Fysiktråden (dina fysikproblem här!)

Dimensionerna är rätt risiga i det uttrycket: m g h är en energi ("kg m² ∕ s²"), men v² ∕ 2 är bara en kvadrerad hastighet ("m² ∕ s²"). µₖ m g √3 ∕ 2 är en kraft ("kg m ∕ s²") och i högerledet har vi åter en energi. Alla termer måste ha samma enhet (åtminstone vettigt kunna konverteras till samma enhet), annars går de inte att addera. Vad är två fiskar plus tre äpplen? Ser man ett dimensionsfel så är det ett ofelbart tecken på att man är på fel spår, och det tjänar ingenting till att gå vidare innan man löst det, så det är en väldigt nyttig reflex att lära sig.

Du kan använda energiresonemang för att få utgångshastigheten precis som du misstänker. Om vi antar att åkaren börjar från vila högst upp i backen så kan vi se att initiala kinetiska energin är 0. Energins bevarande kommer ge att den kinetiska energin i slutläget kommer vara skillnaden i potentiell energi mellan start och slut av backen minus det negativa arbete friktionen utfört på vägen.

En annat sätt att formulera samma sak är att den slutliga kinetiska energin hos åkaren som börjar i vila är just summan av det arbete som utförs på vägen. Som nämndes i ett tidigare inlägg så använder vi begreppet "potentiell energi" för att lite enklare få fram det arbete som gravitationen utför under rörelsen utan att exempelvis här behöva införa vektorbeteckningar och integrera över cirkelbågen (denna förenkling bygger på att gravitationsfältet är konservativt, för den intresserade), men alla dessa sätt att räkna blir i praktiken ekvivalenta och ger samma svar. Med fördel så tar man dock den enklaste vägen mot målet.

Det var inte olika enheter i det fallet: enheten för fjäderkonstanten k är N ∕ m, så k b² ∕ 2, där b är en längd, får enheten [(N ∕ m) ⋅ m²] = [N m] = [J], och energi mäter vi just i joule. Påståendet "vi får aldrig addera termer med olika enheter" håller fortfarande .

Man kan flika ut och tänka på att vi får en kraft genom exempelvis Newtons andra lag: F = m a: alltså ser vi att kraftens enhet i vänsterledet måste vara en massa multiplicerat med en acceleration, dvs kg ⋅ m ∕ s², vilket vi kortare kallar N ("newton"). En kraft som verkar över en sträcka ger ett arbete: alltså måste arbetets enhet vara
   [N ⋅ m] = [(kg ⋅ m ∕ s²) ⋅ m] = [kg ⋅ m² ∕ s²] = [J]
där vi i sista ledet använt den enklare beteckningen J ("joule") som står för just denna enhetskombination, vilket också är enheten för energi.

Vi kan då även direkt se hur exempelvis m g h är en energi utifrån att se vilka enheter som multipliceras:
   [kg ⋅ (m ∕ s²) ⋅ m] = [kg ⋅ m² ∕ s²] = [J]
Vi kan även studera det klassiska uttrycket m v² ∕ 2 för kinetisk energi, som ger:
   [kg ⋅ (m ∕ s)²] = [kg ⋅ m² ∕ s²] = [J]
Fantastiskt, fysiken håller ihop .

Eftersom åkaren börjar i vila så är den initiala kinetiska energin 0. Däremot är åkaren "laddad" med en viss potentiell energi, som kommer omvandlas till något annat när åkaren förflyttar sig till en lägre höjd: här kommer denna skillnad omvandlas till kinetisk energi hos åkaren samt det arbete som krävs för att överkomma friktionen. Därför ger energins bevarande att den slutliga kinetiska energin blir skillnaden i potentiell energi minus den energi som gått åt till att jobba mot friktionen.

Hade åkaren börjat med kinetisk energi så hade man fått ta hänsyn till detta enligt vad energiprincipen säger.

Du börjar med 0 kinetisk energi. Under den linjära delen av backen så kommer gravitationen och friktionen utföra (motriktat) arbete.

Friktionens arbete ges av friktionskraftens storlek (som är konstant och beror på normalkraften, som vi får av tyngdkraften och geometrin) multiplicerat över längden kraften verkar, vilket är längden av den linjära delen av backen.

Gravitationens arbete ges i den linjära delen av backen av geometrin genom att dela upp gravitationskraften i en komposant vinkelrät mot rörelsen (som inte kommer utföra något arbete enligt tidigare resonemang) och en komposant parallell med rörelsen, som multipliceras med den linjära delens längd för att få arbetet.

I den cirkulära delen av backen så kommer vi ju dock behöva räkna ut dessa komposanter för varje infinitesimalt backsegment, eftersom vinklarna hela tiden ändras. Det är en görbar integral att skriva upp, men som jag nämnde i den förra uppgiften så är det enklare att helt enkelt nyttja att gravitationsfältet är konservativt, så att vi bara utifrån att veta höjdskillnaden direkt vet vilket nettoarbete gravitationen måste ha utfört mellan två punkter. För just den cirkulära delen av backen så kommer åkaren in på samma höjd som åkaren kommer ut, så vi kan direkt säga att gravitationens arbete är 0 i denna del.

Som sagt så kan vi också enklare få gravitationens arbete även i den linjära delen genom att bara titta direkt på höjdskillnaden: det är i praktiken samma beräkningar, för vi vet ju att vi måste få samma svar, men det är belysande att se hur gravitationens arbete och ändringen i potentiell energi hänger ihop.

Höjdskillnaden blir inte riktigt h eftersom åkaren inte lämnar backen i "markplan", och höjden h mäts från marken — du får räkna ut just höjdskillnaden mellan åkarens start- och slutpunkt i backen. Eftersom det inte är någon nettohöjdskillnad från den cirkulära biten så vill du alltså i praktiken räkna ut höjden på den rätvinkliga triangel som har en linjära biten som hypotenusa.

y(x) är matematisk notation för en funktion: dvs högerledet är en funktion som ger höjden y som funktion av längden x (där jag gissar på att gängse konventioner använts för att definiera y och x). Har man tillgång till denna formel så kan man här använda att man vet vilken höjd y man kommer landa på och i stället lösa ut för vilka x detta inträffar för parabeln vilket ger svaret på uppgiften. Det är en vanlig andragradsekvation i x och alltså inte alls omöjligt att lösa för hand, men om tanken är att ni ska ha grafräknare tillgängliga så är det enklare att bara trycka in formeln för y och be räknaren hitta det x där parabeln når markytan.

Ett alternativt relativt algoritmiskt sätt att hitta hopplängden utan att hugga en färdig formel är att hitta den vertikala hastighetskomposanten vid hoppets början och använda g för att räkna ut hur lång tid det tar innan vertikala hastigheten är 0 — dvs när åkaren når toppen av hoppet — och på vilken höjd detta sker. Adderar man tiden det tar för åkaren att nå marken från denna höjd (fritt fall från vila) så får man den totala tiden för hoppet. Eftersom vi bortser från luftmotståndet så är den horisontella hastighetskomponenten konstant. Sträcka är hastighet multiplicerat med tid. Det ger direkt uttrycket för en projektils räckvidd.

OK, då använde du bara först beteckningen h för höjden på triangeln, men i figuren så betecknade ju h höjden från marken till startpositionen. Att återanvända variabler för olika ändamål är sällan nödvändigt — det finns så många bokstäver att välja på .

Du söker inte avståndet x för höjden y = 0, vilket skulle motsvara att åkaren landade på samma höjd som uthoppet skedde ifrån (vi kan direkt se att x = 0 är en lösning till din nuvarande ekvation: dvs att åkaren inte kommit någonstans. Den andra lösningen av din ekvation ger andra änden av parabeln på samma horisontallinje). Du vill i stället veta när åkaren är på en höjd som motsvarar längden ned till marken från uthoppet. Det kommer ge två lösningar, där den ena är "falsk" och motsvarar skärningen med markplan om man fortsätter parabeln "bakåt", och den andra ger sökt x.

För att lösa en andragradsekvation i x så skriver man generellt x²-termen utan förfaktor genom att multiplicera/dela bort denna, och sedan kör man kvadratkomplettering.

Mjae, den konstanta termen de har med i uttrycket uttrycker just att de tar hänsyn till att utgångspunkten inte är markytan. De har bara flyttat över den till andra sidan, eller i andra ord: deras formel för y(x) har bakat in starthöjden i högerledet. Att lägga till en konstant offset på detta sätt är fullkomligt ekvivalent med att leta efter ett "negativt y" — det är bara att flytta den konstanta termen från den ena sidan till den andra för att se detta.

Ett uttryck som
   x² + a x = −b
är ju ekvivalent med
   x² + a x + b = 0
så det är inga svårigheter att få det ena ledet till att bli 0. Det som definierar en andragradsekvationen i en viss variabel är i korthet att denna variabel förekommer kvadrerad (och inte i högre potenser, då det i stället blir en tredjegradsekvation, fjärdegradsekvation, etc.).

x = 0 var en lösning när ekvationen ställts upp enligt sambandet
   y(x) = x tan x − g x² ∕ (2 v² cos²α)
och du sedan satte y(x) till 0. Då ställer du frågan: "för vilka x får vi höjden y = 0, där vi definierat y = 0 som utgångspunktens höjd?" Svaret på den är ju per definition utgångspunkten själv (samt ytterligare en lösning i "slutet" av parabeln), men det är inte den frågan du är intresserad av att ställa.

Antingen vill du använda formeln i dess ovanstående form och fråga efter vilka x som ger höjden [lodräta avståndet ned till marken från utgångspunkten]. Detta ger också två lösningar*: en positiv "korrekt" lösning, samt en negativ "falsk" lösning som representerar skärningen mellan den tänkta fortsatta parabelrörelsen bakåt ned mot marken.

Alternativt kan du ändra referenshöjden i formeln genom att lägga till en konstant höjdskillnad i högerledet. Då är referenshöjden inte längre hoppets utgångspunkt, utan kan exempelvis skiftas till att vara marknivå. Då är den korrekta frågan: "för vilka x får vi höjden y = 0, där vi definierat y = 0 som marknivå?", och alltså sätter vi y(x) = 0.

Ditt länkade facit väljer den andra metoden, dvs den tredje termen i deras vänsterled är just en konstant term för att ändra referenshöjden; deras "formel" skulle snarare skrivas
   y(x) = x tan x − g x² ∕ (2 v² cos²α) + y₀
där sista termen representerar avståndet från marken till hoppets utgångspunkt.

Det ger precis samma ekvation oavsett om man använder första varianten och sätter vänsterledet till höjdskillnaden från utgångspunkten:
   −y₀ = x tan x − g x² ∕ (2 v² cos²α)
eller om man använder andra varianten, skiftar referenspunkten med höjdskillnaden och frågar efter nollnivån:
   0 = x tan x − g x² ∕ (2 v² cos²α) + y₀
På vilken sida vi initialt sätter den fetstilade termen spelar ingen roll för lösningen i x.

Däremot så letar vi alltså efter svaret på "fel fråga" om vi inte skiftar referenshöjden, och samtidigt inte tar hänsyn till att vi inte längre letar efter y = 0.

——
*: Ifall förhållandena är sådana att backhopparen inte ens kommer ned för backen pga friktionen så kommer saker gå åt skogen (imaginära lösningar, etc.), och om backhopparen bara precis når till krönet så får vi i någon mån bara en lösning, men om man antar att hopparen faktiskt hoppar så kommer vi få två lösningar.

Avståndet y₀ mellan marken och hoppets utgångspunkt kan du uttrycka i L och h (som i sin tur i andra deluppgiften har uttryckts i L) med hjälp av den vinkel de angett.

y₀ är avståndet från hoppets utgångspunkt till marken. Denna utgångspunkt är på samma höjd som den linjära backens slutpunkt. Den linjära delen av backen kan ses som hypotenusa i en rätvinklig triangel med den spetsiga vinkeln given. Drar man denna triangels höjd ifrån h så får man det sökta avståndet. Studera figuren tills detta är tydligt.

y₀ är inte negativ. y₀ är positiv (vilket gör −y₀ till en negativ kvantitet, men det betyder inte att avståndet i sig är negativt). Vi behöver minustecknet i formeln för att skifta höjden åt rätt håll, eftersom hoppets utgångspunkt är ovanför nivån där åkaren landar — det följer ur hur formeln ser ut. Hade hoppets utgångspunkt varit lägre den nivå där åkaren landar så hade vi haft omvänt tecken.

Om vi har ett + eller − framför y₀ beror bara på vilken sida av ekvationen vi skriver det för stunden. Variabeln i sig blir inte negativ bara för att den flyttas från ena sidan till den andra.

Du får tänka på vad friktionskraftens komponent upp för sluttningen motverkar. Om du hade en friktionskraft upp för sluttningen (vilket man intuitivt "känner" borde uppstå) men ingenting som motverkade denna så skulle ju klossen accelerera upp för sluttningen, men det gör den inte (testa att lägga en kloss på ett sluttande plan. Kommer den spontant flyga upp för planet? Osannolikt ). Någon kraft måste försöka få klossen att glida nedåt — varifrån kommer den?

Normalkraften utgår ifrån planet och är riktad vinkelrät mot detsamma, dvs "uppåt" med vinkel α. Eftersom den är rent vinkelrät mot planet så har den per definition ingen komponent i planet. Däremot så kommer tyngdkraften liksom liandrin skrev ha en komponent i planet, som kan tydliggöras genom att dela upp tyngdkraften i en komposant som är motställd normalkraften (dvs också vinkelrät mot planet) och en som är parallell med planet.

Ställer vi upp Newtons andra lag F = m a (att klossen ligger still säger något om högerledet i detta fall) i tre riktningar; förslagsvis

1. vinkelrät mot planet

2. parallellt med kraften P

3. ned för planet

så kan du bestämma normalkraften och storleken på friktionskraftens båda komposanter (uttryckt i P, åtminstone).

Än så länge har vi en rätt odramatisk och standardiserad statikuppgift i tre dimensioner, men det krävs en ekvation till för att kunna bestämma P. Vi får ta ett steg tillbaka och tänka till på fysiken och vad uppgiften sade. Den frågar efter gränsen då glidning precis sker, vilket ger en extra ekvation som kopplar friktionskraftens storlek till friktionskoefficienten och normalkraften.

Detta ger oss sammantaget fyra ekvationer (Newtons lagar i tre dimensioner samt den sista ekvationen om friktionen) för fyra obekanta (normalkraften, friktionskraftens båda komponenter samt P) vilket vi vet är ett lösbart system. Nu är det bara att brassa på med lite räkning och lösa ut det vi vill ha.

(Man kan notera att uppgiften rätt exakt följer den mall för lösning av mekanikproblem jag skrivit tidigare i tråden.)

Har man krafter i två dimensioner skriver man vanligen upp ekvationer i två olika riktningar (se det exempel som jag länkade i inlägget ovan). Har man krafter i tre dimensioner så får man ytterligare en dimension att leka med, och därmed ytterligare en ekvation. Det skulle kunna hända att ett system är överbestämt så att det räcker med två ekvationer för att få ut en viss information även i tre dimensioner (man skulle kunna sväva ut om "symmetrier" här), men generellt är så inte fallet — i synnerhet inte i konstruerade 3D-uppgifter.

Att man får "en ekvation per dimension" är egentligen bara ett sätt att säga att Newtons andra lag är en vektorekvation. Som jag skrev i det inlägg jag länkade ovan:

("…en ekvation för varje dimension i vilken vi har en kraft", om man ska vara övertydlig — vi kan inte trolla fram en extra relevant ekvation i ett tvådimensionellt problem bara genom att bädda in det i tre dimensioner.)

Om du har en vektorekvation i stil med
   (0, 5, 3) + (5, 7, 12) − x⃗ = (3, −6, 9)
så har du ju "tre ekvationer": en för varje vektorindex. Dessa ekvationer kan också uttryckas
   0 + 5 − x₁ = 3
   5 + 7 − x₂ = −6
   3 + 12 − x₃ = 9
där xᵢ är den i:te komponenten av trevektorn x⃗. Löser man ut dessa komponenter så får man
   x⃗ = (2, 18, 6)

Vill du inte ställa upp "en ekvation för varje riktning" så kan du visserligen skriva det som en enda stor vektorekvation, men det är i praktiken samma sak. I enkla uppgifter så är det ofta bra mycket smidigare att bena upp ekvationerna direkt (det är dessutom mer generellt, då man inte alltid måste välja fina kartesiska koordinater).

Jag skulle behöva lite hjälp här med energi..
Frågan är:

Om en maskin lyfter 200kg (2000 N) upp till 2 meters höjd under 10 sekunder, vilken effekt har den då utvecklat?

Jag har knappt fått en formelförklaring så jag är lite sne på detta.

W = arbete(kg?)
F = kraft(vad anses vara kraft?)
S = väg(höjden?)
P = effekt(vet ej)
T = tid

Är verkligen lost. Om någon kan försöka förklara detta på så pedagogiskt sätt som möjligt hade jag varit tacksam.

En gissning är att man tar typ P = W / t, men jag vet inte hur jag ställer upp det eftersom jag inte vet vilka variabler som hör till vilka.

Tacksam för hjälp

Skickades från m.sweclockers.com

*Flyttat till fysiktråden*

Börja med att få kläm på olika storheter och enheter (skillnaden mellan dessa begrepp måste vara glasklar — annars kommer fysik alltid vara oförståeligt):

"Beteckningen" i tabellen ovan är inte skriven i sten, utan kan vara vad man känner passar, så länge man är konsekvent inom samma uppgift — om sträckan är en "höjd" så kanske man använder h i stället för s, etc. Dock finns det vissa konventioner som det inte skadar att hålla sig till. Det kan också finnas flera olika enheter som beskriver samma storhet, men i SI-systemet så försöker vi hålla oss till de "vanliga", så länge som det underlättar.

Nästa sak att lära sig är att enheter alltid måste stämma på båda sidor om ett likhetstecken. Ska högerledet vara uttryckt i joule så måste vänsterledet också vara det.

Det finns också interna relationer mellan enheterna, utifrån hur de ursprungligen har definierats:

• Första gången begreppet "kraft" införs så står det säkerligen att
     1 N = 1 kg ⋅ m ∕ s²
  (se hur detta gör att enheterna i Newtons andra lag F = m a stämmer fint i båda led).

• Första gången begreppet "energi" införs så står det säkerligen att
     1 J = 1 N m = 1 (kg ⋅ m ∕ s²) ⋅ m = 1 kg ⋅ m² ∕ s²
  Vi kan utifrån detta exempelvis se att formeln för potentiell gravitationell energi E = m g h håller enhetsmässigt.

• Första gången begreppet "effekt" införs så står det säkerligen att
     1 W = 1 J ∕ s

Vi kan utifrån ren enhetsanalys (dvs titta på enheten för det vi vill ha och se vilka storheter vi behöver för att bilda denna) få en ledtråd till hur formeln för effekt måste se ut. Eftersom enheten för effekt är watt, och 1 W = 1 J ∕ s, så behöver vi ha en energi (eller ett arbete; se hur båda dessa använder joule som enhet (vilket inte är en slump)) som vi delar på en tid.

I din uppgift kan du exempelvis lista ut hur mycket energi maskinen har tillfört vikten den lyft (gravitationell potentiell energi) och dela det med tiden det har tagit. Helt ekvivalent är att räkna ut det arbete maskinen har utfört och dela det med tiden det tagit att utföra detta.