Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

beräkna volym bunden med kurvor y=1/(1+x^2) och y=2 mellan x=0 & x=1
ser ju enkelt ut
pi§((2^2)-( 1/(1+x^2))^2)dx |u=tan(x) => interval mellan 0 & pi/4|
pi§4 - pi§(1/(1+tan^2))du
4pi - pi§1/sec^2 du
4pi - pi§cos^2 du
4pi - pi§(1/2+cos2u/2)du |u1=2u => interval 0 &pi/2
4pi - pi/2 u + pi/4 sin2u1
4pi - pi^2/8 + pi/4
17pi/4 -pi^2/8

och det är fel enligt facit.... det ska vara 15pi/4 -pi^2/8 det är ju liten fel.. men vart har jag gjort det?

ser ut som att det ska vara 4pi - (pi^2/8 + pi/4) = 15pi/4 - pi^2/8

men ooo.. så dumt.. glömde parantesen.. tack

******************'
har en till grej där jag kan inte sätta formel på ord

man kan ju tänka sig att kroppen som roterar binds av kurvor
y=1-x
y=x-1

carramba: Du använder samma punkt två gånger? Menar du inte (0, -1) i sista?
Du kan iaf göra den enkelt med en integral

Någon som har lust att förklara hur division för hand går till steg för steg (med "liggande stolen")?
Tex. 8489/69

Man ska ju räkna ut kvoten och resten.
Förstår inte riktigt.

När du utför en heltalsdivision a/b så är målet att hitta en kvot q och en rest r så att a/b = q + r/b, och resten r skall vara vara mindre än b och större än eller lika med noll.

Vad du gör med divisionsalgoritmen i form av "liggande stolen", är att du räknar ut kvoten siffra för siffra. Först kollar du hur många gånger 69 går i 8, men det man egentligen gör är att man kollar hur många tusen gånger 69 går i 8789, svaret är 0.

Sedan kollar vi hur många gånger 69 går i 84, eller hur många hundra gånger 69 går i 8489.
Svaret är 1.
Då subtraherar vi 100*69 från 8489, vi har kvar 1589.

Hur många gånger går 69 i 158 (hur många tiotal gånger går 69 i 1589)? 2.
1589-20*69 = 209.

Hur många gånger går 69 i 209? 3.
209 - 3*69 = 2

Nu har vi alltså 8489 - 100*69 - 20*69 - 3*69 = 2, med andra ord, 8489/69 = 123 + 2/69

well, du använder bara kvotregeln, (f/g)' = (f'g - fg')/g^2
(Alternativt produktregeln plus kedjeregeln på 1/(3-2x^3), om du föredrar detta.)
Det är bara en variabel i nämnaren såvitt jag kan se.

Fick ut ett gammalt slutprov idag (vi skriver prov i vecka 9), utan facit. Behöver hjälp med en del frågor. Detta är alltså inget betygsatt prov för mig, utan bara uppgifter som jag fått.

Läs gärna vad jag skrivit om frågan innan du jobbar med dem, så att du inte gör något i onödan. Jag har redan klarat delar av frågan i de flesta fall.

1) The point A(2, 5, -1) is reflected in the plane x + y + z - 1. Find the coordinates of the image of A.

2) z = 2(cos(2pi/5) + i*sin(2pi/5). In the complex plane, the point z^n is mapped to z^(n + 1) by a composition of two linear transformations where n=1,2,3,4. Give a full geometric description of the two transformations.

3) Man har funktionen f(x) = a/(b + e^(-cx)), a != 0, b>0, c>0. Först ska man hitta koordinaten punkten på kurvan där f''(x) = 0. Svaret är (-ln(b)/c, a/2b). Sen kommer delfrågan "Show that this is a point of inflexion". Vad är det man ska visa? f''(x) = 0, ju... Vad mer för krav ställs på en point of inflexion?

4) Prove that sin(4x)*(1-cos(2x)/(cos(2x)*(1-cos(4x)) = tan(x), for 0<x<pi/2, and x = pi/4

Mina kommentarer:

1) Observera att denna fråga bara är värd två poäng utav sextio. Det enda jag kan komma på är att finna en linje som är ortogonal till planet som går igenom punkten A. Sedan finna intersection mellan A och planet, finna avståndet mellan A och planet för att sedan följa linjen med ett lika långt avstånd för att hitta punkten där. Mycket krånglig metod för 2/60 poäng. Är det rätt tänkt annars?

2) Om man studerar modulus först, så dubblas den när z^n är mapped på z^(n+1), ty 2^(n+1) är dubbelt så stort som 2^n. Alltså är själva transformationen en "dilation" med sqrt(2) längs y-axeln, och sqrt(2) längs x-axeln, så att punktens avstånd från origo dubblas.Den andra transformationen är helt enkelt att argumentet ökar med 2pi/5, alltså en rotation på 2pi/5 radianer, motsols. Är detta rätt tänkt? En uppgift som är svår att förstå tycker jag.

3) Vad är det man ska visa? f''(x) = 0, ju... Vad mer för krav ställs på en point of inflexion?

4) Denna löste jag genom att förenkla sin(4x) samt cos(4x) och till slut bara löste sig allting. Dock hade jag stora problem med uppgiften, och den tog cirka 25 minuter, vilket jag inte har tid med i en provsituation. Jag undrar bara hur man ska tänka på sådana här jobbiga trigonometri-frågor.

Tack för all respons! Inser att jag frågar om många frågor, men jag hjälper ofta till här så gott jag kan också

1) är väldigt lätt eftersom (2,5,-1) + t*(1,1,1) är en linje som går genom A och är ortogonal mot planet. När du hittat t som ger punkten i planet så är det bara att dubbla detta t för att få reflektionspunkten.

2) Ja, om du tänker på de Moivres formel blir det väl uppenbart vad som händer.

3) En inflektionspunkt är en punkt där kurvan går från att vara konvex till konkav eller vice versa. Dvs f'' byter tecken.

4) Saknas lite högerparentseser...
Jag skulle först utveckla sin(4x) = 2*sin(2x)*cos(2x) och förkorta bort cos(2x). Sen när du utvecklar 1 - cos(4x) = 2 - 2*cos(2x)^2 blir det en liten genväg om du observerar att detta är 2*(1 - cos(2x))*(1 + cos(2x))
Annars är det egentligen bara att använda formlerna rakt av och räkna på, är inte så knepigt, gäller bara att faktorisera uttrycken och förkorta. Ett tips är väl då alltså att faktorisera så fort som möjligt, så att man slipper utveckla det som redan kan förkortas.

1) Ja, tack. Jag tänkte på ett mycket knepigare sätt än att man bara kan dubbla t. Då är inte uppgiften alls så jobbig, nej.

2) Kanske =p Tog mig lång tid att förstå frågan.

3) Hur ska man visa detta då, förutom att f''(-ln(b)/c) = 0? Om punkten inte är en stationär punkt, då MÅSTE det väl vara en inflektionspunkt? f'(-ln(b)/c) = ac/4b. Eftersom varken a eller c är noll, så är uttrycket aldrig noll, och det kan därför inte vara en minpunkt. Eftersom f''(-ln(b)/c) = 0 och (-ln(b)/c, a/2b) inte är en minpunkt, så måste det vara en inflektionspunkt. Räcker det som "bevisföring", eller måste man visa något ytterligare?

Stationära punkter har inget med inflektionspunkter att göra. Det är en inflektionspunkt om andraderivatan är noll och tredjederivatan är nollskild i punkten, då måste andraderivatan växla tecken. Om tredjederivatan också är noll måste man titta på ännu högre derivator.
Det är en inflektionspunkt om och endast om förstaderivatan har en (inre) lokal extrempunkt (min eller max) i punkten.

Men det lättast här är väl att titta på andraderivatans värde till höger och vänster, då du bara har ett nollställe.

Tack så jättemkt.
Hur går det till om man har ett tal som:

((4x^3) - (3x^2) - 7) / (x-1)

Någon som kan förklara?

Likadant, fast istället för att eliminera den högsta tiopotensen, eliminerar du i varje steg termen med det högsta gradtalet på x.

http://mathworld.wolfram.com/LongDivision.html

Hmm. Jag vet inte om jag tror dig. Om f''(x) = 0 så är det antagligen en inflektionspunkt, om inte det är så att det finns en stationär punkt vid (x,y) för då växlar f''(x) aldrig tecken. Jag kan inte tänka mig någon funktion där f''(x) = 0 och inte växlar tecken om det inte också är en stationär punkt där. Alltså borde f(x) växla tecken ifall f''(x) = 0 och det inte är en stationär punkt. Vad är fel med detta resonemang?

edit: dessutom klarar jag inte att kolla värden till höger och vänster. Hur gör man då? andraderivatan är f''(x) = ac²e^(-cx)*(e^(-cx) - b)*(b + e^(-cx))^-3

Om f har en stationär punkt så är f' = 0. Om f har en inflektionspunkt så har f' en lokal extrempunkt. Det är olika saker.

f(x) = x^3 + x^2
f'(x) = 3*x^2 + 2x
f har två stationära punkter (x = 0 och x = -2/3)
f''(x) = 6x, den växlar tecken vi x = 0, som är en inflektionspunkt. x = -2/3 är ingen inflektionspunkt.

=======

f(x) = x^4 + x
f'(x) = 4*x^3 + 1
f''(x) = 12*x^2, f'' växlar aldrig tecken, finns ingen inflektionspunkt, f''(0) = 0 men x = 0 är ingen stationär punkt.

Heh. Ok. Du har rätt. Tack för hjälpen. Skulle du kunna visa hur man kollar tecken vid höger och vänster också, när jag inte har några specifika värden för a, b, c? Ska jag sätta att x = -ln(b)/c + 0.1 samt x = -ln(b)/c - 0.1 och sen förenkla uttrycken, eller hur gör jag? Får inte rätt på det. (Du behöver givetvis inte hjälpa mig. Du har hjälpt mig mycket, och jag förstår om du blir trött på mig. Tack för all hjälp. Snart kommer nog Muzzfarath och rycker in, ska du se )

Den enda faktor som kan växla tecken är (e^(-cx) - b). Derivera detta så ser du att derivatan är nollskild i punkten där denna faktor är noll, alltså växlar denna faktor tecken. Eller så observerar du att faktorn går mot -b i plus oändligheten, och plus oändligheten i minus oändligheten, och växlar alltså tecken.

Jag förstår nästan ingenting av den där länken.

..och t.ex om jag ska dividera för hand. Hur vet jag att 12345/8=1543,125 (det är ju omöjligt att räkna i huvudet bara sådär)

((4x^3) - (3x^2) - 7) / (x-1)

4x³/x = 4x². Då är första termen i svaret 4x². Dra ifrån 4x²(x - 1) = 4x³ - 4x² från talet, så att vi får x² - 7.

x²/x = x. Då är andra termen i svaret x. Dra ifrån x(x - 1) = x² - x från talet, så att vi får x - 7.

x/x = 1. Då är tredje termen i svaret 1. Dra ifrån (x - 1) från talet, så att vi får -6 .

Svaret är 4x² + x + 1 - 6/(x - 1).

edit: Det "tal" man delar med, i detta fallet x, är den term med högst gradtal i nämnaren. Så om du hade delat med x² - x, så hade du hela tiden delat med x² istället för x. Resten är samma.

edit 2: Gjorde fel i räkningarna, som alltid. Tror att det är rätt nu.

Sitter och pluggar inför en omtenta i analys 1 och har lite problem när jag ska lösa komplexa ekvationer av andra graden. Själva lösandet är inga problem vad som dock är det är något så enkelt som kvadratkomplettering. Så vitt jag vet så finns det ju inget bra system för att plocka fram kompletteringen och det stör mig något enormt då jag har problem att "se" vad som behövs göras med talen.

Så visa gärna om ni har några smarta tips/motsvarande för att kvadratkomplettera följande tal och tal i allmänhet.

z^2-(2+2i)z

I z² + bz + c så är c = (b/2)².

c = (1 + i)² = 2i

Alltså, z^2-(2+2i)z = (z - (1 + i))² - 2i

Det är exakt som när du kvadratkompletterar med reella tal.

Frost: (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2. När du kvadratkompletterar vill du ha första och andra termen i uttrycket jag skrev, dvs, i ditt fall, vill du få z^2-2*a*z. Här är det bara att bryta ut tvåan, så får du a = 1+i. Sedan adderar du (1+i)^2 och subtraherar det igen. Då har du ett uttryck liknande det ovan, minus (1+i)^2, som bara är en konstant.

edit: Bah. Tyst med dig roggles!
edit2: Yay! Julsmiliesarna är borta (hade inte märkt det än)!

Vilket tal?

Men löser man (z² - (1 + i))² så får man ju en z^4 term..:confused:

Var bara en felskrivning, han menade nog

z^2-(2+2i)z = (z - (1 + i))^2 - 2i.

x² - 7. Det som vi har kvar att dividera. Jag vet inte hur man förklarar det bättre än så utan penna och papper.

Frost i Swe: Som Muzzafarath sa.