Första matteuppgiften på universitetet

Trädvy Permalänk
Medlem
Registrerad
Maj 2005

Första matteuppgiften på universitetet

Hej!
Har precis börjat läsa matematik på universitet, och nu har vi kommit till vår första inlämningsuppgift. Har gjort en liten lösning, men skulle gärna ha lite feedback på om den är ok eller korkad.

Uppgift: Bevisa att för varje naturligt tal n är talet 7^(2n+1) + 5^(2n) delbart med 8.

Bevis: Summan av 7^(2n+1) + 5^(2n), när n går från 0 till (k-1), k är ett naturligt tal större än eller lika med 1, är:

(7[7^(k)-1][7^(k)+1])/48 + [5^(k)-1][5^(k)+1]/24.

Om k=1 är summan 8.

Om k>1 har första termen två jämna tal och andra termen har två jämna tal. Alltså delar 8 [Urspr. talet].

--------------------------
Ser ju förjävligt ut när det bara är text såhär men hoppas ni kan tyda. Är det ett vettigt resonemang?

(Edit: självklart ser man den stora gigantiska mattetråden nu. Har suttit och pillat ett tag, vill helst lämna in den imorgon eftersom jag ska ut o resa lite.)

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Göteborg
Registrerad
Maj 2004

Jag ser inte varför du tar summan, och vad det skulle visa, och du gör ett stort hopp där i slutet.

För detta vill du absolut använda induktionsbevis.
D.v.s bevisa för n=0,
sedan anta att det stämmer för n, och visa att det medför att det stämmer för n+1.

En liten ledtråd vågar jag nog säga;
Antag att
7^(2n+1)+5^(2n) = m*8, där m är ett heltal, visa då att det stämmer för k+1 och du är klar.

Trädvy Permalänk
Medlem
Registrerad
Maj 2005
Citat:

Ursprungligen inskrivet av Micket
Jag ser inte varför du tar summan, och vad det skulle visa, och du gör ett stort hopp där i slutet.

För detta vill du absolut använda induktionsbevis.
D.v.s bevisa för n=0,
sedan anta att det stämmer för n, och visa att det medför att det stämmer för n+1.

Skrev det mer kortfattat här, svaret så att säga. Jag tänkte följande: Om a,b,c,d alla är jämna tal, så finns faktorn 2 i varje tal, således finns i ab 2*2=4, och i cd likaså. ab=4e, cd=4f, ab+cd=4(e+f), om e och f båda är jämna eller om båda är udda är det löst. Men man behöver givetvis redovisa det också.

Jag får nog göra det via induktion istället, går nog enklare. Men jag tycker det är logiskt att försöka visa att alla möjliga summor av talet innehåller faktorn 8 (eller 2^3), för då är också talet alltid delbart med 8.

Woo nej kom på det! Av två på varandra följande jämna tal är alltid ett delbart med 2 och ett delbart med 4. Således finns faktorn 8 i båda termerna, och om 8|a, 8|b så 8|(a+b).

Edit 2: Fast givetvis så frågade de inte om huruvida summan var delbar med 8 ... vet inte varför jag snurrade in på det. Men! Om summan är delbar med 8 är alla termer i summan delbar med 8, och alla termer är ju alla tal så... eller lite tunt? Om 8|summan, och 8|[första termen], så kan man visa att varje ny term måste vara delbar med 8. Annars skulle inte usmman vara delbar med 8. Så blir ett litet kringgående bevis som nog är lite onödigt.

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Lund
Registrerad
Apr 2004

Ett annat sätt är ju att räkna modulo 8,

7^(2n+1)+5^(2n) = 7*49^n + 25^n = 7*1^n + 1^n = 7 + 1 = 8 = 0 mod 8

Real Programmers always confuse Christmas and Halloween because OCT 31 == DEC 25 !

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Uppsala
Registrerad
Feb 2005
Citat:

Ursprungligen inskrivet av whodoo
Ett annat sätt är ju att räkna modulo 8,

7^(2n+1)+5^(2n) = 7*49^n + 25^n = 7*1^n + 1^n = 7 + 1 = 8 = 0 mod 8

Enligt mig är det där "rätt" sätt. Bara onödigt att krångla till det med induktionsbevis, vidare så brukar man börja med modulo beräkning i början.

En fisk...

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Stockholm
Registrerad
Jul 2006

Re: Första matteuppgiften på universitetet

Citat:

Ursprungligen inskrivet av aent

Uppgift: Bevisa att för varje naturligt tal n är talet 7^(2n+1) + 5^(2n) delbart med 8.

Bevis: Summan av 7^(2n+1) + 5^(2n), när n går från 0 till (k-1), k är ett naturligt tal större än eller lika med 1, är:

(7[7^(k)-1][7^(k)+1])/48 + [5^(k)-1][5^(k)+1]/24.

Om k=1 är summan 8.

Om k>1 har första termen två jämna tal och andra termen har två jämna tal. Alltså delar 8 [Urspr. talet].

Ganska mycket fel här, tyvärr.
1. Varför tar du summan då n går från 0 till k-1 av ditt uttryck ?
Då får du ju ett helt annat uttryck. Frågan var ju inte om detta nya uttryck var delbart med 8 eller inte.

2. Den första termen har två på varandra följande jämna tal i täljaren. Som du säger längre ner är då den ena delbar med 2 och den andra 4 och därmed är produkten i täljaren delbar med 8.
Sedan delar du dock med 48 respektive 24 och då kan du inte säga någonting längre om kvoterna är delbara med 8 eller inte.

3. Du använder inte induktion som man skulle alls.

Du bör använda induktion enligt följande :

1. Kolla att påståendet stämmer för n=0.

2. Antag att det stämmer för alla heltal upp till och med n.

3. Använd informationen i 2 till att visa att det då stämmer även för n+1. Detta brukar göras genom att skriva om uttrycket för påståendet för n+1 lite så att man kan använda sig av det givna sambandet i 2.

Dock bör jag nog inte hjälpa mer detaljerat eftersom det är en hemuppgift..

Namn : Jesper | Ålder : 40 | In-game namn : iller
Yrke : Matematisk modellerare (finansiell matematik), mjukvaruutvecklare för risksystem.
Utbildning : PhD i matematik + lite annat

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Göteborg
Registrerad
Maj 2004

Eh, jag hoppas dock att ingen skriver detta i ett bevis.
7*49^n + 25^n = 7*1^n + 1^n
Lite mer matematiskt korrekt får ni fan vara.

Och nej, summan är totalt ointressant och bevisar inget. Du måste ändå titta på varje term, så varför bry dig om summan?

Nej jag står fast i vad jag säger, induktionsbevis, 2-3 rader långt med enkla räkningar. Vad skulle vara krångligt med det? Det blir kort, snyggt och rakt på sak.

Ett klassiskt upplägg för induktionsbevis, basen n=0, sedan steget, om det stämmer för n, stämmer det för n+1.

Edit: Jag skrev upp för mycket, det är trots allt en skoluppgift, så jag stryker det.

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Lund
Registrerad
Apr 2004

Micket: Jag antog att när man skriver det i en inlämningsuppgift så använder man kongruenstecknet, vet dock inte hur (om man kan) skriver det här i forumet. Men var väl ganska tydligt med tanke på att jag skrev (modulo 8) i slutet?

Real Programmers always confuse Christmas and Halloween because OCT 31 == DEC 25 !

Trädvy Permalänk
Glömsk
Plats
Userland
Registrerad
Jul 2001

Snyggt whodoo! Mycket trevligare än med induktion (rätt generellt brukar induktionssteget vara rätt drygt när man ska visa att a delar b).

...man is not free unless government is limited. There's a clear cause and effect here that is as neat and predictable as a law of physics: As government expands, liberty contracts.

Trädvy Permalänk
Medlem
Registrerad
Maj 2005

Ne, modulo har vi inte gått igenom. Men såg ju fint ut.

Det sätt jag tänkte här var inte att se som ett induktionsbevis, även om det var det jag slutligen lämnade in (onsdag morgon, så var lite i sita laget om man säger så.). Dock ångrar jag att jag inte gjorde på "mitt" sätt.

Summan är visst intressant, om man ser på definitionen av delbarhet. Om a|[första termen] (Vilken blir 8) och a|[första termen+andra termen] så gäller att a|[andra termen]. O.s.v. Man kan hela tiden se det som addition av två termer, och då summan alltid delas måste varje enskild term också vara delbar. I och med att man visar att första termen är 8, visar man att uttrycket alltid kommer vara större än 8, alltså behöver man inte bekymra sig över /48, /24.

Så det är inte supersnyggt men visar definitivt genom definitionen av delbarhet att talet alltid är delbart med 8.

(För att göra det tydligt för Jesper: Summan består av termer a1+a2+...+a(k-1). Varje term är talet så det är ingen skillnad i uttrycket. )

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Göteborg
Registrerad
Maj 2004

Hmm. Den förklaringen fann jag lite tydligare, ok, men om du skriver upp den lite mer formellt så har du ett induktionsbevis där med, men det känns lite onödigt att ta fram summan isåfall;
antag att
8|[7^(2n+1)+5^(2n)] ==> 7^(2n+1)+5^(2n) == 8m
och steget
7^(2(n+1)+1)+5^(2(n+1)) = 49*7^(2n+1)+25*5^(2n) = 24*7^(2n+1)+25*8m
8|[3*8*7^(2n+1)+25*8m] ==> 8|[7^(2(n+1)+1)+5^(2(n+1))]