Satsen om oändligt många apor

Det handlar om gränsvärdesanalys. Är det någon skillnad på 1 och oändligt nära 1? 0.999...

Värt är att notera att något kan ha sannolikhet 1 att inträffa, men ändå inte inträffa.

Precis analogt är att något kan ha sannolikhet 0 att inträffa, men ändå inträffa.
Ta tex följande exempel :
Du får slumpvis ett reellt tal mellan 0 och 1. Du har lika stor chans att få alla tal.
För varje enskilt reellt tal gäller dock att du har sannolikhet 0 att få just det.
Trots detta kommer du garanterat att i dragningen få just ett sådant tal.

Så angående ditt exempel med aporna så finns möjligheten att de inte skriver ner, säg bibeln, efter oändligt lång tid, men sannolikheten för det är 0....

Så kort sagt, tankefelet du gör är att anta att sannolikhet 1 betyder att något med nödvändighet inträffar.

Ett annat kanske lite mer överskådligt exempel är annars följande :

Tänk dig att du singlar ett mynt(där både sidor har 50% chans att komma upp) oändligt många gånger.
Sannolikheten att du i de n första singlingarna får krona är (1/2)^n.
Sannolikheten att du får krona vid varje singling i all oändlighet är lim_{n ->oändligheten} (1/2)^n = 0.
Trots det är möjligheten att du får krona hela vägen fullt tänkbar och har precis lika stor sannolikhet som vilken annan vald följd som helst (alla har sannolikhet 0).

Om du menar sannolikheten att aporna ska ha skrivet ett visst verk inom ett visst (på förhand givet) ändligt antal steg så har du helt rätt i att sannolikheten inte är 1, men går mot 1 då antalet steg går mot oändligheten.
Pratar man däremot om sannolikheten att ett verk överhuvudtaget kommer att skrivas, oavsett hur många steg det får ta, så är den exakt 1.
(vilket dock som sagt fortfarande inte behöver betyda att det verkligen händer...)

Det är en väldigt subtil skillnad här dock.
Sannolikheten att ett verk ska bli skrivet inom N steg är aldrig 1 oavsett hur stort N är.
Däremot är sannolikheten 1 att verket blir skrivet om N inte fixeras på förhand utan man ser till sannolikheten att verket överhuvudtaget blir skrivet under den oändliga tid man har på sig. I efterhand kan man dock konstatera att verket kanske blev skrivet efter säg N steg..

Xellofan: Jag tror inte du missar något utan det handlar om synsätt och filosofi. Är oändligt litet samma sak som noll?

Uttrycket oändligt litet är ju lite otydligt. Man skulle ju kunna ställa upp ett gränsvärde på en summa som blir mindre och mindre, till exempel 1/x då x->∞ blir noll men det blir ett väldigt litet tal för varje x tillhör R.
Annars brukar man ju tala om lilla epsilon inom matematik om man vill använda ett väldigt litet tal som är skilt från noll.
Det blir snabbt lite rörigt om man blandar in gränsvärden. Till exempel är ju 1-0,999...=0 inte helt uppenbart om man inte har läst så mycket matte.

Hmm, försöker ge ett exempel (eller skriva om det tidigare) :

Låt oss studera sannolikheten att du får minst en krona vid ett antal slantsinglingar.
Välj ett N = antalet slantsinglingar, valfritt stort, tex 1000.

Sannolikheten att du får minst en krona = 1- sannolikheten för bara klave = 1 - (1/2)^N.
Sannolikheten för minst en krona är alltså inte 1, utan något tal nära 1.

Nu betraktar vi sannolikheten att du aldrig någonsin kommer att få en krona = 1 - sannolikheten att du bara får klave = lim 1 - (1/2)^N = 1.
I efterhand kan du notera : Sannolikheten för att få krona någon gång är 1. Det visade sig att jag fick krona i steg 12034539900003.

Det hela har att göra med när man bestämmer sig för antalet steg.
I det första fallet fixerade vi antalet steg innan vi började. I det andra fallet gör vi inte det, utan tillåter precis hur många steg som helst.
Att vi sedan i efterhand kan konstatera att vi fick krona efter ett ändligt antal steg, tex 4350306 är en annan sak.

Jag har inte riktigt bestämt mig.

Jag gör ett nytt försök att försöka gå till botten med det hela

Tar du ett godtyckligt stort tal, säg 100000, så är det inte oändligt oavsett hur stort du väljer det.
Där är skillnaden.
Du väljer ett godtyckligt stort tal, som visserligen kan vara hur stort som helst, men när du väl valt det är det fixt och högst ändligt.
Oändligheten är större än alla tal (Även om man inte brukar räkna oändligheten som ett tal i egentlig mening).

Jag misstänker att du förväxlar "godtyckligt stort tal" med ett tal som aldrig fixeras utan bara är "hur stort som helst".
Innebörden av begreppet "godtyckligt stort tal" är att du får välja valfritt stort tal, men när det väl är valt så är det fixerat.

Ett litet till exempel :
Säg att du har oändligt många personer i ett land. Deras åldrar råkar fördela sig så att precis en person är 1 år gammal, en person 2 år gammal, en person 3 år osv.
Du kan hitta en godtyckligt gammal person i landet. Väljer du tex att leta efter en person som är 235400 år gammal så finns det en sådan.
Dock finns iallfall ingen person som är oändligt gammal.

Så här ser man tydligt skillnaden mellan att kunna finna någon godtyckligt gammal och att finna någon som är oändligt gammal.

Den här länken kan vara av intresse för er som är intresserade av ett oändligt antal apor som skriver shakespeare (nu har dom lyckats)

http://www.jesse-anderson.com/2011/09/a-few-million-monkeys-r...

 0.3333333...
+0.3333333...
+0.3333333...
=0.9999999...

Frågan är väl om 0.33333... = 1/3 eller om det bara är den närmsta decimala representationen av 1/3. Dvs, "Är 0.3333... = 1/3?" är samma fråga som "Är 0.999.... = 1?"

Mja, 0.333.... är exakt lika med 1/3 och 0.999... är exakt lika med 1.

Alla reella tal kan representeras i decimalform, men det kan hända att representationen inte är unik
Tar vi tex fallet 1 så råkar vi ha två olika decimalutvecklingar som betecknar samma tal, nämligen 0.999.... och 1.000...

Ok. Skriv pi i decimalform.

Decimalutvecklingen är ju oändlig, så att skriva upp hela den är inget jag eller någon annan kan göra.
Däremot är det ingen motsägelse i detta och att talet har en decimalutveckling.

Eftersom decimalutvecklingen är oändlig kan du inte representera talet i decimalform.

Jo, talet kan representeras i decimalform.
Men innebörden av "representera" är inte att jag kan skriva upp decimalutvecklingen på ett papper, utan innebörden är att den existerar.
Det är samma sak som med de positiva heltalen. Det finns inget slut på dom, men om jag ber dig att skriva upp allihopa så kan du naturligtvis inte göra det.

Fast jag menar att den inte existerar, oavsett om du praktiskt kan skriva ner den eller inte. Om talet är sådant att du, oavsett hur många decimaler du använder, aldrig kan nå de exakta värdet av talet, så kan du inte representera det decimalt.

Jämförelsen med de positiva heltalen ser jag inte alls några likheter i, utom att båda handlar om oändligheten.

Fast definitionen av vad en decimalrepresentation är har inget med vad du tycker att göra. Den är vad den är oavsett om du håller med eller inte.
Alla reella tal har en decimalrepresentation. Pi är ett reellt tal, alltså har det en decimalrepresentation.
Det är det här som är det fina med matematik. Det finns absoluta rätt och fel med mycket lite utrymme för åsikter.

Definitionen av en decimalrepresentation säger inget om vilka nummer den kan representera. Den säger något om hur den representerar nummer.

Fast vad hjälper det dig? Alla reella tal kan fortfarande skrivas som ett decimaltal och alla har en decimalutveckling. Dock har vissa, de rationella och irrationella, oändliga decimalutvecklingar men de finns fortfarande för det.