Rationella och irrationella tal

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Naboo
Registrerad
Okt 2003

Rationella och irrationella tal

Naturliga tal betecknas med N.
Heltal betecknas med Z.
Rationella tal betecknas med Q.
Vi har också irrationella tal.
Kollektivt kallas dessa för reella tal och betecknas R.

Naturliga tal är alltså de "vanliga" talen som vi har med oss sedan barnsben och som vi använder för att räkna "hur många" eller hur mycket det finns av ett visst ting. Om vi räknar får så säger vi kanske att det finns 5 får i hagen. Man kan ju inte säga att det finns -5 får! Vad är fem negativa får?... 5 får med dåligt humör? Om man ska köpa ett par får av bonden så kan man inte säga att man vill köpa 1/2 får! Då får man kanske bara hälften av ett får! Det vill man nog inte, förutom om man ska äta det kanske. Därför måste vi utöka "tal" begreppet dvs. talområdet till att även innehålla negativa tal. Vi måste också utöka det med rationella tal eller bråktal. Om tre personer ska dela på ett äpple så måste man använda bråktal för att alla ska få lika mycket.

[tex]N=\left\{0,\hspace{6}1,\hspace{6}2,\hspace{6}3,\hspace{6} ...\right\} \\ Z=\left\{...\hspace{6},\hspace{6}-3,\hspace{6}-2,\hspace{6}-1,\hspace{6}0,\hspace{6}1,\hspace{6}2,\hspace{6}3,\hspace{6}...\right\} \\ Q=\left\{alla\hspace{6}tal\hspace{6}\frac{m}{n}\hspace{6},\hspace{6}n\neq 0\hspace{6},\hspace{6}n\hspace{6}och\hspace{6}m\in Z\right\}[/tex]

Man kan säga så här:
Varje naturligt tal är ett heltal, och varje heltal är ett rationellt tal! Alltså är talområdet Q det största av dessa tre!

[tex]n\hspace{6}och\hspace{6}m\in Z\[/tex] läses som "n och m tillhör Z", [tex]\in[/tex] är alltså detsamma som "tillhör".

Kan man då på motsvarande sätt säga att [tex]N,\hspace{6}Z\hspace{6}och\hspace{6}Q\in R[/tex] ? Kan man beteckna det så?

Hur betecknas irrationella tal? iR? iQ?

Kan man då teckna det som [tex]Q\hspace{6}och\hspace{6}iQ\in R[/tex] ?

Oj jävlar! Latex märken stöds visst inte på det här forumet... sorry for the mess! Jag orkar bara inte skriva om skiten nu till vanlig text, nu när jag har ansträngt mig så för att skriva det i Latex och skriva det rätt. Jag hoppas att ni som förstår Latex ändå ska kunna tyda det.

"Good teaching is one-fourth preparation and three-fourths pure theatre."—Gail Godwin
Sweclockers BB kod
0101001101000111

Trädvy Permalänk
Hedersmedlem
Plats
Linköping
Registrerad
Apr 2004

Re: Rationella och irrationella tal

Citat:

Ursprungligen inskrivet av ElectroGeeza
Man kan säga så här:
Varje naturligt tal är ett heltal, och varje heltal är ett irrationellt tal!

Du menar nog att varje heltal är rationellt.

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Naboo
Registrerad
Okt 2003

Re: Re: Rationella och irrationella tal

Citat:

Ursprungligen inskrivet av Elgot
Du menar nog att varje heltal är rationellt.

Hehe, dumma mig! Sorry! Ja, det ska vara att "varje heltal är ett RATIONELLT tal"! Tack för det!

Någon aning om hur man betecknar irrationella tal? Jag har Googlat lite och utforskat det som står i Wikipedia om rationella och irrationella tal men har inte kunnat hitta något svar på frågan.

Alltså vi har ju speciella termer vi använder inom matematiken för precis allt i stort sett! Exemplet här visar på hur man gör skillnad på en viss "typ" av tal och en annan "typ" av tal. Man gör alltså skillnad på tal och tal! Sedan börjar man kalla det för olika saker som rationella tal och irrationella tal av naturliga skäl - för att kunna på ett enkelt sätt kunna uttrycka vad vi menar utan några långa förklaringar. Dessutom inför man symboler för dessa olika termer och begrepp för att ännu enklare och snabbare kunna uttrycka det i skriven text.

Kan det hända att det inte finns någon symbol för irrationella tal?... jag har väldigt svårt att föreställa mig det, av den enkla anledningen att man redan har infört symboler för de ingående delmängderna N, Z och Q som ingår i R (reella tal). Glömde man inför symbolen för irrationella tal?... jag brukar skriva det som iQ eftersom jag aldrig har lärt mig om det finns någon symbol för det. Så skriver jag bara i mina anteckningar, jag skriver inte det på prov eller liknande sammanhang och har hittills inte behövt det alls.

I Wahlström & Widstrands Matematiklexikon står det...

Citat:

irrationellt tal Ett reellt tal, som inte är ett rationellt tal. Exempel utgör √2, e, pi. (alltså roten ur 2, eulers tal, och pi) Se också Dedekinds snitt.

Citat:

rationella tal Tal som kan skrivas på formen a/b, där a, b E (tillhör) Z, b≠0. Ordet "rationell" härstammar från latinets ratio, som betyder kvot. De rationella talen bildar en kropp, Q, som är en delkropp till kroppen av de reella talen, R. De rationella talen karakteriseras av att deras decimalutvecklingar är periodiska. Reella tal som inte är rationella kallas irrationella. Deras decimalutvecklingar är icke periodiska. Den rationella talkroppen Q kan konstrueras ur ringen av de hela talen Z på följande sätt. Bilda produktmängden Z x Z = {(a, b); a, b, E (tillhör) Z}. Eftersom målet är att identifiera (a, b) med a/b, måste Z x Z inskränkas. Sätt S={(a, b); a, b E (tillhör) Z, b≠0}. Et cetera...... det står hur mycket som helst om de rationella talen, men inget om beteckningen för irrationella tal.

Citat:

I lexikonets början står en förteckning över de tecken och symboler som används i den, här är några vanliga symboler:

N, mängden av de naturliga talen, dvs {1, 2, 3, ... .}
ω, de naturliga talen, betraktad som en välordnad mängd
Nn (n nedsänkt), mängden {1, 2, 3, ... .}
Z, ringen av hela tal
Z+ (+ upphöjt), de positiva heltalen, dvs {1, 2, 3, ... .}
Q, kroppen av rationella tal
R, kroppen av reella tal
C, kroppen av komplexa tal
A, kroppen av algebraiska tal (över C)
B, ringen av algebraiska heltal

... et cetera.

Att det inte finns någon symbol för irrationella tal kan tänkas bero på dessa tals natur - dvs. det att de är oförutsägbara och inte har periodisk decimalutveckling, och dessutom är de alla helt olika (t.ex. e och pi). Då kan man tänka sig att dessa inte går att gruppera på samma sätt som de rationella talen eftersom dessa inte är av samma "sort".

Analogi:
Vi har ett hundra trettiofyra äpplen och ett päron i en back. Ska vi säga att vi har en back full med äpplen då? Ska man ignorera faktum att det finns ett päron bland dessa äpplen?... visst, vi kan säga att vi har en back med "frukt" men det låter inte så bra, dels för att "frukt" inte preciserar vad det är för frukt, men också för att det i stort sett bara är äpplen i backen (om man bortser från päronet).

Okej... kanske lite dålig analogi... men det var det bästa jag kunde komma på. Poängen är att irrationella tal ska vara en grupp, men det kan de inte eftersom varje irrationellt tal besitter särskilda egenskaper och strävar åt varsitt håll och bryter därför ut från den gemensamma gruppen.

Istället har man kanske därför valt att inför symboler för varje enskilt irrationellt tal, så som e (eulers tal) och pi (3,1415926535...). Man kanske inte tänker på det eller vet om det men även tal som kvadratroten ur 2 som också är irrationellt tal betecknas med den speciella symbolen för att den är så ofta förekommande. Lika så är det med tredje, fjärde, n-te roten ur ett tal. Egentligen är √2 detsamma som 2^(1/2) (två upphöjt till en halv).

"Good teaching is one-fourth preparation and three-fourths pure theatre."—Gail Godwin
Sweclockers BB kod
0101001101000111

Trädvy Permalänk
Medlem
Registrerad
Nov 2004

Du kan alltid göra bilder av dina LaTeX-ekvationer.

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
V-ås - är jag inte söt?
Registrerad
Jul 2001

Re: Rationella och irrationella tal

Citat:

Ursprungligen inskrivet av ElectroGeeza
Man kan säga så här:
Varje naturligt tal är ett heltal, och varje heltal är ett irrationellt tal! Alltså är talområdet Q det största av dessa tre![/B]

Man kan säga så, men det är fel. Det är fel även om man rättar felet "varje heltal är ett irrationellt tal".

Coola låtar i massor!
http://revolvermen.com

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Lund
Registrerad
Apr 2004

Det är väl inte så konstigt om det inte finns? Finns det någon beteckning för alla heltal utom de positiva? Finns det någon för alla rationella tal utom heltalen? Någon för de imaginära?

Real Programmers always confuse Christmas and Halloween because OCT 31 == DEC 25 !

Trädvy Permalänk
Hedersmedlem
Plats
Linköping
Registrerad
Apr 2004
Citat:

Ursprungligen inskrivet av whodoo
Någon för de imaginära?

I (med snygg romersk stil) har man väl sett ibland?

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Lund
Registrerad
Apr 2004

Möjligt, har aldrig sett den dock, bara i princip som beteckning på ideal. Googlade lite snabbt och såg att på vissa ställen används tydligen I för de irrationella talen.

Real Programmers always confuse Christmas and Halloween because OCT 31 == DEC 25 !

Trädvy Permalänk
Medlem
Registrerad
Maj 2003

Man betecknar i allmänhet inte mängden av alla irrationella tal på något vis. De irrationella talen är ju de som ligger i R men samtidigt inte ligger i Q. Alltså, om man betecknar dessa med I är I = R\Q, där \ är setminus-operationen, vilket kan ses som att man tar bort alla element ur R som finns i Q. Till exempel:

A = {1,2,3}
B = {1}
A\B = {2,3}

Skrivsättet R\Q, eller R-Q (jag föredrar det första, men det finns de som betecknar setminus med - också) är välkänt och R\Q vet alla vad det betyder.

Tillägg:

Man kan inte säga att Q är större än N för övrigt. Alla element i N finns i Q till exempel, så Q "borde" ju vara större. Men, det är det inte, N och Q är oändligt stora mängder som är lika stora. Man säger att en mängd A och en mängd B är lika mäktiga om det finns en bijektiv (surjektiv + injektiv) funktion mellan dessa.

Det finns bijektiva funktioner från N till Q och Q till N, alltså är N och Q lika stora. Däremot är R större, eftersom det finns finns en bijektiv funktion från N till R, men ingen från R till N. I någon mån kan man säga att N,Z,Q är lika stora, medan R är större. Till och med intervallet av alla tal mellan 0 och 1 är större än N,Z och Q dessutom! Men, ännu konstigare, intervallet mellan 0 och 1 är lika stort som hela R.

"I thought I was someone else, Someone good."
μ, en åsikt i tiden

Trädvy Permalänk
Glömsk
Plats
Userland
Registrerad
Jul 2001

Har inget att tillägga, men teckensnittet som dessa mängder brukar skrivas med kallas för Blackboard bold.

...man is not free unless government is limited. There's a clear cause and effect here that is as neat and predictable as a law of physics: As government expands, liberty contracts.

Trädvy Permalänk
Medlem
Registrerad
Maj 2003

Jag har dock ett tillägg, till:

"Okej... kanske lite dålig analogi... men det var det bästa jag kunde komma på. Poängen är att irrationella tal ska vara en grupp, men det kan de inte eftersom varje irrationellt tal besitter särskilda egenskaper och strävar åt varsitt håll och bryter därför ut från den gemensamma gruppen."

Så bör du inte använda ordet grupp sådär. Då grupp är en annan algebraisk struktur*, det finns inget i det du säger som är sant. Det är för att man inte anser att det 'behövs' som det finns något behov för det. Man hade haft en välkänd symbol för irrationella talen om det var något man ofta använde, men det är inte jätteanvändbart. Irrationella tal strävar inte åt något särskilt håll eller så om det är det du tror, det är mumbo jumbo; hokus pokus filijokus och inget man kan säga något sådant om.

* En grupp är en struktur <G,*> där G är en mängd och * är en binär operator som följer:

1. För alla a,b \in G gäller att a*b \in G
2. Det existerar e \in G så att ae = a för alla a
3. För alla a \in G finns ett unik a^(-1) \in G så att a*a^(-1) = e
4. Operatorn * är associativ, a*b*c = a*(b*c) för alla a,b,c \in G

Till exempel är <R,+> en grupp, medan <Q,/> inte är en grupp.

"I thought I was someone else, Someone good."
μ, en åsikt i tiden