Nej, man ska inte "behöva" sätta en manuell dns i routern, men vad skadar det att testa?
Troligtvis routern som är problemet då andra verkar ha liknande problem med just dns på N56U (och andra asusroutrar) om man drar en snabb googlesökning.
Vilken dns som används, om du inte har satt någon manuellt, ser du rätt snabbt i egenskaperna för din anslutning på datorn. Borde även gå att se under wan-fliken på routerns admingränssnitt.
Testa att nollställa routern, inte för att jag tror det kommer göra någon skillnad men kan vara värt ett försök. Sen finns det även alternativ firmware i form av Padavan, men senaste officiella stable build släpptes 2016. Verkar dock finnas nyare current att hitta (eller kompilera själv).
https://bitbucket.org/padavan/rt-n56u
http://rt-n56u.soulblader.com/files/current/RT-N56U/