Första matteuppgiften på universitetet

Hej!
Har precis börjat läsa matematik på universitet, och nu har vi kommit till vår första inlämningsuppgift. Har gjort en liten lösning, men skulle gärna ha lite feedback på om den är ok eller korkad.

Uppgift: Bevisa att för varje naturligt tal n är talet 7^(2n+1) + 5^(2n) delbart med 8.

Bevis: Summan av 7^(2n+1) + 5^(2n), när n går från 0 till (k-1), k är ett naturligt tal större än eller lika med 1, är:

(7[7^(k)-1][7^(k)+1])/48 + [5^(k)-1][5^(k)+1]/24.

Om k=1 är summan 8.

Om k>1 har första termen två jämna tal och andra termen har två jämna tal. Alltså delar 8 [Urspr. talet].

--------------------------
Ser ju förjävligt ut när det bara är text såhär men hoppas ni kan tyda. Är det ett vettigt resonemang?

(Edit: självklart ser man den stora gigantiska mattetråden nu. Har suttit och pillat ett tag, vill helst lämna in den imorgon eftersom jag ska ut o resa lite.)

Skrev det mer kortfattat här, svaret så att säga. Jag tänkte följande: Om a,b,c,d alla är jämna tal, så finns faktorn 2 i varje tal, således finns i ab 2*2=4, och i cd likaså. ab=4e, cd=4f, ab+cd=4(e+f), om e och f båda är jämna eller om båda är udda är det löst. Men man behöver givetvis redovisa det också.

Jag får nog göra det via induktion istället, går nog enklare. Men jag tycker det är logiskt att försöka visa att alla möjliga summor av talet innehåller faktorn 8 (eller 2^3), för då är också talet alltid delbart med 8.

Woo nej kom på det! Av två på varandra följande jämna tal är alltid ett delbart med 2 och ett delbart med 4. Således finns faktorn 8 i båda termerna, och om 8|a, 8|b så 8|(a+b).

Edit 2: Fast givetvis så frågade de inte om huruvida summan var delbar med 8 ... vet inte varför jag snurrade in på det. Men! Om summan är delbar med 8 är alla termer i summan delbar med 8, och alla termer är ju alla tal så... eller lite tunt? Om 8|summan, och 8|[första termen], så kan man visa att varje ny term måste vara delbar med 8. Annars skulle inte usmman vara delbar med 8. Så blir ett litet kringgående bevis som nog är lite onödigt.

Ne, modulo har vi inte gått igenom. Men såg ju fint ut.

Det sätt jag tänkte här var inte att se som ett induktionsbevis, även om det var det jag slutligen lämnade in (onsdag morgon, så var lite i sita laget om man säger så.). Dock ångrar jag att jag inte gjorde på "mitt" sätt.

Summan är visst intressant, om man ser på definitionen av delbarhet. Om a|[första termen] (Vilken blir 8) och a|[första termen+andra termen] så gäller att a|[andra termen]. O.s.v. Man kan hela tiden se det som addition av två termer, och då summan alltid delas måste varje enskild term också vara delbar. I och med att man visar att första termen är 8, visar man att uttrycket alltid kommer vara större än 8, alltså behöver man inte bekymra sig över /48, /24.

Så det är inte supersnyggt men visar definitivt genom definitionen av delbarhet att talet alltid är delbart med 8.

(För att göra det tydligt för Jesper: Summan består av termer a1+a2+...+a(k-1). Varje term är talet så det är ingen skillnad i uttrycket. )