Skrivet av Alakai:
Mina elever frågade mig en nötig fråga angående sammansatta funktioner och kedjeregeln i fjärde gymnasiekursen matte 4. Första steget är att identifiera inre och yttre funktion, men hur vet jag säkert och generellt vad som är en inre och yttre funktion? På denna nivå har vi ju parenteser och mycket tydliga exempel där inre och yttre funktioner är lättidentifierade. Jag har gett svaret att man antingen ser det på vana/intuition för att man har tagit sin matte seriöst eller att man kan försöka kolla efter parenteser synliga eller ej. Vad ska jag egentligen säga?
/Vikarien
Jag skulle säga att man först måste veta vad en funktion är. Det är något som påfallande många gymnasieelever (och högskolestudenter) inte har bra koll på, trots att nästan samtliga tror sig veta. Jag var definitivt en av dem när jag tog studenten, och det var först en bit in på högskolan, mycket tack vare funktionell programmering, som bitarna föll på plats.
Framförallt är det ju extremt viktigt att förstå begreppet funktion. På gymnasienivå tycker jag att analogin ”maskin som man lägger in något i och får ut något ur” är bra för att förstå. Men den konceptuella förståelsen måste paras ihop med förståelse för den matematiska notationen, och där är kunskapsbristerna stora.
Först har vi det klassiska att tro att f (x) = 2x är en funktion, när det ju i själva verket är en ekvation som beskriver en funktion. Denna missuppfattning tror jag klaras upp relativt ofta, redan under gymnasietiden.
Det som däremot är extremt utbrett är att blanda ihop f och f (x), vilket kan ha långtgående negativa konsekvenser på andra koncept inom matematiken. Exempelvis trodde jag i gymnasiet att f ′(x) var en derivata med avseende på x medan f ′(a) var med avseende på a. Jag hade jättesvårt för uttryck som f (x + 1) och så vidare; listan kan göras lång. Ingenting makeade sense för mig i gymnasiet och en bit in på högskolan, då alla bitar plötsligt föll på plats.
Jag säger aldrig längre ”låt f (x) vara en funktion” (om jag inte faktiskt menar det, och det gör vi inte nu). I gymnasiematten, där man endast studerar funktioner av typen ℝ → ℝ, är f (x) aldrig en funktion. f brukar vara en funktion, och f (x) är då ett tal – specifikt det tal man ”får tillbaka” från f om man ger x till f.
För att understryka skillnaden brukar jag säga att om f är en chokladfabrik så är f (x) en chokladkaka (efter att ha förklarat att en funktion inte nödvändigtvis måste mappa just reella tal till reella tal), och x kanske är en sorts kakao eller dylikt. Man kan också ta en ekvation som f (x) = 5 och fråga sig: 5 är helt klart ingen funktion, så hur kan f (x) vara det om de är lika med varandra?
Denna insikt var helt otroligt värdefull för mig, och jag önskar att alla fick chansen att förstå detta redan då man börjar studera funktioner. Plötsligt förstod jag alla uttryck jag tidigare hade tyckt var konstiga och med vilka jag i bästa fall bara hade lärt mig ”hur man ska göra för att det ska bli rätt”.
Med ovanstående som bakgrund blir nog ingen förvånad att jag inte heller kallar till exempel ex för en funktion. För att inte påtvinga en gymnasieelev lambdauttryck eller dylikt, som x ↦ ex, säger jag gärna att ”e upphöjt till” är en funktion, och/eller att ex är något man fått tillbaka från en funktion. Vilket funktion då? Jo, just ”e upphöjt till”, ”den funktion som ger tillbaka e upphöjt till det man gav in” eller liknande.
På liknande sätt kallar jag ln, sin och f ′ för funktioner, men inte ln(x), sin(x) eller f ′(x). Detta hjälper också eleven att inte överdriva betydelsen av namnet på den varierande variabeln. Då blir det lättare att förstå att ekvationerna
f (x) = sin(5x + 2)
och
f (z) = sin(5z + 2)
berättar exakt samma sak, det blir lättare att förstå derivata och så vidare och så vidare.
Låt oss då ta ett exempel på kedjeregeln. Låt f vara given av
f (x) = sin(2x)
Hur ska vi bestämma f ′ och/eller f ′(x)?
Om man vet att sin är en funktion kan man nog se att ”det sista f gör” är att applicera sin. OK, så sin kan ses som den yttre funktionen. Vad säger kedjeregeln? På matematiska säger den följande:
d/dx ( fyttre(finre(x)) ) = fyttre′(finre(x)) · finre′(x)
Men det viktiga är vad den säger på svenska: Derivatan av en sammansatt funktion ger tillbaka den yttre funktionen applicerad på det den inre ger tillbaka, multiplicerat med det den inres derivata ger tillbaka. (Det är naturligtvis inte en mening som alla förstår rätt upp och ner, utan man får ju förklara den interaktivt.)
I vårt exempel var sin den yttre funktionen, alltså fyttre = sin. Den inre måste då vara den som ger tillbaka 2x när den får x, alltså finre = dubbleringsfunktionen. Förutsatt att vi nu kan derivera både sin och dubbleringsfunktionen, samt applicera dem på vilket argument som helst, kan vi bestämma f ′(x) och därmed f ′.
Det är ofta till god hjälp att faktiskt definiera fyttre och finre vid sidan av, och sedan försäkra sig om att fyttre(finre(x)) och f (x) verkligen förenklas till samma sak:
fyttre(x) = …
finre(x) = …
fyttre(finre(x)) = …
Svaret på frågan om vilken som är yttre och vilken som är inre funktion kokar i slutänden ner till att man väljer själv. Man vill bara gärna välja en yttre som är ”lagom enkel”, för man vill kunna derivera den.
Råkar man välja en ”för enkel” yttre blir uträkningen längre (eftersom den inre då kanske blir mer sammansatt än den hade behövt vara). Ett specialfall av det är att man väljer identitetsfunktionen, x ↦ x, som yttre. Då funkar kedjeregeln precis som vanligt, men man kommer bara tillbaka till ruta ett efter att ha använt den.
Råkar man välja en ”för komplex” yttre kommer kedjeregeln också funka som vanligt, men man lär behöva kedjeregeln för att bara derivera den yttre funktionen. Även här kommer man tillbaka till där man var om man väljer yttre så att inre blir identitetsfunktionen.
Mycket av det jag skrivit om kedjeregeln ovan grundar sig på god förståelse för funktioner, och matematiken handlar ju så otroligt mycket om funktioner från och med gymnasiet, så jag vill gärna uppmuntra till att ta den tid som behövs för att ge eleverna den förståelsen.
Ett sista tips är att notationen d/dx f (x) (eller D f (x)) är extremt praktisk, inte minst vid användning av kedjeregeln, eftersom den möjliggör beskrivning av en derivata ”inline”, utan att man måste krångla med att definiera en ny funktion, ge den ett namn osv.
