Rationella och irrationella tal

Du menar nog att varje heltal är rationellt.

Det är väl inte så konstigt om det inte finns? Finns det någon beteckning för alla heltal utom de positiva? Finns det någon för alla rationella tal utom heltalen? Någon för de imaginära?

I (med snygg romersk stil) har man väl sett ibland?

Möjligt, har aldrig sett den dock, bara i princip som beteckning på ideal. Googlade lite snabbt och såg att på vissa ställen används tydligen I för de irrationella talen.

Man betecknar i allmänhet inte mängden av alla irrationella tal på något vis. De irrationella talen är ju de som ligger i R men samtidigt inte ligger i Q. Alltså, om man betecknar dessa med I är I = R\Q, där \ är setminus-operationen, vilket kan ses som att man tar bort alla element ur R som finns i Q. Till exempel:

A = {1,2,3}
B = {1}
A\B = {2,3}

Skrivsättet R\Q, eller R-Q (jag föredrar det första, men det finns de som betecknar setminus med - också) är välkänt och R\Q vet alla vad det betyder.

Tillägg:

Man kan inte säga att Q är större än N för övrigt. Alla element i N finns i Q till exempel, så Q "borde" ju vara större. Men, det är det inte, N och Q är oändligt stora mängder som är lika stora. Man säger att en mängd A och en mängd B är lika mäktiga om det finns en bijektiv (surjektiv + injektiv) funktion mellan dessa.

Det finns bijektiva funktioner från N till Q och Q till N, alltså är N och Q lika stora. Däremot är R större, eftersom det finns finns en bijektiv funktion från N till R, men ingen från R till N. I någon mån kan man säga att N,Z,Q är lika stora, medan R är större. Till och med intervallet av alla tal mellan 0 och 1 är större än N,Z och Q dessutom! Men, ännu konstigare, intervallet mellan 0 och 1 är lika stort som hela R.

Har inget att tillägga, men teckensnittet som dessa mängder brukar skrivas med kallas för Blackboard bold.

Jag har dock ett tillägg, till:

"Okej... kanske lite dålig analogi... men det var det bästa jag kunde komma på. Poängen är att irrationella tal ska vara en grupp, men det kan de inte eftersom varje irrationellt tal besitter särskilda egenskaper och strävar åt varsitt håll och bryter därför ut från den gemensamma gruppen."

Så bör du inte använda ordet grupp sådär. Då grupp är en annan algebraisk struktur*, det finns inget i det du säger som är sant. Det är för att man inte anser att det 'behövs' som det finns något behov för det. Man hade haft en välkänd symbol för irrationella talen om det var något man ofta använde, men det är inte jätteanvändbart. Irrationella tal strävar inte åt något särskilt håll eller så om det är det du tror, det är mumbo jumbo; hokus pokus filijokus och inget man kan säga något sådant om.

* En grupp är en struktur <G,*> där G är en mängd och * är en binär operator som följer:

1. För alla a,b \in G gäller att a*b \in G
2. Det existerar e \in G så att ae = a för alla a
3. För alla a \in G finns ett unik a^(-1) \in G så att a*a^(-1) = e
4. Operatorn * är associativ, a*b*c = a*(b*c) för alla a,b,c \in G

Till exempel är <R,+> en grupp, medan <Q,/> inte är en grupp.