Uppgift i sannolikhetslära - har fått hjärnsläpp

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Stockholm
Registrerad
Sep 2013

Uppgift i sannolikhetslära - har fått hjärnsläpp

Hej!

Hjälper min flickväns systersson med en kort uppgift i sannolikhetslära, men har tyvärr fått hjärnsläpp!

Uppgiften handlar om fyra kulor i ett kärl, där två av kulorna är röda och två av kulorna är svarta. Vi har kommit fram till att sannolikheten för att ta en kula och se att den är röd är 2*1/4 = 1/2.

Uppgiften lyder så här: Vi tar en kula ur kärlet, men kollar inte på den (d.v.s. lägger undan den utan att se på dess färg). Vad är då sannolikheten att nästa kula är röd?

Jag började resonera så här: Om den första kulan är röd, så är sannolikheten att nästa kula är röd 1/3 (d.v.s. p(k2 = röd | k1 = röd) = 1/3). Om den första kulan är svart, så är sannolikheten att nästa kula är röd 2/3 (p(k2 = röd | k1 = svart) = 2/3). Men.. Vad är då sannolikheten att kulan är röd, d.v.s. p(k2 = röd) ? Det kan väl inte vara så att det är 1/3 * 2/3 = 2/9 ?

Main || Intel Core i7 980X @ 4.12GHz || ASUS Rampage III Gene || Corsair Vengeance 6x4GB @ 1800MHz || EVGA GTX 780 Reference || Creative Sound Blaster ZxR || 2x Intel 530 240 GB || Western Digital Blue WD10EZEX 1000 GB || ASUS VG248QE (no G-sync) ||
Laptop || Lenovo Thinkpad X220 4291-37G ||
Project: Pentium Clockbox || Intel Pentium G3258 ||

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
sthlm
Registrerad
Sep 2008

Hej,

Om du skulle ta 1/3 * 2/3 så skulle det betyda att båda sakerna måste inträffa efter varandra (vilket inte är vad du försöker få fram). 2/9 är chansen att du först skulle få en svart och sedan röd kula och sedan att du gör om testet och får en röd och en röd kula. (EDIT: ser att detta inte stämmer mem förklaringen verkade fungera så varför inte)

Det du däremot vill ha fram är chansen att ett av de två ovan beskrivda händelser ska inträffa. Det du då ska göra är att ta 1/3 + 2/3 / 2 vilket är 1/2 (50%). Antingen är första kulan svart (hälften av tiden) eller så är den röd (andra hälften) vilket ger olika sannolikhetsgrader för vilken färg den andra kulan är (1/3 respektive 2/3). Och genomsnittet för hur stor den chansen är är 3/3 delat med 2.

Skriver på telefon men hoppas du förstår

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Stockholm
Registrerad
Sep 2013
Skrivet av siglolmic:

Hej,

Om du skulle ta 1/3 * 2/3 så skulle det betyda att båda sakerna måste inträffa efter varandra (vilket inte är vad du försöker få fram). 2/9 är chansen att du först skulle få en svart och sedan röd kula och sedan att du gör om testet och får en röd och en röd kula.

Det du däremot vill ha fram är chansen att ett av de två ovan beskrivda händelser ska inträffa. Det du då ska göra är att ta 1/3 + 2/3 / 2 vilket är 1/2 (50%). Antingen är första kulan svart (hälften av tiden) eller så är den röd (andra hälften) vilket ger olika sannolikhetsgrader för vilken färg den andra kulan är (1/3 respektive 2/3). Och genomsnittet för hur stor den chansen är är 3/3 delat med 2.

Skriver på telefon men hoppas du förstår

Ja absolut, nu förstår jag rätt!! Tack så mycket för hjälpen!!

Main || Intel Core i7 980X @ 4.12GHz || ASUS Rampage III Gene || Corsair Vengeance 6x4GB @ 1800MHz || EVGA GTX 780 Reference || Creative Sound Blaster ZxR || 2x Intel 530 240 GB || Western Digital Blue WD10EZEX 1000 GB || ASUS VG248QE (no G-sync) ||
Laptop || Lenovo Thinkpad X220 4291-37G ||
Project: Pentium Clockbox || Intel Pentium G3258 ||

Trädvy Permalänk
Entusiast
Testpilot
Plats
Chalmers
Registrerad
Aug 2011

Ritade ett diagram över alla tänkbara händelseförlopp:

Från början befinner du dig i tillstånd A1. Därifrån kommer du gå till antingen B1 (om den första kulan är röd) eller B2 (om den är svart), båda med sannolikheten 1/2, vilket vi kan skriva:

P(A1B1) = 1/2
P(A1B2) = 1/2

Frågeställningen, "Hur stor är sannolikheten att den andra kulan är röd?", kan vi lika gärna formulera så: Hur stor är sannolikheten att vi börjar i A1 och hamnar i antingen C1 eller C3 (de två möjliga "sluttillstånd" som innebär att den andra kulan är röd)? Vi vill alltså beräkna

P(A1C1A1C3)

Det kan vi skriva om så:

P(A1C1A1C3) = P(A1C1) + P(A1C3)

EDIT: Det kan vi göra eftersom det är omöjligt att vi hamnar i både C1 och C3.

Vardera term i högerledet är enkel att beräkna från diagrammet: Sannolikheten att vi går från A1 till C1 är sannolikheterna för "alla händelser som krävs för att det ska hända" multiplicerade med varandra:

P(A1C1) = P(A1B1) · P(B1C1) = 1/2 · 1/3 = 1/6

Vi beräknar P(A1C3) på samma sätt:

P(A1C3) = P(A1B2) · P(B2C3) = 1/2 · 2/3 = 2/6

Sannolikheten att den andra kulan är röd är därmed

1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2

Det låter rimligt: Tänk dig en påse som innehåller lika många röda som svarta kulor (två av varje eller hundra av varje spelar ingen roll). Om du skulle plocka ut alla kulorna ur påsen utan att titta på någon av dem, är det inte då rimligt att den sista man tar ut har exakt lika stor sannolikhet att vara röd som svart? Likaså, om du skulle hälla alla kulorna i en Keno-maskin som blandar och matar ut allt den matas med, visst borde det vara lika stor sannolikhet att den sista som rullar ut är röd som svart?

Kontentan av detta inlägg är att det är bra att rita!

Skrivet med hjälp av Better SweClockers

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Stockholm
Registrerad
Sep 2013
Skrivet av Alling:

Ritade ett diagram över alla tänkbara händelseförlopp:

http://i.imgur.com/1nVyaKh.png

Från början befinner du dig i tillstånd A1. Därifrån kommer du gå till antingen B1 (om den första kulan är röd) eller B2 (om den är svart), båda med sannolikheten 1/2, vilket vi kan skriva:

P(A1B1) = 1/2
P(A1B2) = 1/2

Frågeställningen, "Hur stor är sannolikheten att den andra kulan är röd?", kan vi lika gärna formulera så: Hur stor är sannolikheten att vi börjar i A1 och hamnar i antingen C1 eller C3 (de två möjliga "sluttillstånd" som innebär att den andra kulan är röd)? Vi vill alltså beräkna

P(A1C1A1C3)

Det kan vi skriva om så:

P(A1C1A1C3) = P(A1C1) + P(A1C3)

Vardera term i högerledet är enkel att beräkna från diagrammet: Sannolikheten att vi går från A1 till C1 är sannolikheterna för "alla händelser som krävs för att det ska hända" multiplicerade med varandra:

P(A1C1) = P(A1B1) · P(B1C1) = 1/2 · 1/3 = 1/6

Vi beräknar P(A1C3) på samma sätt:

P(A1C3) = P(A1B2) · P(B2C3) = 1/2 · 2/3 = 2/6

Sannolikheten att den andra kulan är röd är därmed

1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2

Det låter rimligt: Tänk dig en påse som innehåller lika många röda som svarta kulor (två av varje eller hundra av varje spelar ingen roll). Om du skulle plocka ut alla kulorna ur påsen utan att titta på någon av dem, är det inte då rimligt att den sista man tar ut har exakt lika stor sannolikhet att vara röd som svart? Likaså, om du skulle hälla alla kulorna i en Keno-maskin som blandar och matar ut allt den matas med, visst borde det vara lika stor sannolikhet att den sista som rullar ut är röd som svart?

Kontentan av detta inlägg är att det är bra att rita!

Mycket bra förklaring, visade detta till honom och jag tror han förstod det bättre än min egna förklaring. Tack så mycket, ska definitivt rita fler diagram nästa gång jag hjälper honom med matten

Main || Intel Core i7 980X @ 4.12GHz || ASUS Rampage III Gene || Corsair Vengeance 6x4GB @ 1800MHz || EVGA GTX 780 Reference || Creative Sound Blaster ZxR || 2x Intel 530 240 GB || Western Digital Blue WD10EZEX 1000 GB || ASUS VG248QE (no G-sync) ||
Laptop || Lenovo Thinkpad X220 4291-37G ||
Project: Pentium Clockbox || Intel Pentium G3258 ||

Trädvy Permalänk
Entusiast
Testpilot
Plats
Chalmers
Registrerad
Aug 2011
Skrivet av siglolmic:

2/9 är chansen att du först skulle få en svart och sedan röd kula och sedan att du gör om testet och får en röd och en röd kula.

Med stöd i mitt diagram skulle jag vilja påstå att sannolikheten att man gör testet två gånger med resultaten

  1. först svart och sedan röd kula

  2. först röd och sedan röd kula

är 1/3 · 1/6 = 1/18.

Skrivet med hjälp av Better SweClockers