Vilken sladd ska jag använda från internetuttag till router och från router till enhet?

Du ska använda en ethernetkabel, cat5e eller eller bättre. Utan skärm, UTP.

TCP/UDP har inget med kabeln att göra utan är olika kommunikationsprotokoll.
TCP - Transmission Control Protocol
UDP - Unreliable Datagram Protocol

UTP/STP syftar däremot på kabels skärm, är det det du menar `?

UTP oskärmad kabel
STP skärmad kabel
https://sv.wikipedia.org/wiki/Partvinnad_kabel

TCP(UDP är inget som har med kablar att göra.

Ska du koppla ett normalt nätverk bör du ha en rakt kopplad oskärmad kabel som är minst cat5e.

Nej, du bör har cat5e eller bättre.

Du skrev "cate5" vilket kan tolkas som en felstavning av vanlig "cat5". Cat5 och Cat5e är inte samma sak, bara för att vara övertydlig.

Raka bör gå bra.
I standarden för Gbit etheretportar ingår att de automatiskt ska kunna ställa om sig mellan rak och korsad kabel (Auto MDI-X) och idag så gör även de flesta 100 Mbit portar det i den mån 100 Mbit används på nya produkter (det är lyckligtvis väldigt ovanligt men förekommer på en del skräproutrar från Asus.)
Korsade kablar är alltså inget som behövs om man inte har äldre utrustning som har 10/100 Mbit portar.

Det ser du oftast inte på den, förpackningen var nog märkt men kabeln i sig är ju samma, det är bara kopplingen i kontakten som skiljer men om du inte har gamla 10/100 portar så spelar det ingen roll om kabeln är rak eller korsad.
Om du prompt måste veta det så får du nog mäta upp hur kabeln är kopplad endera med en kabeltestare eller en multimeter.

En it-samordnare sa till mig att patchkablar med röda kontakter var korsade.

Ja ibland men det finn ju ingen standard för det.

Den kabel man använder mellan ett fast uttag och klienten, den har flerkardeliga ledare.
Installationskabel har enkardeliga ledare och ska inte förflyttas särkilt mycket för då kan den gå av.