Behöver hjälp med en fråga i ekonometri

Med epsilon antar jag att du menar summa med i som index, samt med x och y menar ett sample av en viss längd med i som index.
Med cov och var antar jag att du avser "sample covariance" och "sample variance"
Om det var den teoretiska kovariansen och variansen så skulle högerledet alltid vara ett bestämt tal och vänsterledet bero på vilka xi och yi du har och likheten skulle inte gälla.

Med xtak och ytak antar jag att du menar medelvärdet av x resp y vektorn.

Hursomhelst så är det bara att skriva upp definitionen av sample covariance och sample variance och sätta in :
cov(X,Y) = (1/(n-1))* Summa (xi-xtak)(yi-ytak)
= (1/(n-1)) *( Summa (xi*yi)-xtak*Summa yi - ytak* Summa xi - Summa xtak*ytak)

Notera nu att Summa xi = xtak*n per definition av medelvärde (n lika med samplets längd)
samt Summa yi = ytak*n (av samma anledning)
samt Summa xtak*ytak = n* xtak*ytak (du har en termer i summan som alla är lika med xtak*ytak).

Detta ger efter förenkling att (*) = (1/(n-1)) *( Summa (xi*yi)- n*ytak* xtak)
Det överrenstämmer med täljaren du har i vänsterledet (faktorn 1/(n-1)) kommer att förkortas bort mot en likadan faktor i nämnaren.

För nämnaren har vi
Var(X,Y) = (1/(n-1))* Summa (xi-xtak)*(yi-ytak)
Gör på samma sätt som du gjorde för Cov(X,Y) och förenkla så får du nämnaren i ditt vänsterled.
Därmed är du klar.