Hjälp med diff.ekv. & ränta-på-ränta

Hej!

Skulle behöva lite hjälp med att räkna på "ränta-på-ränta". Det finns mycket info på nätet om detta, men oftast räknas det med någon form av summaformel som jag inte kommer överens med. Även om t.ex Jan Bolmesons kalkylator är bra, så är det inte riktigt det jag är ute efter.

Jag vill räkna med en differentialekvation med egna variabler, men jag är osäker på om jag ställer upp allt rätt...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=dy%2Fdt%3Dln(r)*y%2Bs*o...

• r = Effektiv tillväxt per år - T.ex 8% = 1.08

• ln(r) = Kontinuerlig tillväxt - En kontinuerlig tillväxt på 8% ger: e^0.08 = 1.08328 = 8.33% effektiv tillväxt per tidsenhet. För en effektiv tillväxt på 8% per tidsenhet är den kontinuerlig tillväxten: ln(1.08) = 0.0769610 = 7.70%

• s = Sparande per år

• o = Ökande av sparande per år - T.ex ökning med 10% = 1.10

• k = Ursprungligt kapital

• t = Tid (år)

Lösningen på denna diff.ekv. blir:

Stämmer detta? Jag hamnar nära Jan Bolmesons kalkylator om man testar att sätta in siffror (men man får ha i åtanke att han verkar ha använt sig ett annat räknesätt)

Jag vill räkna ut vad den totala summan över tid blir, och få en snygg graf.

I diff.ekv. sätter jag in vad den effektiva avkastningen är per år (r, som görs om till kontinuerlig avkastning med ln(r)), vad man sparar per år (s), och om sparandet ökar per år (o). Jag sätter y(0)=k, där 0 är 0 år, och k är ursprungliga kapitalet, den summa man börjar med helt enkelt.

Jag kanske använder ordet "kontinuerlig" felaktigt, men poängen är att om jag inte gör om den effektiva avkastningen r till ln(r) så kommer funktionen att förändras med mer än vad r är per år (om man har 0 i sparande).

Kom på att om r och o är lika så delar man med 0. Om man tar bort delen med ökning av sparande per år ur diff.ekv får man en annan lösning som verkar vara rätt. Det är alltså det där med ökning av sparande per år, och hur man får in det i en diff.ekv med allt det andra som är mitt problem egentligen.

Precis, för att använda diff.ekv. blir det en kontinuerlig avkastning och samma sak gäller sparandet. I praktiken är det inte så, men jag tycker bara att det blir lättare att ställa upp en sådan funktion som beskriver det istället för en jättelång summaformel. Samtidigt är jag inte särskilt bra på diff.ekv... Kanske krånglar till det onödigt mycket för mig själv

Hur som helst, jag tar det från början. Säg att jag har 60 tkr på ett konto idag, där den genomsnittliga effektiva årsavkastning är 10%. Jag sparar 30 tkr per år som jag sätter in på kontot.

Diff.ekv. blir då: y'(t) = ln(1.10) * y + 30 , y(0) = 60

Det stämmer tror jag?

Svaret blir: y(t) = 374.762 * e^(0.0953 * t) - 314.762

Det jag inte riktigt kan lista ut är hur man ställer upp en diff.ekv. som visar samma sak, fast man ökar sparandet med säg 5% per år.

Skickades från m.sweclockers.com