Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Problemet löses med antinge substitut eller eliminerings metoden.

Eliminerings är ofta enklast:
..y - 10 = (x - 10)²
-(y + 14 = 2(x + 14)
-------------------------------
= - 10 - 10 = (x - 10)² - 2(x + 14)

Eller så substiterar(stavning?) du:
y - 10 = (x - 10)² => y = (x - 10)² +10
Stoppa in i :
y + 14 = 2(x + 14) => (x - 10)² +10 +14 = 2(x + 14)

Båda ger en andragradare i x, lösut/räkna ut X1, X2 och kontrollera om båda är rimliga. Annars förkasta den orimliga. Beräkna sedan y med någon av de två översta ekv.

Okej, tack

Vad är den största arena en rektangel som är inskriven i en halvcirkel med radien R kan anta?

Raktangeln tangerar cirkelns diameter. (vet inte hur jag ska förklara)

beef: Placera cirkeln i ett koordinatsystem, så att "botten" går längst x-axeln, och "mitten av botten" går genom origo. Till varje x du sen väljer får du en rektangel med arean
2x*sqrt(R^2-x^2)

derivatan av detta är

2 sqrt(R^2-x^2) - 2x^2/sqrt(R^2-x^2)
sätt detta lika med 0 och få x = R/sqrt(2)
då är maxit antingen här eller i ändpunkterna av intervallet (dvs x=0 och x=R) och där blir arean 0. Altså blir maximat i punkten R/sqrt(2) och insatt i formeln för arean blir det r^3/sqrt(2)

lär räknat galet nånstans dock

Sätt f(x) = x^2.

Vi söker en tangent, y = kx + m, till f(x) i punkten (-2,4)

f'(x) = 2x.

f'(-2) = -2*2 = -4. => k = -4.

Enpunktsformeln ger:

y - 4 = -4(x+2).

<=>

y = -4x - 4.

Tangenten till f(x) i punkten (-2,4) är y = -4x - 4.

Det är min sambos uppgift, jag har försökt hjälpa till lite men jag har inte läst så mcyket matte ännu.
Vi var inne på samma spår, men räknade fel.
Så gjorde även du
Efter en omräkning visade sig svaret vara r^2

Tack för hjälpen

Nytt problem: (Envariabelanalys I)

Bland alla likbenta trianglar med given omkrets, visa att den liksidiga triangeln har störst area.

Ta en likbent triangel med "benlängd" x, låt den tredje sidan vara y. Mha Pythagoras får vi att höjden h uppfyller h^2 + (y/2)^2 = x^2. Vi visste även att x + x + y = A, där A är en given konstant. Vi kan då teckna arean som h * y, skriv om arean hy med bara x och A, derivera (inte speciellt roligt), sök extrempunkter, osv.

Kalla omkretsen för A. Om du kallar botten av triangeln för låt oss säga r. Då blir längden av de andra sidorna (A-r)/2

Höjden av triangeln blir då (pytagoras sats) roten ur ((A-r)/2)^2 - (r/2)^2
Sedan gångar du detta med basen som är r och delar med 2 och får

roten ur[((A-r)/2)^2 - (r/2)^2]*r/2
Detta kan du sedan derivera (tips: höj upp hela areafunktionen till 2 så slipper du rottecknet, blir ändå samma r). Svaret blir då r = A/3, dvs en tredjedel av totala omkretsen, dvs alla sidor e lika långa

Lysande!
Jag (vi) tackar så mycket

Problem. f(x)=arcsin x bestäm alla F(x).
Mina lösningar.
f(x)=arcsin x <> f(x)=1 * arcsin x /partiell integration/. = x*arcsin x - (obestämd integral) (x*(1/(sqr (1-x^2)))) Vart är det jag gör fel?

Eh, jag ser inget fel. För att beräkna integralen av x/sqrt(1 - x^2), gör substitutionen u = x^2.

Ok. Jag är inte alltför hemma på teorin om variabelsubstituion. Så jag funderar på om det går att lösa genom en partiallintegration av x/(sqrt (1-x^2))

Jag tror inte det. Väljer man att integrera 1/sqrt(1 - x^2) och derivera x, så kommer man tillbaka till integralen av arcsin(x) (som man inte kände), och väljer man att derivera 1/sqrt(1 - x^2) och integrera x måste man beräkna en ännu knepigare integral, x^3/(1 - x^2)^(3/2) om jag inte räknat fel. Nog enklast att bara lära sig substitution.

Jag måsta vara trött.
Hur kommer du fram till att integralen av 1/(sqrt (1-x^2) = integralen av arcsin x?

Det var inte det jag sa... Vi tänker oss att vi ska integrera x/sqrt(1 - x^2) mha partialintegration. Vi sätter funktionen som skall integreras till 1/sqrt(1 - x^2), (denna integral är arcsin(x)), och funktionen som derivas till x (dvs 1). Enligt den välkända formeln, kan vi alltså skriva

§ x/sqrt(1 - x^2) dx = x * arcsin(x) - § 1 * arcsin(x) dx, dvs man har egentligen inte förenklat problemet alls, eftersom man nu måste känna integralen av arcsin(x).

Bevisa att 9^(n + 2) - 4^n är delbart med 5 för alla n >= 1

För n = 1 gäller att 9^(3) - 4^(1) = 725, vilket är delbart med fem.

Antag att det är sant för k, så att 9^(k + 2) - 4^k = 5m , där m är ett positivt heltal.

För att bevisa det för (k + 1):
9^(k + 3) - 4^(k + 1) = 9*9^(k + 2) - 4*4^k = 9*(5m + 4^k) - 4*4^k = 45m + 5^k = 5(9m + 5^(k - 1))

För att detta då ska vara delbart med fem krävs att (9m + 5^(k - 1)) är ett heltal, vilket kräver att 5^(k - 1) är ett heltal. Är det ett rimligt antagande att 5^(k - 1) är ett heltal (jag tror inte att man ska använda någon slags dubbel induktion för att bevisa att detta är ett heltal)? Finns det något sätt att visa det så att jag slipper den termen?

Det känns väl ändå som ganska uppenbart att 5^q är heltal för heltal q >= 1. Annars kan man väl bevisa det separat med induktion då (men det känns som om det inte vore särskilt väl spenderad tid...).

Kongruensräkning: 9^(n + 2) - 4^n == 9^n * 9^2 - 4^n == 4^n * 1 - 4^n == 0 (mod 5).

Mjo, ioförsig krävs det att 5^q är ett heltal för q >= 0 i det här fallet, men 5^0 är ju ett heltal. Jag antar att det är ok att anta det. Moduloräkning vet jag inte ens vad det är - när lär man sig vanligtvis om det?

Ah, glömde nollan. Kongruensräkning kan man lära sig när man vill egentligen, då det är väldigt enkelt (grunderna iaf).

Vi skriver a == b (mod n) (där a, b och n är heltal) om och bara om det finns ett heltal k sådant att a = kn + b. Hela grejen uttalas "a är kongruent med b modulo n". Grundläggande observationer som är lätta att bevisa genom att bara övergå till definitionen:

Om a == b (mod n) och b == c (mod n), så är a == c (mod n)

Om a == b (mod n) och x == y (mod n), så är a + x == b + y (mod n).

Om a == b (mod n) och x == y (mod n), så är ax == by (mod n).

Om a == b (mod n) så är a^q == b^q (mod n) för alla heltal q (induktion + föregående sats).

Om a == b (mod n) och 0 <= b < n så är b lika med resten som a lämnar vid division med n.

a är delbart med n om och bara om a == 0 (mod n).

Det är ganska användbart för att snabbt kunna etablera saker om just delbarhet, eller om man skulle vilja veta vad klockan kommer vara om t.ex. 432 timmar...

Här kommer nu ett litet problem jag hoppas att jag kan få lite hjälp med.

Jag har en summa på 200.000 kr insatt på min bank, räntan är 4 %. Jag vill nu göra annuitetsutbetalningar under 20 år (dvs lika stora utbetalningar varje år tills pengarna är slut) och ta reda på hur stort annuitetsbeloppet är alltså. I uträkningen ska också kapitalskatten på 30% inkluderas (dvs 30% av intjänade räntan ska bort varje år).

Någon som har någon bra ide hur jag löser detta?

Jag brukar lösa sådana här uppgifter med excel, tycker det är bästa sättet att få överblick över saker o ting.
Se bifogad fil för exempel på en snabbt ihopkastad lösning, den går såklart att variera lite beroende på förutsättningarna.

Edit: Jag kanske skulle tillägga att lösningen görs m h a Solver/Problemlösaren eller Goal Seek/Målsökning vilka finns under Verktyg-menyn.

Vet inte riktigt vad kapitalskatt är, men förhoppningsvis förändrar det inte så mycket. Du får givetvis ändra själv i metoden så att det stämmer.

Kalla summan du betalar varje år för M, och det du har kvar att betala för A_n.

Efter första året har du att:
A_1 = 200000 + ränta - M = 200000 + 200000*0.04 - M = 200000(1.04) - M

Efter andra året:
A_2 = A_1 * 1.04 - M = (200000(1.04) - M) * 1.04 - M = 200000(1.04)² - M(1.01 + 1)

Tredje:
A_3 = A_2 * 1.04 - M = 200000(1.04)³ - M(1.04² + 1.04¹ + 1)

Fjärde:
A_4 = A_3 * 1.04 - M = 200000(1.04)^4 - M(1.04³ + 1.04² + 1.04 + 1)

Efter n år:
A_n = 200000(1.04)^n - M[1 + 1.04 + 1.04² + 1.04³ + ... + 1.04^(n - 1)]

Vid A_20 ska vara lika med 0, vilket betyder att
0 = 200000(1.04)^20 - M[1 + 1.04 + 1.04² + 1.04³ + ... + 1.04^19]

M = (200000(1.04)^20)/[1 + 1.04 + 1.04² + 1.04³ + ... + 1.04^19]

Nämnaren är en geometrisk serie a_n = 1.04^(n - 1). Enligt summaformeln blir nämnaren 1(1 - 1.04^20)/(1 - 1.04) = 29.78

M = (200000(1.04)^20)/29.78 = 14715

För att jämföra ser vi att M * 20 = 14715 * 20 = 294300, dvs att räntan är ungefär 94 000.

Tyckte inte att denna uträkning var enkel alls, om jag ska vara ärlig =p

Greendevil: Hur har du fått fram annuitetssiffran i din kalkyl?

Vad menar du med annuitetssiffran? Jag vet inte riktigt om jag skulle vilja kalla detta för annuitet, det blir ju lite speciellt när du minskar ned ditt belopp till noll över tiden. Men i o m att du ville ta ut samma belopp varje år är det väl OK.

Jag antar iaf att du menar det jag kallar "uttag" i beräkningen, dvs vad man tar ut varje år.
Om du spanar i beräkningen så är allt "dynamiskt" uppbyggt, dvs ändrar man något i den lilla rutan så ändras tabellen. Eftersom du hade fasta värden för räntan, skatt och startvärdet är det bara "Uttag" vi behöver variera, och till detta finns det en käck funktion i excel som heter Goal Seek. Den använder man så att man ger en målcell ett önskat värde och anger en cell som kan variera.

I vårt fall sätter jag således att jag den 1/1 år 21 (målcell B23) vill ha 0 kr (värde) kvar, och låter Goal Seek variera cellen "uttag" (G3).

Vill man undersöka hur flera variabler påverkar saker och ting finns den mer komplicerade Solver, där man också kan generera känslighetsanalyser och annat intressant. I detta fallet är dock Goal Seek klart smidigast.

Hoppas det klarnar, fråga på annars.

Hmm, lite hjälp med detta tack

En hiss i ett högt torn rör sig så att dess höjd s m över markplanet kan beräknas med formeln:

s(t) = 6t - 12sin0.5t

där t är tiden i s

a) Bestäm hissens läge och hastighet då t = 7.5

b) Beräkna är hissen stannar, dvs bestäm det värde på t(t > 0) för vilket s'(t) = 0

Hur häleder man fourierkoefficienterna för f( t - tau) uttryckta i fourierkoefficienterna för f(t) ?

Formeln är iallafall ck(f(t-tau)) = e^( -i*k*tau*omega)*ck(f)

-----

Svar till ovanstående:
a-uppgiften är ju ren insättning i formeln samt formeln för derivatan
i b-uppgiften sätter du derivatan till 0 och löser ut t-värdet ( .... det står ju iofs redan)

Förutsättningar. hastigheten är derivatan av lägesfunktionen.
a) S(7,5)=(6*7,5) - 12 *sin (0,5 *7,5). Detta kommer att ge oss läget vid tiden t=7,5s.
S'(t)=6 - 12/2 cos 0,5 t (inre och yttre derivata). <> S'(t)=6-6*cos 0,5t S'(7,5) = 6-6cos (3,5), detta ger hastigheten vid t=7,5s.
b) lös den trigonometriska ekvationen 6-6 cos 0,5t = 0

4^20+4^20 = 2*4^20 = 2*2^40 = 2^41