Fysiktråden (dina fysikproblem här!)

Detta spår har snabbt börjat lämna definierade fysikfrågor för att ge sig in mer på ren vetenskapsfilosofi, men så länge övriga frågor i tråden inte helt överskuggas så kan det kanske vara OK. Att tråden synliggörs mer kanske bara är positivt även i den aspekten; den är inte alltid så aktiv .

——

Du missförstår innebörden av ordet "attraktivt" i sammanhanget: en teori som stämmer överens med observationer är mer attraktiv än en som inte gör det. En teori som innefattar den kosmologiska principen är mer attraktiv, för det är så mycket annat som tyder på att den kosmologiska principen gäller. En teori som säger emot denna har direkt ur sin linda tusen saker och tidigare observationer att försöka förklara, och inkluderar den som lägger fram tankarna inte ens en ansats till att lösa dessa knutar, eller ens förståelse om varför det är ett problem, så är det ingen teori som andra kommer välja att lägga speciellt mycket krut på.

Vetenskapens tid är inte obegränsad, utan det måste hela tiden ske ett urval utifrån vilka teorier som är värda att arbeta med. Om någon känner starkt för en teori så är de alltid välkomna att själva utforska den tills den kan nå nivån av att vara värd uppmärksamhet från andra (det kan räcka med att vara "intressant" i andras ögon), men det finns ingen som kan begära att deras tankar ska ges lika mycket uppmärksamhet enbart utifrån att de vill att något ska vara "sant".

Så, "attraktiv" i sammanhanget handlar inte bara om ett estetiskt yttre, utan inkluderar dess faktiska innehåll ("skönheten sitter på insidan", osv ).

Fetstil min, som underbygger hela frågeställningen, och det du svarar på. Det grundläggande problemet jag belyste var ju just att observationer, ända från Hubbles initiala tolkning av ett expanderande universum (se exempelvis Krauss illustration av hur universums till synes isotropiska acceleration tolkas), inte stödde den bild som ritades upp. Invändningarna var baserade på dagens etablerade observationer, inte på någon vag känsla.

För att då vända på ditt resonemang: om observationer nu inte stödjer den bilden: varför ska någon välja att likväl följa den? Häri ligger den mekanism som använts för att vägleda vad som är "rätt" och vad som är "fel".

Här drevs den alternativa förklaringen av just experiment och anomalier från väl utbildade operatörer, snarare än planlöst "vore det inte käckt om…?"-tänkande. Att nya teorier vinner kraft är ju just för att de visar sig stämma bättre överens med faktiska experiment och/eller erbjuda enklare förklaringar från mer initiala principer än rådande teorier. På vägen till en sådan position så är det ett gatlopp av tuffa frågor och experiment, så man får hoppas att teorin har tjockt skinn.

Det finns mängder av exempel där just små "skavanker" som jag skrev i mitt tidigare inlägg drivit utvecklingen (det är nästan svårare att komma på fall som inte drivits av sådana skavanker). Dock så ger inte det automatiskt att allt som går att formulera måste vara sant, och om en teori inte ens tål att bli ifrågasatt av vad en intresserad gymnasieelev skulle kunna ha för synpunkter så behöver den troligen vända tillbaka till ritbordet. Det är också denna process av att ständigt ifrågasättas som gör teorier starkare.

Big bang är inte den rådande teorin för att alla forskare måste skriva på ett kontrakt där de lovar att anse att den är korrekt. Den råder för att den i en fullkomligt hänsynslös uppvisning av "djungelns lag" gång på gång trumfat över alternativa förklaringar när experiment faktiskt utförts (och den utvecklas allt eftersom den testas). Den inte bara förklarar data som vi tidigare sett: den har gång på gång lyckats förutsäga saker som vetenskapen sedermera har testat och visat sig stämma. Det är ingen blygsam lista av experimentella överensstämmelser för Big bang. Just att teorier kan förutsäga utkomsten av nya experiment är något av fundamentet till att en teori kan kallas "stark" och "användbar" överhuvudtaget.

Om du kommer med en alternativ teori, som inte har stöd i observationer, som inte arbetas med i dagens forskning ("Varför inte?", kan vara en intressant fråga) så kan du förvänta dig att personer pekar ut problem med densamma. När någon ritar upp en evighetsmaskin så bjuder de automatiskt in kritiker att ifrågasätta och peka ut problem — de kan inte förvänta sig att mötas av ett "ja, vad kul, där ser man". Då har man lämnat vetenskap och konstruktiv diskurs.

Kan som en lemma lägga till att det är bra mycket lättare för de som har på fötterna att "skruva upp" de som förespråkar skakiga teorier än tvärtom, så denna mekanism korrelerar helt OK med vetenskapliga framsteg. Det som krävs är bara att snabbt kunna avgöra "dravel" och retoriska knep från faktisk substans, vilket är något just fysiker och forskare inom naturvetenskapen drillas i från första stund (tolkning av detta i XKCD:s tappning ).

Detta behandlar snarare den generella vetenskapliga etiken om att inte manipulera data. Det händer att enskilda forskare och grupper pekas ut för detta, men det händer tillräckligt sällan för att fortfarande bli världsnyheter när det sker (åtminstone inom utvalda kretsar). Just fysik är inte speciellt drabbat av olika anledningar som skulle kunna vara föremål för en annan tråd.

Med det sagt så är det likväl högst okonstruktivt att försöka arbeta inom ett område utan att ens ta reda på vad generationer av forskare redan kommit fram till. Ska man återuppfinna hjulet varje gång så når man inte så långt som till Aristoteles förståelse, för saker är komplexa, långt bortom vad "sunt förnuft" må påskina. Einstein utarbetade inte sin relativitetsteori genom att strunta i vad exempelvis Galilei och Newton hade sagt tidigare, utan snarare genom att studera existerande litteratur och rön extremt hårt för att ovanpå detta kunna bygga ett nytt ramverk.

Jag är visserligen principiellt för en rörelse mot öppna journaler, öppen metodik (exempelvis öppen källkod till analysprogram) och öppna data, men problemet med att "vanligt folk" idag inte skulle kunna ha tillgång till vetenskapens bedrifter tycker jag är överdriven. Vetenskapens framsteg må inte rapporteras vettigt i varken kvälls- eller morgontidningarna, men:

• vi har bibliotek som ger möjlighet för vem som helst att studera materialet: både som publicerade artiklar och som läroböcker.

• vilken student som helst på något av våra högre tekniska lärosäten har idag mer eller mindre full access till världens journaler (både nya nummer och historik) bara något musklick bort (känner man till studenter så kommer man troligen inte missta dem för någon "prästerlig elit", precis ).

• preprintdatabasen arXiv tillgängliggör en enorm mängd material inom bland annat just astronomi (lista över senaste dagarnas inskickade astronomiartiklar — för närvarande 82 fritt tillgängliga verk från de senaste tre dagarna från den absoluta forskningsfronten).

• Wikipedia, men även webbresurser från världens samlade universitet, har en fantastisk funktion i att göra mänsklighetens samlade kunskaper åtminstone på grundnivå till stor del snabbt tillgänglig på ett sätt som inte var möjligt bara för något decennium sedan.

• (Kan ge ett relevant hedersomnämnande till The Feynman Lectures on Physics som släppts fritt i webbformat sedan något år eller två. Det är en minst sagt omfattande sammanfattning av flera olika fysikområden på ett någorlunda pedagogiskt vis. Jag sällar mig visserligen till de som tror att den främst uppskattas av de som redan läst dessa ämnen snarare än de som vill lära sig för första gången, men i vilket fall är det säkert intressant att läsa.)

Jag tror dock att befolkningens samlade förståelse av exempelvis astronomi skulle påverkas försvinnande lite av ifall The Astronomy and Astrophysics Review och The Astrophysical Journal blev gratis nättidningar i morgon (enligt resonemanget ovan är detta ej heller mil ifrån från hur dagens situation ser ut). Om du tar en slumpmässig artikel från exempelvis den arXiv-länk jag gav ovan så ser man snabbt att det krävs år och åter år av studier för att ens kunna börja ta till sig av materialet på den nivå som gäller i forskningens framkant.

I någon mån har det sistnämnda alltid varit sant, i relation till vad "gemene man" har kunnat under respektive tidsera, men i och med 1900-talets explosion av komplexitet så kan det lätt tyckas vara extremt idag. En sak som är säker är att det sker storleksordningar mer forskning idag (och detta påstående håller för varje ny dag) runtom hela världen, vilket gör att absolut ingen kan hålla koll på allt själv (det sägs [citation needed] att det exceptionella geniet Gauss var den siste som kunde hävda sig kunna allt inom samtida matematikrön).

Att börja gruppera världens forskare som en sorts homogen grupp och ge dem ett fingerat namn som "vetenskapare" anser jag är bristfälligt på många plan, och det enda det kan bidra med är att skapa fördomar. Forskare må använda vetenskap för att ta sig framåt, men det är för att vetenskap över århundraden visat sig vara den bästa metoden, snarare än att det skulle vara en dogm att följa blint utan anledning. Att "de" skulle utgöra en maktelit som medvetet försöker undanhålla sanningar närmar sig snabbt konspirationsteoriområdet. Det är måhända en enkel förklaring att vilja ta till, men den saknar mycket i exempelvis falsifierbarhet, för att återvända till Popper.

Jag lovar dig att de som jobbar med dagens vetenskap helt och hållet håller med dig — hade det inte funnits några områden kvar att utforska så skulle de alla vara arbetslösa!

Med det sagt: även om ingen kan hävda sig ha alla svar så är det en grundpelare att våga kritisera varandra. Jargongen kan säkert lätt låta rent ut sagt aggressiv jämfört med många andra områden, men så länge det handlar om sakfrågor så får personer snabbt lära sig att både ta och ge kritik. Sedan går det aldrig att undkomma mer "politiska" inslag i organisationer även inom vetenskapen, men jag finner det troligt även här att just forskningsbranschen är mer förskonad än många andra branscher. Den arbetar över lands-, ålders-, köns-, och religionsgränser på daglig basis utan att kollapsa.

Naturvetenskapen har starka band med ren filosofi, men för att nå de faktiska resultat som mänskligheten har gjort så räcker det sällan med att filosofera planlöst, utan man måste kunna hitta implikationer av sina tankar och på något sätt kunna testa dem i konkurrens med andra tankar (här dyker många kontroversen kring den strängteori som nämndes tidigare lätt upp, och vi kan återigen nämna Popper om vi vill).

Skulle det inte kunna vara så att jorden bärs fram av fyra elefanter som stöds av en gigantisk sköldpadda?

Bilden är enbart illustrativ.

Jo, tjo, visst, men tja: vad tyder på det? Ger utsagan några möjligheter till att visa eller motbevisa? Om det implicerar att jorden är platt så kan vi hävda att varenda jorden-runt-resa motbevisar detta. Vi kan leta efter var elefanternas ryggar är i kontakt med jorden: vi har inte hittat denna plats, och kan troliggöra att den inte existerar, så med största sannolikhet refuserar vetenskapen denna teori. Ändock kommer det finnas personer som tror på den.

Det måste finnas något kriterium för att säga vad som är "rätt" eller "fel" för att man ska kunna komma framåt. Överensstämmande med experiment är ett sådant kriterium. Om det man säger inte ens når falsifierbarhet så diskvalificeras man nästan direkt, för det finns ingen nytta av en sådan teori, även om det nu faktiskt kan vara så att det cirkulerar flera tekannor runt jorden. Jag kan hävda att Elvis Presley och Tupac Shakur partar järnet utanför universums observerbara gräns, och ingen kan motbevisa mig. Har jag "rätt"? Har jag "fel"? Har jag kanske "inte ens fel"? Pratar jag ens fortfarande om fysik?

Liksom jag slutat varje av dessa inlägg så är den bästa vägen för att nå längre än nuvarande förståelse att börja med att förstå nuvarande förståelse. Inom just gravitation och kosmologi som berörts här så finns det en riktig tegelsten till referensverk i den passande namngivna Gravitation and cosmology av Weinberg, som skulle kunna ses som en sådan samling av rön som du efterfrågar (även om den är drygt 40 år gammal så är det rätt mycket att ta in bara där). Det är som sagt trollbindande att tänka på "livets stora frågor", och det blir i mina ögon bara mer trollbindande ju fler verktyg man skaffar för att verkligen gräva sig nedåt.

Att komprimera gaser är väldigt dyrt och det vill man undvika om det går.

Vi kan ju roa oss med ett enkelt räkneexempel. Vi använder allmänna gaslagen och säger att kompressorn är adiabatisk. Ska vi då öka trycket från 1 bar till 10 bar från 25 grader så landar vi på en sluttemperatur på ungefär 300 grader. Så för varje kubikmeter luft (normalt tryck och temperatur) som passerar kompressorn så går 320 kJ åt bara för att värma. Inget nyttigt arbete fås ut från den energin utan det är en ren förlust. På det kommer arbetet som ska utföras av systemet. Till det kommer att kompressorer är stora och tunga i jämförelse med hydraulik. Du måste titta på hela systemet och inte bara på fluiden.

Inte helt korrekt, i dem 320 Kj ingår faktiskt även den energi som kommer att utföra arbete i kolven vid tex roder. Du har däremot väldigt rätt i all kompressorer (och även kolvarna) är större och tyngre för pneumatiska kontra hydrauliska system, samt att det blir betydligt mindre värmeförluster vid trycksättning av vätskor. Enda fördelen är väll att man slipper returledningen.

Däremot så borde Alexander titta på tex Boeing 787 (Dreamliner) där de bytte ett centralt hydralsystem mot mindre lokala. Dessa system styrs istället av ett elektriskt system som är enklare och lättare (mindrevikt) att trippelsäkra.

Så går det när man försöker sig på att räkna för sent på kvällen.

Jo bestämde mig för att istället öka vingytan vilket ger en lägre starthastighet vilket teoretiskt konsumetar mindre bränsle. Gillar inte vår tekniklärare känns som allt är extremt osammanhängande och omöjlighet att förklara saker...

Det är inte helt säkert att du gör det. Mer lyftkraft vid låga hastigheter kan ge högre motstånd när du ökar flygplanets hastighet. Det är därför flygplan använder flaps när du startar och landar, man ökar vingens yta (och även kurvatur) tillfälligt med en stor kostnad i luftmotstånd för att kunna sänka start/landningshastigheten. Om ni kan göra större "exotiska" ändringar (vilket nog är lättare att greppa, flyga är SVÅRT) så kanske du skall titta på flygande vinge konceptet. B-2 Spirit och Horten Ho 229 är två exempel på flygplan som använt/använder sig av det och har fantastiska aerodynamiska egenskaper

Det är att dra lite väl stora växlar av experimentet, skulle jag säga. I experimentet så är storleksförhållandet mellan gravitation och rotationshastighet väldigt annorlunda än för en planet eller stjärna. Man saknar i de senare fallen också generellt en analog till den ytspänning som gör att vattendroppen i experimentet hålls ihop (snarast är det just gravitationen som "håller ihop" exempelvis solen, men den verkar på ett väldigt annorlunda sätt än ytspänningen — kontinuerligt genom hela kroppen snarare än mer diskret vid klotets rand).

Solens kärna är med råge tätare än dess yttre delar [1]. Gravitationen ser till att tyngre kroppar söker sig mot masscentrum och "knuffar ut" lättare kroppar. Eventuella effekter av bevarat rörelsemängdsmoment hos olika massor blir med all sannolikhet försumbara jämfört med övriga involverade krafter.

Jordens atmosfäriska densitet är också relativt enkel att modellera grovt utifrån gravitationen: den har högst densitet närmast jordytan, och den avtar ju längre ut man kommer. En mer exakt modell ges av den barometriska formeln [2]. Jordens rotationshastighet har implikationer för exempelvis väder och vind, men den är snarast försumbar när det gäller att bestämma jordens sammansättning som funktion av dess radie (den är dock ansvarig för att jorden är en oblat sfär, dvs "tjockare" kring ekvatorn [3]).

En höfträkning för att visa storleksordningar mellan gravitations- och centripetalacceleration vid jordytan: centripetalaccelerationen a ges vid centralrörelse av

   a = v² ∕ r

där v är den tangentiella hastigheten och r är rörelsens radie. Den tangentiella hastigheten vid ekvatorn ges av sträckan (2 π r) delat med rotationsperioden (T = 24 h), vilket sammanlagt ger centripetalaccelerationen vid ekvatorn aₑ som

   aₑ = 4 π² r ∕ T² = [r = 6378 km vid ekvatorn [4]] = 0.034 m/s²

Detta ses direkt vara försumbart jämfört med gravitationsaccelerationen på ≈ 10 m/s² (motsvarar bara några promille). Centripetalaccelerationen är också som störst just vid ekvatorn (dels pga sfärens geometri, men också med ett minimalt tillägg av jordens oblata form som nämndes innan, då radien skiljer sig någon promille mellan polerna och ekvatorn). En relaterad beräkning är att hitta hur (upplevd) gravitationsaccelerationen skiljer sig mellan ekvatorn och polerna.

Sammanfattat så behöver man ta hänsyn till storleksordningar av ingående krafter innan man modellerar en planet efter hur en vattendroppe beter sig (på samma sätt som WTC inte nödvändigtvis modelleras väl av äggkartonger och sugrör i alla aspekter, nationalekonomi inte nödvändigtvis modelleras väl av ölbackar och "sunt förnuft", etc.). En snabbtitt på solen ger att den har en ytgravitation ≈ 30 gånger högre och en rotationsperiod ≈ 30 gånger längre än jorden vilket ger att centripetalaccelerationen blir en faktor ≈ 30 000 mindre relevant i förhållande till gravitationsaccelerationen vid ytan jämfört med jordberäkningen ovan. Vi behöver inte vara förvånade över att dess densitet är som högst i dess centrum — intressantare än rörelsemängdsmomentet är att studera hur den högre temperaturen från fusionen i dess inre spelar in i massfördelningen.

[1]: The Solar Interior, NASA
[2]: Barometric formula [Wikipedia]
[3]: Equatorial bulge [Wikipedia]
[4]: Earth radius [Wikipedia]

Ja, för en cirkelrörelse (dvs konstant radie) så är dess totala hastighet densamma som dess tangentiella hastighet. Ifall det hade funnits en hastighetskomponent i radiell riktning så hade objektet ändrat sin rörelses radie, men då hade rörelsen inte längre varit just "cirkulär".

Beloppet av vektoradditionen och "Pythagoras" blir samma sak här, eftersom den tangentiella accelerationen är vinkelrät mot den radiella accelerationen i en cirkelrörelse. Om du ritar upp vektorsumman av de tangentiella och radiella accelerationsvektorerna så kommer du se att de bildar kateter i en rätvinklig triangel med just hypotenusan som vektorsumma, och då ges ju beloppet av vektorsumman direkt av Pythagoras. Detta är i någon mån en poäng med att använda "vinkelräta" (ortogonala) koordinater till att börja med.

Har har du en fin förklaring på varför det är cos(alpha) som används, enkelt sagt beror det på att samma vinkel dyker upp på ett annat ställe i figuren och kan användas. (R är normalkraften och W_r är den kraften blocket har på planet)
http://i.stack.imgur.com/06flR.gif

Den andra frågan förstår ajg inte riktigt, men det kan mycket väl vara så att du antingen börjar med Normalkraften "fel", eller så är den ekvationen ni använder för fjäderkraft definierad för att dra isär fjädern. Hursom, jag är van att använda F=k*deltaX+m för det

Den trigonometriska faktorn kommer från planets vinkel och dess inverkan på normalkraften. Så som vinkeln är definierad så ser man att om vinkeln vore 0 så skulle trigonometrin "inte behövas" (vi skulle inte ha ett sluttande plan, utan ett vågrät plan), och alltså ersättas med faktorn 1 i formeln för normalkraften. Det kan ju inte vara faktorn 0 — normalkraften försvinner inte på ett vågrät plan med inverkan av gravitationskraften, men skulle planet däremot vara lodrät så kan man övertyga sig om att det inte skulle stötta partikeln. Det är en snabb minnesregel för att se att det måste vara cos i detta fall, vilket var poängen med det resonemanget.

Ovanstående utgår ifrån att man är bekväm med cos och sin och i sömnen kan säga att cos  0 = 1 och sin  0 = 0. Är man osäker så kan man rita trianglar och minnas definitionerna (cos är närliggande katet över hypotenusan, sin är motstående katet över hypotenusan).

För att se kraftförhållandet i en triangel så kan du bilda vektorsumman av kraften vinkelrät mot ytan (normalkraften) och kraften vågrät med ytan, notera hur de måste sluta krafttriangeln med tyngdkraftens inverkan på partikeln och se hur vinkeln α dyker upp:

Figuren kanske inte är så tydlig som man skulle kunna önska, men det bör gå att övertyga sig om att de cyanfärgade vinklarna är samma pga trianglarnas förhållanden. Har man gjort detta några gånger så kan man sedan snabbt peka ut om det är cos eller sin som dyker upp i olika uttryck.

I dessa beteckningar är R en längd, l fjäderns obelastade längd och R̂ en enhetsvektor som visar vart kraften pekar. I detta fall så är kraftens riktning lätt att se (parallell med det sluttande planet), så om man inte är bekväm med vektornotation så kan man släppa den och tänka på den enklare formen

   F = −k x

där k är fjäderkonstanten som innan och x är längden från fjäderns jämviktsläge (Δl i din notation). Notera att detta ger en kraft — för att gå från kraft till arbete så behöver du integrera över sträckan. Eftersom kraftuttrycket inkluderar just koordinaten x så kommer det inte bara vara att ta värdet av detta uttryck i utgångsläget och multiplicera med hela sträckan på en gång, eftersom kraften alltså beror på sträckan (hur långt vi hela tiden är ifrån fjäderns jämviktsläge), om än inte på något speciellt komplicerat sätt. Integralen behövs.

Minustecknet är där för att ge rätt tecken på kraften utifrån hur man definierar sina koordinater, och huruvida fjädern är ihoptryckt eller uttöjd. Kraften pekar ju åt olika håll i dessa olika fall (alltid in mot jämviktsläget). Här vet vi att fjäderkraften under hela förloppet kommer trycka på partikeln, så man kan snabbt se att den måste vara positiv, om man definierar positiv riktning "uppåt" längs med planet. Om vi sätter in ett "negativt x" i min tidigare formel så uttrycker det att vi har tryckt ihop fjädern, och kraften blir då positiv uppför planet.

Det är många tecken att tänka på när det gäller arbete (vem utför arbete på vem?), men i tillrättalagda fall så kan man ofta intuitivt se när det ska vara positivt eller negativt. Om ens beräkningar då verkar ge fel tecken så får man se över dem igen och försöka förstå varför.

Minustecknet på friktionen kommer återigen från hur man definierar sina koordinater. Friktionen kommer motverka partikelns rörelse upp för sluttningen, så om man definierar sin positiva koordinat upp för sluttningen (vilket är naturligt) så kommer friktionen dyka upp med ett minustecken.

Tecken på ingående krafter och annat är en stor anledning till att man ritar figurer. I vissa fall behöver man räkna för att se vilket tecken en viss kraft får, men har man bara tydligt definierat vad man menar med "positiv" och "negativ" riktning så ska det likväl stämma med figuren.

Ifall din kraft har rätt tecken utifrån hur du definierat dina koordinater så är den rätt, men om den inte stämmer med ritningen så är den fel.

Ja.

Nej, du kan inte använda den förenklingen här eftersom ditt F från fjädern inte är konstant över sträckan s (kraften är större ju längre man är ifrån jämviktsläget). Fjädern är väldigt "snäll" i sitt beroende (linjärt), men likväl kan du inte bara beräkna fjäderkraften i ett visst läge och multiplicera över hela avståndet. Du behöver integrera. Det är möjligt att du har en "färdig formel" tillgänglig för energin lagrad i en fjäder en viss sträcka från sitt naturliga jämviktsläge som skulle gå att använda med något extra antagande, men det är enklare att bara våga integrera över sträckan.

Om en kraft F är konstant över en viss sträcka s (och F verkar i samma riktning som koordinaten x) så blir arbetet W (om "∫₀ˢ" betyder "integral från 0 till s)

   W = ∫₀ˢ F dx = F ∫₀ˢ dx = F [x]₀ˢ = F (s − 0) = F s

men om F beror på sträckan så får man inte "flytta ut" den ur integralen i tredje ledet. I stället är det bara att räkna ut integralen, vilket här inte är speciellt bekymmersamt då F är linjär i x.

Rent tekniskt så kommer minustecknet lösa sig själv om man har minustecknet kvar i kraftuttrycket och integrerar från fjäderläge −b till 0, men du kan också ta bort minustecknet och integrera från 0 till b. Så länge man har pejl på sina tecken och motiverar riktningar så får man göra som man vill, så länge man gör rätt .

Det enda vektornotationen gör är att säga i vilken riktning fjäderkraften verkar. Rent tekniskt tar du denna kraft och skalärmultiplicerar den med en lägeskoordinat, men om lägeskoordinatens och fjäderns riktning är densamma så ger detta bara en faktor 1. Så ja, man kan "ta bort" R̂ här, men det är för att den försvinner matematiskt när den möter koordinaten för sträckan som går i samma riktning som fjäderkraften.

Ni kommer högst troligen inte stöta på några andra fjäderkrafter än sådana som är i rätt snälla riktningar, så om du inte känner dig säker på vektorer så är det inget att hänga upp sig på i nuläget. Det är dock viktigt att förstå varifrån minustecknet kommer: det behövs för att få rätt beteende i att en fjäder "skjuter på" om den är ihoppressad och "drar tillbaka" om den är utdragen.

Det är ett rent sammanträffande att det blir närapå "rätt" svar här ändå (fast fel tecken som du märkte, men som du kompenserade manuellt). Om fjädern inte hade gått exakt till sitt jämviktsläge där kraften (och antiderivatan) är 0 så hade det blivit helt fel.

En obestämd integral är egentligen bara en notation för "antiderivatan" av funktionen i fråga, och lämnar även en obestämd konstant som du troligen bara kastade bort utan egentlig motivering, så det är inte korrekt varken matematiskt eller fysikaliskt här. Arbetet ges mer generellt av kurvintegralen av kraften över en viss koordinat, med en start- och en slutpunkt.

Det slarvas rätt mycket när man säger saker som att "integralen av x² är x³ ∕ 3" — mer korrekt är att antiderivatan (eller den primitiva funktionen, eller obestämda integralen) av f(x) = x² är F(x) = x³ ∕ 3 + C, C konstant, där integralkalkylens fundamentalsats sedan ger att vi kan beräkna integralen (ofta kallad den "definitiva integralen" för att undvika förvirring mellan begreppen) av f(x) från a till b som

   ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

Som sagt så kan det slarvas (inklusive av mig) med detta när man ändå "vet vad man menar", men att bara beräkna den primitiva funktionen och lite godtyckligt trycka in ett värde i denna (och kasta konstanten) när man vill beräkna en faktisk fysikalisk kvantitet är inte rätt. Man behöver inte skriva precis varje matematiskt steg om det är "uppenbart" att ena ändpunkten ändå inte kommer ge något bidrag, men det går återigen under klausulen att man får göra som man vill, så länge man gör rätt — att egentligen göra fel men råka få rätt svar innefattas dock ej av denna klausul .

Exakt hur ni är tänkta att räkna ut fjäderns arbete beror måhända på nivå och vad ni lärt er. Om ni vet (aka "har en formel som säger") att den lagrade potentiella energin i en (linjär) fjäder är k x² ∕ 2 där k är fjäderkonstanten och x är avståndet från jämviktsläget så kan man direkt se att fjädern kommer utföra arbetet k b² ∕ 2 här, men mer generellt är att integrera för att få arbetet (och man får som "tur" är samma svar).

Här så börjar fjädern i koordinat x = −b eftersom den är inspänd till den längden. Koordinaten x mäter jag då ifrån fjäderns jämviktsläge, riktad upp för sluttningen. Fjädern slutar arbeta på partikeln när den når sitt jämviktsläge, vilket är när dess koordinat är 0, vilket alltså är slutkoordinat för integralen.

Du får välja vilka referenskoordinater du vill, men vissa är enklare än andra. Att ha jämviktsläget som 0 gör saker enkla här. Om du i stället sätter fjäderns spända utgångsläge som nollpunkt för koordinaten x så kommer dess jämviktsläge ligga på koordinaten x = b, varpå du får modifiera formeln för fjäderkraften (i stället för formen F = −k x så blir det då F = −k (x − b) = k (b − x)). Det ger samma svar efter en enkel integrering, nu från x = 0 till x = b, men det är en omständligare väg, i mina ögon.

F = −k b (k > 0, b > 0) skulle betyda att fjäderkraften verkar i negativ riktning, dvs ned för sluttningen. Det gör den aldrig under detta förlopp, så något måste vara fel. Framför allt så är den inte konstant under förloppet, vilket är poängen med uppgiften.

x är en koordinat. Den har olika värden beroende på var partikeln är, och kraftens storlek beror på detta värde. Det räcker inte med att sätta in koordinatens ändpunkter och få kraftens storlek i ett visst läge, utan koordinaten måste integreras över. x kommer alltså vandra från −b till 0 i mitt originalfall — det är det som integralnotationen betecknar. Om man i stället definierar koordinaterna annorlunda enligt 0 i partikelns utgångsläge och b i slutläget så kommer x vandra från 0 till b, och uttrycket för fjäderkraften behöver modifieras, men det är bara en matematisk omformulering av precis samma förlopp. Kraften kommer i båda fall vara olika i varje punkt längs vägen, eftersom den beror på vad x är i varje givet läge.

Precis i utgångsläget så är fjäderkraften F = k b upp för sluttningen. Men detta gäller ju bara just där: när vi gått 1 cm upp för backen så är fjäderkraften F = k (b − 1 cm) (kraften är mindre, eftersom fjädern inte längre är lika spänd). När vi gått 2 cm är den F = k (b − 2 cm). När vi gått sträckan b ∕ 2 så är den F = k (b − b ∕ 2) = k b ∕ 2. När vi gått sträckan b så är den F = k (b − b) = 0 (kraften är 0, eftersom fjädern nu är i sitt naturliga jämviktsläge).

Det är denna kontinuerliga ändring av kraften längs vägen som integralen hela tiden tar hänsyn till, och det är just därför vi integrerar. Om vi ser integralen som en Riemannsumma så är tanken i någon mån att dela upp sträckan i väldigt många väldigt små bitar (dx), räkna ut arbetsbidraget separat för alla dessa små bitar där kraften skiljer sig, och sedan summera alla dessa bidrag. När man låter dessa bitars längd gå mot att vara "oändligt små" ("infinitesimala") så får man det vi kallar för en integral.

Om F inte hade ändrat sig längs vägen så hade integralen förenklats som jag visade tidigare, då man kan plocka ut konstanta uttryck utanför linjeintegralen och bara får väglängden kvar från integralen. Tanken med fjäderuppgifter är dock att visa vad som händer om kraften inte är konstant.

Arbetet som utförts på en partikel är lika med ändringen i kinetisk energi för partikeln. Partikeln började här i vila, så den kinetiska energin var initialt 0. Räknar vi ihop det arbete som utförts på partikeln under förloppet så kommer det då motsvara den slutliga kinetiska energin, och ur detta kan man lösa ut dess hastighet.

Fjäderns arbete blir positivt (kraften är riktad åt samma håll som rörelsen (och vår koordinat)). Friktionskraftens arbete blir negativt (kraften är motriktad rörelsen). Vad gäller gravitationens inverkan så kan man antingen beräkna det arbete gravitationskraften utför på partikeln, förslagsvis genom att dela upp kraften i en komposant parallell med och en vinkelrät mot sluttningen, se att den vinkelräta komposantens arbete blir 0 och beräkna arbetet av den parallella, eller så kan man en gång för alla notera att det arbete som gravitationen utför måste exakt motsvara ändringen i gravitationell potentiell energi (något man kan nyttja för konservativa fält i allmänhet). Snabb utflikning om detta följer:

"Vanlig" beräkning av potentiell energi för partikeln ger att den i slutskedet har ändrats enligt

   ΔEₚ = m g Δh = m g (b sin α − 0) = m g b sin α

Om vi i stället ser på det arbete som gravitationen utför på partikeln under förloppet så kan vi alltså börja med att dela upp tyngdkraften i två komposanter: en parallell med rörelsen och planet (dvs upp för sluttningen) och en vinkelrät mot planet. Den senare kommer inte utföra något arbete, eftersom den verkar vinkelrätt mot rörelsen. Den första komposantens storlek ges av geometrin som F_g sin α, och den verkar över avståndet b, vilket ger att arbetet som utförs av gravitationen på partikeln är

   W_g = −F_g sin(α) ⋅ b = −m g b sin α

vilket "som av en händelse" är lika med den potentiella energi som tillkommit, men med motsatt tecken. Energiprincipen håller.

Så, när ändringen i potentiell energi läggs på "minuskontot" i slutlig kinetisk energi så kan man se det som att man lägger till det arbete som gravitationen uträttat på partikeln. De tecken som dyker upp i ekvationen när man vill räkna ut det utförda arbetet kommer direkt från beräkningarna av respektive kraft: krafter som verkar längs med rörelsen ger ett positivt bidrag, krafter som motverkar rörelsen ger ett negativt bidrag. Fjädern trycker på, friktionen och gravitationen motverkar. Att titta på potentiell energi i stället för att beräkna gravitationens arbete kan ses som en "genväg", som egentligen bara uttrycker energins bevarande.

Summan av det arbete som tyngdkraften utför på partikeln och ändringen i dess lägesenergi är alltid 0 (så länge vi pratar om stela kroppar och avsaknad av ytterligare fält). Därför kan man direkt använda "m g Δh" för att få arbetet gravitationen utfört på en partikel när den rört sig från en punkt till en annan. Om dess höjd inte ändrats så har gravitationen alltså inte utfört något nettoarbete alls.

Utifrån definitionen på arbete så är det bara de krafter som verkar i rörelsens riktning som utför ett arbete. Den komposant som är vinkelrät mot partikelns rörelse kommer per definition inte ha någon komponent i rörelsens riktning, och därmed inte utföra något arbete på partikeln.

Matematiskt ser man detta ur att arbetet definieras av integralen av skalärprodukten mellan kraften och en (riktad) kurva. De enda delar av kraften som överlever denna skalärprodukt är dess komponenter i respektive kurvsegments riktning. Här är kurvan hela tiden riktad upp för sluttningen, så de enda krafter som inverkar på arbetet är de komponenter som verkar i sluttningens riktning.

Fjädern och friktionen verkar enbart i rörelsens riktning, så man behöver inte räkna ut någon speciell komposant. Gravitationen verkar egentligen lodrät nedåt, men om man delar upp den i en komposant i sluttningens riktning och en vinkelrät till denna så får man just en komposant som verkar helt i rörelsens riktning (bidrar helt till arbetet) och en som verkar vinkelrätt mot rörelsens riktning (bidrar inte alls till arbetet). Alternativt så får man direkt den komponent som bidrar till rörelsen genom att använda vektorbeteckningar och beräkna skalärprodukten, men det är i praktiken samma beräkningar.