁵ > ln n var alltså inte en lyckad ansatt olikhet för att lösa uppgiften — det var för "stort".

Tricket är att antingen hitta en konvergent serie där termerna är större än den betraktade seriens (vilket ger att den betraktade serien är konvergent), eller att hitta en divergent serie där termerna är mindre än den betraktade seriens (vilket ger att den betraktade serien är divergent). I det första fallet visar man att den betraktade seriens summa är mindre än ett visst tal, och alltså måste ha ett värde (även om man inte säger vilket det är). I det andra fallet visar man att serien är större än en serie som inte kan sägas vara mindre än något visst tal, och alltså måste detsamma gälla för den betraktade serien.

Svar på fråga två: B. ax-by=0

Du ser att den vertikala linjen skär x-axelns positiva sida, och att den horisontella linjen skär y-axelns negativa sida. Därför måste a*x vara positivt, och b*y negativt. a och b är siffervärden som kan anta vilka positiva (a) eller negativa (b) värden som helst.

T.ex. 5x-5y, vilket ger oss en genomskärning på 5 på x-axeln, och en genomskärning på -5 på y-axeln.