Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Permalänk
Medlem
Citat:

Ursprungligen inskrivet av spiide
Linjen L är skärningen mellan planen x + 2y - 2z = 5 och 2x - y + z = 0. Bestäm den punkt på L som ligger närmast origo.

x + 2y - 2z = 5 (i)
4x - 2y + 2z = 0 (ii)

(i) + (ii):
5x = 5 => x = 1

x + 2y - 2z = 5 (1)
x - 0.5y + 0.5z = 0 (2)

(1) - (2):
2.5y - 2.5z = 5
y = 5 + z

Alltså kan linjen L beskrivas som att y = 5 + z, x = 1 (om jag nu inte tänker fel. har inte gjort sådana här uppgifter på hur länge som helst). Jag tänker skriva om den till parameterform:

x = 1
y = 0 + Q
z = -5 + Q

Positionsvektorn från origo till en given punkt Q på linjen L borde då kunna skrivas som (1, Q, -5 + Q). Igen, hoppas jag inte tänker fel. Avståndet från origo till punkt Q på linjen är då positionsvektorns längd, dvs sqrt(1² + Q² + (-5 + Q)²) = sqrt(1 + Q² + Q² - 10Q + 25) = sqrt(2Q² - 10Q + 26)

Det gäller alltså att hitta en minpunkt för sqrt(2Q² - 10Q + 26). Eftersom sqrt(Y) är som minst är Y är som minst så räcker det med att hitta minpunkten för (2Q² - 10Q + 26). Det globala minimumet finns vid Q = 2.5. Då är punkten alltså (1, 2.5, -2.5).

edit: ett annat sätt, utan derivata, skulle vara att se till att skalärprodukten mellan (1, Q, -5 + Q) och (0,1,1) är noll

Visa signatur

<darren> the hardest part of linux is choosing either a kill bill or an anime wallpaper i wish i didnt have to choose

Permalänk
Medlem

Tackar!

Visa signatur

[i9 9900k@5Ghz] [1080Ti] [Gskill 2x8Gb 3600 CL15][Ek+Alphacool custom loop]

Permalänk
Medlem
Citat:

Ursprungligen inskrivet av spiide
Linjen L är skärningen mellan planen x + 2y - 2z = 5 och 2x - y + z = 0. Bestäm den punkt på L som ligger närmast origo.

Citat:

Ursprungligen inskrivet av roggles
...

roggles, svaret skall vara (1, 1, -1).

Permalänk
Medlem
Citat:

Ursprungligen inskrivet av roggles
x + 2y - 2z = 5 (i)
4x - 2y + 2z = 0 (ii)

(i) + (ii):
5x = 5 => x = 1

x + 2y - 2z = 5 (1)
x - 0.5y + 0.5z = 0 (2)

(1) - (2):
2.5y - 2.5z = 5
y = 5 + z

Alltså kan linjen L beskrivas som att y = 5 + z, x = 1 (om jag nu inte tänker fel. har inte gjort sådana här uppgifter på hur länge som helst). Jag tänker skriva om den till parameterform:

x = 1
y = 0 + Q
z = -5 + Q

Positionsvektorn från origo till en given punkt Q på linjen L borde då kunna skrivas som (1, Q, -5 + Q). Igen, hoppas jag inte tänker fel. Avståndet från origo till punkt Q på linjen är då positionsvektorns längd, dvs sqrt(1² + Q² + (-5 + Q)²) = sqrt(1 + Q² + Q² - 10Q + 25) = sqrt(2Q² - 10Q + 26)

Det gäller alltså att hitta en minpunkt för sqrt(2Q² - 10Q + 26). Eftersom sqrt(Y) är som minst är Y är som minst så räcker det med att hitta minpunkten för (2Q² - 10Q + 26). Det globala minimumet finns vid Q = 2.5. Då är punkten alltså (1, 2.5, -2.5).

edit: ett annat sätt, utan derivata, skulle vara att se till att skalärprodukten mellan (1, Q, -5 + Q) och (0,1,1) är noll

Nja, du gör lite fel. (punkten ligger inte något av planen)

Då man vet att x = 1 så får man att 1 + 2y - 2z = 5 => 2y = 2z + 4 => y = z + 2

Så med z=t blir linjen (1,2,0) + t*(0,1,1)
Avståndet till origo minimeras då punktens ortsvektor är ortogonal mot linjens riktningsvektor
Skalärprodukten mellan (1,2,0) + t*(0,1,1) och (0,1,1) skall vara lika med noll, lös för t.

Permalänk
Medlem

Heh. Jag gjorde bara ett slarvfel att 5/2.5 = 5. Annars är det väl samma. =\

Visa signatur

<darren> the hardest part of linux is choosing either a kill bill or an anime wallpaper i wish i didnt have to choose

Permalänk
Medlem

En uppgift från gymnasiekursen Matte E.

xy + y' = x+1 där y>0

denna ekvation är separabel och skall således lösas på de viset.

tack på förhan

Visa signatur

det blir inte roligare än såhär

Permalänk
Glömsk

Vad är det häftiga med e^(pi*sqrt(163))? Har något med Ramanujan att göra, men jag hittar inte så mycket än så på Mathworld.

Visa signatur

...man is not free unless government is limited. There's a clear cause and effect here that is as neat and predictable as a law of physics: As government expands, liberty contracts.

Permalänk
Citat:

Ursprungligen inskrivet av Psionicist
Vad är det häftiga med e^(pi*sqrt(163))? Har något med Ramanujan att göra, men jag hittar inte så mycket än så på Mathworld.

e^(pi*sqrt(163)) kallas Ramanujans konstant. Det är en approximation för ett väldigt stort heltal; de första tolv siffrorna i decimalutvecklingen är 9or.

Visa signatur

I never made a mistake in my life. I thought I did once, but I was wrong.

Permalänk
Citat:

Ursprungligen inskrivet av Krr_Lee
En uppgift från gymnasiekursen Matte E.

xy + y' = x+1 där y>0

denna ekvation är separabel och skall således lösas på de viset.

tack på förhan

Är du säker på att den är separabel? Känns som om ettan i slutet ställer till det...

Permalänk
Citat:

Ursprungligen inskrivet av Muzzafarath
Är du säker på att den är separabel? Känns som om ettan i slutet ställer till det...

Kanske skrev han plus när han menade gånger?

Visa signatur

I never made a mistake in my life. I thought I did once, but I was wrong.

Permalänk
Medlem
Citat:

Ursprungligen inskrivet av Krr_Lee
En uppgift från gymnasiekursen Matte E.

xy + y' = x+1 där y>0

denna ekvation är separabel och skall således lösas på de viset.

tack på förhan

En diffekvation är separabel om den kan skrivas på formen y' = f(y)g(x)
y' = x + 1 - xy kan inte skrivas om på detta sätt.

Ang. exp(pi*sqrt(163)):
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/93_back/163

Permalänk
Medlem

Är inte bara den där y' = x + 1 - xy bara en "vanlig" linjär differentialekvation som man kan använda en tuff formel för att lösa?

Visa signatur

<darren> the hardest part of linux is choosing either a kill bill or an anime wallpaper i wish i didnt have to choose

Permalänk
Medlem
Citat:

Ursprungligen inskrivet av roggles
Är inte bara den där y' = x + 1 - xy bara en "vanlig" linjär differentialekvation som man kan använda en tuff formel för att lösa?

Den kan lösas med metoden med integrerande faktor, men det lärs inte ut i gymnasiet vad jag vet.

Permalänk
Citat:

Ursprungligen inskrivet av raol
Den kan lösas med metoden med integrerande faktor, men det lärs inte ut i gymnasiet vad jag vet.

Det finns med i böckerna, men det är inte alla lärare som väljer/hinner ta med det. Som Muzz nämnde ovan, så ställer 1:an till med problem även här.

Visa signatur

I never made a mistake in my life. I thought I did once, but I was wrong.

Permalänk
Medlem
Citat:

Ursprungligen inskrivet av raol
Ang. exp(pi*sqrt(163)):
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/93_back/163

Bara undrar: hade du redan den där i en bookmark, eller har du någon metod för att söka på matematiska uttryck (vilket inte är särskilt lyckat i google)?

Visa signatur

:€

Permalänk
Medlem
Citat:

Ursprungligen inskrivet av eighty
Bara undrar: hade du redan den där i en bookmark, eller har du någon metod för att söka på matematiska uttryck (vilket inte är särskilt lyckat i google)?

sökte på exp(sqrt(pi*163))

Permalänk
Medlem

Ok... jag googlade lite och hittade http://www.usenet.com/newsgroups/sci.math/msg24061.html:

Citat:

Actually, something even cooler is true: j((1+sqrt(-163))/2) is not
only an
integer, but the cube of an integer. So in fact,

(e^(pi*sqrt(163) - 744)^(1/3) =
640319.9999999999999999999999993903175...

Jag tycker inte det är oerhört spännande, men tydligen är många e^(pi*sqrt n)) "almost integers" (se längst ner):
http://groups-beta.google.com/group/sci.math/msg/88febc903a25...

Visa signatur

:€

Permalänk
Medlem

ööh ja enligt min bok ska den vara separabel, men det kan ju vara så att de har skrivit fel i boken.... svaret skulle iaf bli y= (2(x+lnx+C))^1/2

Visa signatur

det blir inte roligare än såhär

Permalänk
Citat:

Ursprungligen inskrivet av Krr_Lee
ööh ja enligt min bok ska den vara separabel, men det kan ju vara så att de har skrivit fel i boken.... svaret skulle iaf bli y= (2(x+lnx+C))^1/2

Då var det som jag sa:

Citat:

Ursprungligen inskrivet av iNCREDiBLE
Kanske skrev han plus när han menade gånger?

Ty xyy' = x + 1 , y > är separabel och har lösningen y= (2(x+lnx+C))^1/2

Visa signatur

I never made a mistake in my life. I thought I did once, but I was wrong.

Permalänk
Medlem

jag har ett begynnelseproblem som har en separabel diffekvaktion men jag vet inte riktigt hur jag ska gå vidare efter:
dy/dx = sin(x)/cos(y)
lösningen jag fick blev då:
sin(y) = -cos(x) +C
y(0) = -pi/2
hur gör jag för att bli av med sin och cos i den?

Permalänk
Medlem

sin(-pi/2) = -cos(0) + C
-1 = -1 + C, C = 0

sin(y) = -cos(x) är alltså funktionen

arcsin(sin(y)) = arcsin(-cos(x))
y = arcsin(-sin(pi/2 - x))
y = arcsin(sin(x - pi/2))
y = x - pi/2

EDIT: En liten fundering som uppstod när jag gjorde denna uppgiften: när är f¯¹(-f(x)) lika med -x? Antar att det generellt inte är så, men i detta fallet var det ju så. f¯¹ ska föreställa inversen till f

edit2: jaja, det gäller förstås bara när -f(x) = f(-x)

Visa signatur

<darren> the hardest part of linux is choosing either a kill bill or an anime wallpaper i wish i didnt have to choose

Permalänk
Medlem

Jag har två frågor.
1) Hur deriverar man 1 / tan(x) ?
2) Hur deriverar man (2-x)*e^(2x)

Visa signatur

I like turtles!

Permalänk
Medlem

1) Har du derivatan av tan(x) så är det bara (tan(x))^-1 . Tillämpa kedjeregeln. Har du inte derivatan så deriverar du cos(x)/sin(x) med kvotprylen.
2) Produktregeln.

Visa signatur

<darren> the hardest part of linux is choosing either a kill bill or an anime wallpaper i wish i didnt have to choose

Permalänk
Medlem

Egenvektorer

Hej.
Vet inte riktigt hur man skall välja posetiva eller negativa värden i en egenvektor.

Ex.

2X1 + 4x2 = 0
4X1 + 8X2 = 0

Svar1:

X1 =-2
X2 = 1

Svar2:

X1 = 2
X2 =-1

Vilket av de här svaren är det riktiga?

Permalänk
Medlem

Hmmm, jag har lite svårt att genomskåda ditt problem, men förfarandet för att räkna fram först egenvärden är att lösa ekvationen DET(A-LambdaE)=0 Detta ger dig alla egenvärden. Därefter löser du systemet (A-LambdaE)=0 för alla lambdan. Detta ger dig egenvektorerna.

Visa signatur

#apple.se @efnet - Frihet, Jämlikhet, Mac.

Permalänk
Medlem

Re: Egenvektorer

Citat:

Ursprungligen inskrivet av Jorope
Hej.
Vet inte riktigt hur man skall välja posetiva eller negativa värden i en egenvektor.

Ex.

2X1 + 4x2 = 0
4X1 + 8X2 = 0

Svar1:

X1 =-2
X2 = 1

Svar2:

X1 = 2
X2 =-1

Vilket av de här svaren är det riktiga?

Well, eftersom du sysslar med linjära avbildningar så gäller F(a*v) = a*F(v) för alla reella konstanter a. Därmed, om du har en egenvektor så är alla vektorer som är parallella med denna vektor också en egenvektor. Det är ett helt endimensionellt rum av egenvektorer. (Och om egenvärdet har högre multiplicitet blir det högredimensionella rum av egenvektorer.) Det spelar i allmänhet ingen roll vilken egenvektor man väljer, såvida man inte är ute efter en ON-bas (då måste vektorn normeras), eller ett högerorienterat system (då är riktningen viktig) eller så.

Permalänk
Medlem

behöver hitta en invers till y=2*x-x^2
skulle var tacksam om ni visade alla steg

Visa signatur

I se the light in the end, but everytime I take a step it's get dim...

Permalänk
Medlem

x = 2y - y²
x = -(y² - 2y)
x = -((y - 1)² - 1))
x = -(y - 1)² + 1
(y - 1)² = 1 - x
y = 1 +- sqrt(1 - x)

Vilken intervall som är plus roten och vilka som är negativa roten får du titta på själv.

Visa signatur

<darren> the hardest part of linux is choosing either a kill bill or an anime wallpaper i wish i didnt have to choose

Permalänk
Medlem
Citat:

Ursprungligen inskrivet av roggles
x = 2y - y²
x = -(y² - 2y)
x = -((y - 1)² - 1))
x = -(y - 1)² + 1
(y - 1)² = 1 - x
y = 1 +- sqrt(1 - x)

Vilken intervall som är plus roten och vilka som är negativa roten får du titta på själv.

man tackar o buggar!

Visa signatur

I se the light in the end, but everytime I take a step it's get dim...

Permalänk
Medlem

Re: Re: Egenvektorer

Citat:

Ursprungligen inskrivet av raol
Well, eftersom du sysslar med linjära avbildningar så gäller F(a*v) = a*F(v) för alla reella konstanter a. Därmed, om du har en egenvektor så är alla vektorer som är parallella med denna vektor också en egenvektor. Det är ett helt endimensionellt rum av egenvektorer. (Och om egenvärdet har högre multiplicitet blir det högredimensionella rum av egenvektorer.) Det spelar i allmänhet ingen roll vilken egenvektor man väljer, såvida man inte är ute efter en ON-bas (då måste vektorn normeras), eller ett högerorienterat system (då är riktningen viktig) eller så.

Tackar raol.
Detta gav mig lite mer klarhet i det hela.
Då behöver det inte vara fel bara för att det inte stämmer med facit. Där det ibland står på ena sättet och ibland på det andra.