Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

x + 2y - 2z = 5 (i)
4x - 2y + 2z = 0 (ii)

(i) + (ii):
5x = 5 => x = 1

x + 2y - 2z = 5 (1)
x - 0.5y + 0.5z = 0 (2)

(1) - (2):
2.5y - 2.5z = 5
y = 5 + z

Alltså kan linjen L beskrivas som att y = 5 + z, x = 1 (om jag nu inte tänker fel. har inte gjort sådana här uppgifter på hur länge som helst). Jag tänker skriva om den till parameterform:

x = 1
y = 0 + Q
z = -5 + Q

Positionsvektorn från origo till en given punkt Q på linjen L borde då kunna skrivas som (1, Q, -5 + Q). Igen, hoppas jag inte tänker fel. Avståndet från origo till punkt Q på linjen är då positionsvektorns längd, dvs sqrt(1² + Q² + (-5 + Q)²) = sqrt(1 + Q² + Q² - 10Q + 25) = sqrt(2Q² - 10Q + 26)

Det gäller alltså att hitta en minpunkt för sqrt(2Q² - 10Q + 26). Eftersom sqrt(Y) är som minst är Y är som minst så räcker det med att hitta minpunkten för (2Q² - 10Q + 26). Det globala minimumet finns vid Q = 2.5. Då är punkten alltså (1, 2.5, -2.5).

edit: ett annat sätt, utan derivata, skulle vara att se till att skalärprodukten mellan (1, Q, -5 + Q) och (0,1,1) är noll

roggles, svaret skall vara (1, 1, -1).

Nja, du gör lite fel. (punkten ligger inte något av planen)

Då man vet att x = 1 så får man att 1 + 2y - 2z = 5 => 2y = 2z + 4 => y = z + 2

Så med z=t blir linjen (1,2,0) + t*(0,1,1)
Avståndet till origo minimeras då punktens ortsvektor är ortogonal mot linjens riktningsvektor
Skalärprodukten mellan (1,2,0) + t*(0,1,1) och (0,1,1) skall vara lika med noll, lös för t.

Heh. Jag gjorde bara ett slarvfel att 5/2.5 = 5. Annars är det väl samma. =\

En uppgift från gymnasiekursen Matte E.

xy + y' = x+1 där y>0

denna ekvation är separabel och skall således lösas på de viset.

tack på förhan

e^(pi*sqrt(163)) kallas Ramanujans konstant. Det är en approximation för ett väldigt stort heltal; de första tolv siffrorna i decimalutvecklingen är 9or.

Är du säker på att den är separabel? Känns som om ettan i slutet ställer till det...

Kanske skrev han plus när han menade gånger?

En diffekvation är separabel om den kan skrivas på formen y' = f(y)g(x)
y' = x + 1 - xy kan inte skrivas om på detta sätt.

Ang. exp(pi*sqrt(163)):
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/93_back/163

Är inte bara den där y' = x + 1 - xy bara en "vanlig" linjär differentialekvation som man kan använda en tuff formel för att lösa?

Den kan lösas med metoden med integrerande faktor, men det lärs inte ut i gymnasiet vad jag vet.

Det finns med i böckerna, men det är inte alla lärare som väljer/hinner ta med det. Som Muzz nämnde ovan, så ställer 1:an till med problem även här.

Bara undrar: hade du redan den där i en bookmark, eller har du någon metod för att söka på matematiska uttryck (vilket inte är särskilt lyckat i google)?

sökte på exp(sqrt(pi*163))

Ok... jag googlade lite och hittade http://www.usenet.com/newsgroups/sci.math/msg24061.html:

Jag tycker inte det är oerhört spännande, men tydligen är många e^(pi*sqrt n)) "almost integers" (se längst ner):
http://groups-beta.google.com/group/sci.math/msg/88febc903a25...

ööh ja enligt min bok ska den vara separabel, men det kan ju vara så att de har skrivit fel i boken.... svaret skulle iaf bli y= (2(x+lnx+C))^1/2

Då var det som jag sa:

Ty xyy' = x + 1 , y > är separabel och har lösningen y= (2(x+lnx+C))^1/2

sin(-pi/2) = -cos(0) + C
-1 = -1 + C, C = 0

sin(y) = -cos(x) är alltså funktionen

arcsin(sin(y)) = arcsin(-cos(x))
y = arcsin(-sin(pi/2 - x))
y = arcsin(sin(x - pi/2))
y = x - pi/2

EDIT: En liten fundering som uppstod när jag gjorde denna uppgiften: när är f¯¹(-f(x)) lika med -x? Antar att det generellt inte är så, men i detta fallet var det ju så. f¯¹ ska föreställa inversen till f

edit2: jaja, det gäller förstås bara när -f(x) = f(-x)

Jag har två frågor.
1) Hur deriverar man 1 / tan(x) ?
2) Hur deriverar man (2-x)*e^(2x)

1) Har du derivatan av tan(x) så är det bara (tan(x))^-1 . Tillämpa kedjeregeln. Har du inte derivatan så deriverar du cos(x)/sin(x) med kvotprylen.
2) Produktregeln.

Hej.
Vet inte riktigt hur man skall välja posetiva eller negativa värden i en egenvektor.

Ex.

2X1 + 4x2 = 0
4X1 + 8X2 = 0

Svar1:

X1 =-2
X2 = 1

Svar2:

X1 = 2
X2 =-1

Vilket av de här svaren är det riktiga?

Hmmm, jag har lite svårt att genomskåda ditt problem, men förfarandet för att räkna fram först egenvärden är att lösa ekvationen DET(A-LambdaE)=0 Detta ger dig alla egenvärden. Därefter löser du systemet (A-LambdaE)=0 för alla lambdan. Detta ger dig egenvektorerna.

Well, eftersom du sysslar med linjära avbildningar så gäller F(a*v) = a*F(v) för alla reella konstanter a. Därmed, om du har en egenvektor så är alla vektorer som är parallella med denna vektor också en egenvektor. Det är ett helt endimensionellt rum av egenvektorer. (Och om egenvärdet har högre multiplicitet blir det högredimensionella rum av egenvektorer.) Det spelar i allmänhet ingen roll vilken egenvektor man väljer, såvida man inte är ute efter en ON-bas (då måste vektorn normeras), eller ett högerorienterat system (då är riktningen viktig) eller så.

behöver hitta en invers till y=2*x-x^2
skulle var tacksam om ni visade alla steg

x = 2y - y²
x = -(y² - 2y)
x = -((y - 1)² - 1))
x = -(y - 1)² + 1
(y - 1)² = 1 - x
y = 1 +- sqrt(1 - x)

Vilken intervall som är plus roten och vilka som är negativa roten får du titta på själv.

man tackar o buggar!

Tackar raol.
Detta gav mig lite mer klarhet i det hela.
Då behöver det inte vara fel bara för att det inte stämmer med facit. Där det ibland står på ena sättet och ibland på det andra.