Filmer och Bilder ser ut som vattenfärg.

Är man van med skärpan från en systemkamera med hyffsad optik kan man uppleva kompaktkamerabilder med sämre optik på det sättet men svårt att säga utan exempel.
Oftast begränsningar i optiken som ger oljemålningseffekten vad jag förstått.
Även mindre sensorstorleken som ger kass iso ger sådana resultat eller en kombo av båda.
Annars kanske det är något annat problem men som sagt exempelbild skulle underlätta extremt mycket.

Vilken kamera kan vara bra att veta också...

Det ser ut som att du fotat inomhus i dåligt ljus, vilket inte är något bra användningsområde för en superzoom. Tyvärr så verkar metadatan blivit strippad från bilden så jag kan inte se vilka inställningar du använt, men troligtvis är ISO rätt högt på den bilden. Och högt ISO + aggressiv brusreducering = "vattenfärg". Möjligtvis kan du ställa in en mindre aggressiv brusreducering i kameran, men då får du så klart mer brus istället.

Du får tänka på att sensorn på den är betydligt mindre än en normal systemkamera, 28.5mm² vs. ~370mm² (APS-C), så den kommer vara betydligt sämre när det är dåligt ljus och den måste höja ISO-värdet. Superzoomar är ganska riktade mot utomhusfotografering i dagsljus.

Ljuset gör väldigt stor skillnad. På sommaren när det är en bra mix med moln och klar himmel så blir det oftast bäst då man får både skarpt och diffust ljus i lagom mängd.

Som sagt, ljuset gör stor skillnad, den där filmen är ju tagen utomhus i dagsljus. Skillnaden i ljus inomhus och utomhus är ofta väldigt stor, men vi människor är ganska dåliga på att uppfatta sånt eftersom våra ögon fungerar som en kamera med exponeringsautomatik. Våra pupiller reglerar t.ex. ljusinsläpp på samma sätt som kamerans bländare.

Dina exempelbilder är egentligen inte riktigt jämförbara eftersom att de är tagna underväldigt olika förhållanden. Bilden med gamla kameran hade betydligt mer ljus tillgängligt, som det ser ut.
Utan att veta vad din gamla kamera var för någon modell så skulle jag säga har det att göra med sensorstorleken att göra. Med den mindre sensorn i FZ300 så får man mer brus och man lägger i regel på kraftigare brusreducering. Då får man akvarellstuket på bilderna. Ju svagare ljus desto högre ISO och desto värre blir det.
Sedan är det ju inte tänkt att att man ska sitta och betrakta bilderna i 100% på skärmen. Skulle du printa din exempelbild i A3-storlek och titta på den på normalt betraktningsavstånd skulle den sannolikt se helt okej ut.

Tar du bilder (eller video) i bra ljus, som utomhus, dagtid och bra väder kommer det inte alls att vara lika mycket akvarell över det hela för med lågt ISO-tal blir bruset mindre och brusreduceringen mindre kraftig. Du kommer fortfarande inte att få lika bra bildkvalitet som med en systemkamera men sannolikt ganska bra. Som det ser ut i klippet du länkade till så är det ju betydligt bättre förhållanden än i klippet du själv filmat, som ju filmades inomhus i ganska svagt ljus. Sedan kan ju efterbehandling och hur man laddat upp klippet till YT såklart spela viss roll åxå.

Det beror på vad du menar med inte stor budget. Sony RX100 MkIII eller senare eller Panasonic FZ1000 är modeller från 5000kr nya som har 1"-sensor och hyggligt ljusstarka och skarpa objektiv som är väldigt kompetenta men alla kameror har ju sina begränsningar, såklart. Vilken man väljer beror ju på vilket typ av kamera man är ute efter.
Har man mindre budget än så skulle jag rekommendera att kolla på någon av de modellerna begagnat eller för den delen att köpa en begagnad systemkamera.
En begagnad Nikon D3200 kan man hitta för neråt 1500kr (ofta kanske närmare 2000kr) om man har lite tålamod och ett Nikon DX 35/1.8 kan man hitta begagnat för runt 1000-lappen. Man får visserligen ingen zoom men det blir en väldigt kompetent kamera som ändå är hyfsat allsidig för "vardagsfoto" och som ger riktigt bra bildkvalitet, men det hänger ju lite på vilka motiv man tänkt sig fota.

Om man fotar med stativ och motiv som inte rör sig nämnvärt så är det enda man egentligen behöver en kamera som har manuella inställningar, så att man kan styra över ffa ISO-talet själv. Fotar man på lägsta ISO får man ganska bra bildkvalitet även med enklare kameror. Givetvis så ger större sensor (förutsatt att åldern på kamerorna är ungefär lika) bättre bildkvalitet även på låga ISO-tal men skillnaden blir inte alls så påtaglig som på högre ISO-tal.
Är det främst den typen av bilder det handlar om behöver inte objektivet vara lika ljusstarkt heller, så en Sony RX100 MkI, för ca 3500kr skulle ju göra jobbet. Sensorn är samma som i MkIII (i princip iaf) men MkI har, som sagt, lite ljussvagare objektiv och är inte lika bra för handhållna bilder eller när motivet rör sig, som de nyare modellerna (MkIII och senare).
Det går säkert att hitta ännu enklare/billigare kameror med manuella inställningar men RX100-serien är riktigt bra kameror och är, i mitt tycke, värt att lägga en liten extra slant på.

Hur lagrar du, du aövnder väl raw och nått bra program till framkallningen i stället för att fota i jpg och låta kameran "döda" bilderna ?

Det går ju inte att argumentera emot att JPEG är sämre än RAW men jag tycker nog att det finns något slags vanföreställning om att JPEG (i princip) skulle vara att gå tillbaka till 80-talets datorgrafik.
JPEG-formatets största nackdel, IMO, är att saker är låsta i det.
Han kameran en gång skärpt upp och/eller brusreducerat bilden så går inte det att göra ogjort och göra annorlunda. Har gammakurvor och vitbalans applicerats så har man inte alls samma möjligheter att ändra i efterhand. Det går inte heller att locka fram lika mycket detaljer i högdagrarna bilderna. Däremot kan man fortfarande locka fram rätt mycket (om än inte riktigt lika mycket) i skuggorna utan att det ser HELT förskräckligt ut.
Så länge man får till vitbalansen rätt vid fotografering och inte använder för kraftig uppskärpningsinställning i kameran så kommer man långt med "jpeg fine" om man inte drar helt vilt i reglagen i efterbehandlingen. Utan pixelpeeping ska det mycket till att se skillnad mellan RAW och JPEG om man behandlar bilderna "normalt".

Jag använder själv nästan uteslutande RAW men det är inte främst för att det blir så mycket bättre kvalitet än jpeg utan det är mycket av bekvämlighet, för att jag ska slippa bry mig om vitbalans och sånt när jag fotograferar. Det är även trevligt att ha bättre möjlighet att rätta till saker om man själv skulle klanta sig med exponeringen, tex.