Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Har problem med följande uppgift:
"Bestäm en ekvation på parameterform för den räta linje som går genom punkten (3,2,-1) och skär de båda linjerna (x,y,z) = (1+t, t, -1+t); (x,y,z) = (10+5t, 5+t, 2+2t)."

Vi behöver finna linjens riktningsvektor.

Eftersom (3,2,-1) och en punkt på linjen (x,y,z) = (1+t, t, -1+t) ligger på den sökta linjen, kan riktingsvektorn skrivas som
(1+t, t, -1+t) - (3,2,-1) = (t-2, t-2, t), för något t.

Vi vet att (3,2,-1) + s*(t-2, t-2, t) = (10+5u, 5+u, 2+2u)
.. för några värden på s, t och u, då även en punkt på den andra linjen ligger på den sökta linjen.

Det är ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta:

3 + st - 2s = 10 + 5u
2 + st - 2s = 5 + u
-1 + st = 2 + 2u

Du kan göra variabelbytet st = x, så blir ekvationssystemet linjärt. När du vet u, s och x, så blir t = x/s.

raol: Lysande! Tack ska du ha..

har en klurig integral som behöver knäkas

§(x^2)/(sqrt(9 - (x^2)))

Sätt u = sqrt(9 - x^2), då får vi -du = x/sqrt(9 - x^2) dx. Vi har även att:

§ x^2/sqrt(9 - x^2) dx =
§ x * x/sqrt(9 - x^2) dx =
-§ x du =
-§ sqrt(9 - u^2) du =
-§ sqrt(9(1 - (u/3)^2)) du =
-§ 3sqrt(1 - (u/3)^2) du =
-3 § sqrt(1 - (u/3)^2) du.

Den sista integralen borde vara välkänd.

jag har integralen
§(x^3)/sqrt(9+x^2)
jag gör substitution
x=3tan(u) du
dx=sec(x)^2 du
efter lite svet och slit får jag
9sec(u)^3 - 27sec(u)
nu är det dags att invertera tillbacka... men jag inte säckert på hur man gör... alltå hur tänker man här?

************
samma problem med en till om jag har gjort subst. x=a*sin(u)
och integrerat resultat är tan(u)/a^2 hur får mna inverten?
om integralen är §dx/((a^2-x^2)^(3/2))

Någon som kan hjälpa mig med denna?

Give me FOUR positive integers x, such that (x^x)+1 is a prime.

Lyckas inte få ut den 4:e.

Muzzfarath: Måste man inte göra ytterligare en substitution att u=3sin(v) eller finns det något annat sätt att utvärdera den?

är det inte bättre att sätta u^2 = -1+9/x^2 direkt? eller x = 3*sin(u) vilket skulle ge
9§sin(u)^2 du dock i slutet skulle bli
9u/u-9sin(2u)/4 och här sitter jag fast igen hur inverterar man tillbacka 9sin(2u)/4 ?

Belseb, svårt problem. Har kollat alla tal upp till 700, sen orkade jag inte vänta på datorn mer Bland de talen är det bara 1, 2 och 4 som funkar (antar att det är samma som du hittat).

roggles, jo, det var det jag tänkte mig. (Tänkte att de flesta som håller på med integraler som x^2/sqrt(1 - x^2) hade sett hur man integrerade sqrt(1 - t^2)).

carramba, ser inte riktigt hur u^2 = -1 + 9/x^2 kan leda till nåt bra. Dock verkar ju x = 3sin(u) rätt käckt att sätta från början. Om x = 3sin(u) så är sin(u) = x/3 varför u = arcsin(x/3). Sen är det bara att sätta in om man vill ha den primitiva funktionen i termer av x.

carramba:

Jag antar att du menar att du vill förenkla sin(2u).

u = arcsin(x/3)

sin(2u) = sin(2*arcsin(x/3)) = 2*cos(arcsin(x/3))*sin(arcsin(x/3)) = 2*(x/3)*cos(arcsin(x/3))

v = cos(arcsin(x/3)

Rätvinklig triangel med vinkel arcsin(x/3). En motstående sida x och en hypotenusa av enhetslängd 3 gör denna triangel riktig. Uttrycket v är den närliggande sidan. Pytagoras sats ger att v² + x² = 9 => v = sqrt(9 - x²), alltså är sin(2u) = 2*(x/3)*sqrt(9 - x²)

edit: liknande resonemang går att använda för använda för den andra frågan, för sec(u) = 1/cos(arctan(x/3))

edit 2: glömde en tvåa

sett u^2 = -1 + 9/x^2
-9§du/(u^4+2u^2+1)
-9§du/(u^2+1)^2
låt u = tan(a) du = sec(a)^2 da
=>-9§da/(1+tan(a)^2)
-9§da/sec(a)^2
-9§cos(a)^2 etc .. trig etan och så vidare.. då kommer man till
-9a/2 - 9sin(2a)/4 och härifrån kan jag inte ta mig till x termer..

Har testat upp till 100,000, men inte hittat något. Det är inte så att 0 räknas?

någon som kan ge bra tips på hur man factoreriserar.. alltså finns det några trick på det?

Du kan göra en polynomdivison med det du vill faktorisera eller kan du ta reda på nollställena och sätta (x-nollställe1)(x-nollställe2) osv..

Edit: Ett exempel från en intromatte tenta på högskolan
nollstället x1=3 är givet, faktorisera P(x)=x3^3+3x^2-10x-24.

För att göra det så polynomdividerar jag med (x-3) och får ut (x^2+6x+8)(x-3)

Faktorisera vad? Heltal, polynom, matriser?

jo, tack för det.. men jag söker mer (!) tips.. det är ju typ hela tiden man ska factorerisera hit och dit.. så det kan vara bra att kunna flera tricks en så

polynom

Om man är i behov av att hitta en rot (så att man kan utföra polynomdivisionen), så kan denna sats komma till användning.

Jag är inte helt säker på vad som menas med semi-axis. Men om det är som jag tror är det a respektive b i denna figur: http://mathworld.wolfram.com/eimg791.gif
Arean av en ellips är pi*a*b=pi*z*sqrt(1-z²). Om man integrera detta från 0 till 1 får vi volymen.
pi*§z*sqrt(1-z²)dz = -(pi/3)[(1-z²)^(3/2)] 0 till 1 = -(pi/3)(0-1) = pi/3

Detta kan du säkert redan, men ett andragradspolynom x² + ax + b faktoriseras (x + i)(x + j) så att i + j = a, och ij = b. Att ij = b gäller ju även om koefficienten framför x² inte är 1. Ganska självklara saker egentligen, men jag brukar utgå ifrån denna regel när jag ska faktorisera något.

Något annat som ofta är väldigt användbart, och snabbare än polynomdivison, är att titta på koefficienterna så att de blir rätt. Säg att du ska faktorisera 2z³ - 7z² + 10z - 6 = 0, givet att en rot är z = 1 - i. Eftersom alla koefficienter i polynomet är heltal, så är även z = 1 + i en rot. Då har vi två faktorer (z - 1 + i) en faktor, (z - 1 - i) en annan. Det betyder att deras produkt, z² - 2z + 2, också är en faktor. Nu kan man bara titta på koefficenterna för att hitta den sista faktorn. Kalla faktorn (az + b), då är:

2z³ - 7z² + 10z - 6 = 0 = (az + b)(z² - 2z + 2)

az³ = 2z³, a = 2
2b = -6, b = -3

Sista faktorn är (2z - 3).

Bobby_Ones exempel:
nollstället x1=3 är givet, faktorisera P(x)=x^3+3x^2-10x-24.

(x - 3)(ax² + bx + c) = x^3+3x^2-10x-24

ax³ = x³, a = 1
-3c = -24, c = 8'
(-3a + b)x² = 3x², b = 6

(x - 3)(x² + 6x + 8)

Jag tycker detta går mycket snabbare än polynomdivision för polynom av lågt gradtal (säg lägre en sex), men det är väl olika kanske

edit: enligt regeln ovan så faktoriseras x² + 6x + 8 som (x + 4)(x + 2), så svaret är (x - 3)(x + 4)(x + 2)

Hej jag fattar inte en del utav ett mattetal. Jag har hela lösningen från boken, men det är just ett moment jag inte fattar. Jag är inte vidare bra på matematik , så jag vill helst det förklarat på "svenska".

Uppgiften:

Bestäm den tidsfunktion f(t) som har laplacetransformationen.

F(s)=(25s^2+52s+25) / (s*(2s+1)*(3s+5))

Lösning ur boken:
Transformernas poler är 0, -1/2 och -5/3 varför tidsfunktionen har formen

f(t)= K1e^0 + K2e^-(1/2t) + K3e^-(5/3t) (k1,k2 och k3 ska siffran såklart vara nersänkt)

där enligt expansionssatsen
K1=T(0)/N´(0) = [(25s^2+52s+25) / (1*(2s+1)*(3s+5))] (s=0) = 25/5=5
*Jag fattar inte hur de fick fram nämnaren här*

K2=T(-1/2)/N´(-1/2) = [(25s^2+52s+25) / (s*2*(3s+5))] (s=-1/2) = (21/4)/(-7/2)=-3/2
*Jag fattar inte hur de fick fram nämnaren här*

K3=T(-5/3)/N´(-5/3) = [(25s^2+52s+25) / (s*(2s+1)*3)] (s=-5/3) = (70/9)/(35/3)=2/3
*Jag fattar inte hur de fick fram nämnaren här*

Vi får alltså f(t)= 5 - 3/2e^(-1/2t)+2/3e^-5/3t

slut på lösning:

Det jag inte fattar är hur bestämmer man K1, K2 och K3?
I nämnaren så står det ju "1*(2s+1)*(3s+5))" för K1, "(s*2*(3s+5))" för K2 och "(s*(2s+1)*3)" för K3. Hur fick man fram det?
Tacksam för svar, jag har suttit gölänge och grunat. Det borde ju vara lätt, då de inte ens brydde sig om att förklara i boken. Det är alltså det enda jag inte fattar, och jag antar att man ska kolla in reglerna för expansionsatsen. Vilket jag har gjort utan att förstå den lilla delen.

*edit* När jag kollar i föreläsningsanteckningarna så hade läraren gått igenom exemplet och skrivit "den förenklade derivatan" N'(s) = f'g+fg'. Men det är inte så man verkar göra. Logisk hade ju varit om nämnaren hade blivit derivatan av F(s) nämnare, men det gör inte det. För isåfall skulle nämnaren i K1 vara "18s^2+26s+5" och inte "1*(2s+1)*(3s+5))" som blir "6s^2+13s+5" om man förenklar.
Det är helmysko jag fattade hur man gjorde då men inte nu.

Det blir betydligt enklare om man partialbråksuppdelar det första uttrycket:
F(s)=(25s^2+52s+25) / (s*(2s+1)*(3s+5)) = /*Part.bråk.uppd.*/=

5/s - 3/(2s+1) + 2/(3s+5) =

5/s - 3/2*(1/(s+1/2)) + 2/3*(1/(s+5/3))

Här ser man ganska enkelt att
f(t) = 5 - 3/2*e^(-t/2) + 2/3*e^(-5t/3)

Ärligt talat så tycker jag att facit krånglar till det rätt mycket. Finns ingen anledning att göra det svårare än vad det egentligen är.

EDIT: Nu ser jag vad facit har gjort. Facit har partialbråksuppdelat, det är dessa svar du får i K1, K2, K3.
Men jag tycker fortfarande att han knölar till det...

ilmarinen: Tack, nu fattar jag. Det var flera tal som byggde på samma princip så jag var tvungen att förstå det. Och kunde inte hoppa över som jag brukar göra...

Fråga 1 är redan ställd och besvarad några inlägg upp...
Dock hittades inget tal mer än 1, 2 och 4 under 100000.

Var kommer frågorna ifrån?

Det är något fel med fråga två, ty det är välkänt att (a+b+c)^3 >= 3^3 * a*b*c, med likhet om och endast om a=b=c, ett specialfall av olikheten mellan geometriskt och aritmetiskt medelvärde.

http://www.math.chalmers.se/~hegarty/man010_amgm.pdf

Ska uppgift 2 möjligen tolkas som abc = 100*a + 10*b + c ?
Isåfall, genom att undersöka 5^3, 6^3, ..., 9^3 så ser man att
(5 + 1 + 2)^3 = 512

Linjen L är skärningen mellan planen x + 2y - 2z = 5 och 2x - y + z = 0. Bestäm den punkt på L som ligger närmast origo.

f(x) = (x^3)/12 + 1/x
f'(x) = x^2/4 - 1/x^2 = (x^4 - 4)/(4x^2).

Vi måste bestämma integralen F(x) = § sqrt(1+f'(x)^2) dx.

F(x) = § sqrt(1+f'(x)^2) dx = § sqrt(1 + ((x^4 - 4)/(4x^2))^2) dx = § sqrt(1 + (x^8 - 8x^4 + 16)/16x^4) dx = {gemensam nämnare} = § sqrt((16x^4 + x^4 - 8x^4 + 16)/16x^4) dx = § sqrt((x^8 + 8x^4 + 16)/16x^4) dx = § sqrt(((x^4+4)/(4x^2))^2) dx = § (x^4+4)/(4x^2) dx = §x^2/4 dx + §dx/x^2 = x^3/12 - 1/x.

F(x) = x^3/12 - 1/x.

Längden blir då F(4) - F(1) = 4^3/12 - 1/4 - (1^3/12 - 1/1) = 6 l.e.