Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Läs ut cos 3x till att börja med så du får cos 3x = 1/8. Byt variabel till u = 3x till att börja med så att du får ekvationen cos u = 1/8.
Här kan du ställa upp lösningarna som vanligt (dvs u = arccos(1/8) + n*2*pi och u = - arccos(1/8) + n*2*pi).
Gå sedan tillbaka till variabeln x.

Radianer används av bekvämlighetsskäl av lite olika anledningar.
En trevlig anledning är att om man har en cirkel med radie 1 så har vinkeln och båglängden som hör till vinkeln samma mätetal (tex är ett varv två pi radianer och omkretsen två pi längdenheter).
En annan viktig anledning är att det underlättar när man ska derivera trigonometriska funktioner. Kör man inte med radianer då ploppar det ut en massa extra jobbiga konstanter i formlerna.

Vad har du försökt med? Var fastnar du?

Om du kommit till
   B − N = B / E
så kan du sedan

1. samla alla termer som innehåller B på ena sidan och vice versa:
      B − B / E = N

2. bryta ut B i vänsterledet:
      B (1 − 1 / E) = N

3. dela med den nya parantesen på båda sidor:
      B = N / (1 − 1 / E)

vilket stämmer med det svar du hade.

Notera att uttrycket går åt skogen i steg 3 om E = 1, dvs om B = I; vad detta innebär i praktiken beror på vilket problem du studerar.

Tråkigt nog är det nog en av de första kurserna . Jag är väldigt medveten om att man väldigt snabbt kan glömma dessa saker efter gymnasiet om man inte utövar dem, så det är verkligen inget unikt att fastna på.

Vill du repetera så kan jag rekommendera materialet från Sommarmatte, som redogör för gymnasiematten (och marginellt med ytterligare saker). Jag skrev detta tidigare i denna tråd, och har inte haft anledning att ändra min uppfattning sedan dess:

Det verkar i uppgiftsformuleringen som att den ska lösas grafiskt på räknaren. Rita upp vänsterledet samt högerledet och studera de punkter där dessa grafer skär varandra — dessa punkter är lösningar.

Multiplicera in förfaktorn cos² x i parantesen i vänsterledet och se vad som händer.

b-uppgiften är lik det du gjorde i uppgift 1.

Det finns en tankegång i ordningen abc-uppgifterna ges här. Om du kan cos v så kan du lätt hitta cos² v, då cos² x bara är ett annat sätt att skriva (cos x)².

Kan du sedan detta så kan du via trigonometriska formler arbeta vidare för att få sin v. Kolla sedan upp hur man definierar tan x utifrån sin x och cos x så får du även c-uppgiften.

EDIT: Slö är jag. Låter det stå.

För ett komplext tal gäller att
|z|=3 och argz= pi/6

Beräkna

arg iz

och |iz|

Jag vet hur det det ser ut grafiskt när man ritar ut arg z=pi/6 samt |z|=3.

Vad är stegen för att räkna ut det?

i borde bli 90* vilket är pi/4 (om man kollar på Re och Im axeln i ett koordinatsystem).

Arg(i z) är alltså argumentet för z multiplicerat med den imaginära enheten. Låt oss testa vad som händer när vi multiplicerar ett "komplext prototyptal" x + i y (x, y reella) med den imaginära enheten:
   i (x + i y) = −y + i x
Den reella biten har flyttats till imaginäraxeln, och den imaginära biten har flyttats till den negativa realaxeln. Multiplicerar vi med i ytterligare en gång så får vi:
   i² (x + i y) = −1 (x + i y) = −x − i y
dvs vi har "speglat" talet genom origo. Ytterligare en gång ger:
   i³ (x + i y) = −i (x + i y) = y − i x
vilket på samma sätt är spegelbilden av i (x + i y) som beräknades ovan. Ytterligare en gång ger:
   i⁴ (x + i y) = (−1)² (x + i y) = 1 (x + i y) = x + i y
dvs vi får tillbaka ursprungstalet igen.

Du kan använda dessa prototyper för att beräkningsmässigt hitta generella samband för vad som händer med argument respektive belopp. Du kan även direkt titta på det geometriskt för specialfallet z = 2 + i:

Studerar du detta så bör du kunna uttrycka argument och belopp av ett tal som multiplicerats med den imaginära enheten, givet argument och belopp för ursprungstalet.

Hej hej! Nu vill jag absolut inte låta otrevlig men jag har ett problem som jag behöver hjälp med så snabbt som bara möjligt.

Det är Matte 4 och handlar om derivata, specifikt hur man deriverar saker som är "delade".

Exemplet jag har kört fast på:

y = ((x^3)/3)+2 och vi vill ha både y' och y''.

Jag vet att tvåan försvinner direkt, det jag har problem med är att förstå vad som händer med hela schabraklet som är delat men jag har fått det så här långt i alla fall.

y' = -3((X^-4)/4), nu då? svaret enligt facit är 4x^-5 = 1/4x^5.

All hjälp uppskattas!

Jag antar att du menar x^-3 ? För annars känns det väldigt fel.

Anta att du har ett problem på formen ((x^r)/a). Det går att skriva om till (1/a)*(x^r).

Tittar vi nu på ditt problem så får vi alltså:

y = ((x^-3)/3) + 2
y = (1/3)*(x^-3) + 2

y' = (1/3)*((-3)*(x^-4))
y' = (1/3)*(-3)*(x^-4) Du kan flytta runt saker eftersom det är multiplikation
y' = (-1)*(x^-4)

y'' = (-1)*(-4)*(x^-5)
y'' = 4x^-5

Tack så mycket för svaret. Ja, jag har problem med hur man skriver om saker och ting, det är där det brister. Jag såg tyvärr det svar lite sent och löste det på ett annat sätt, jag vet inte om detta är korrekt men jag får ut rätt svar.

Visa innehåll

Dold text

Lägger en spoiler för att det ska ta mindre plats!

Du har gjort exakt samma sak så det stämmer nog.

Dela förslagsvis upp tvärsnittet i två delar. Den undre delen är den med triangulärt tvärsnitt (bas 2 ⋅ 2.5 cm, höjd 2.5 cm), vilket under rotation kring den lodräta axeln ger en kon, vars volym är lätt att få. För området ovanför behöver du massera om din kvadratiska formel så att du får den på formen x(y) i stället för y(x), då du är intresserad av ett uttryck för radien för respektive "skiva" vinkelrät mot y-axeln. Radien fås av summan av den konstanta x-biten från axeln adderad till x-biten som ändras med höjden enligt ditt uttryck. Tryck in detta i din skivformel och integrera.

Tänk på att dessa integrationsformler egentligen är väldigt logiska om man tänker på dem i geometriska termer. I skivformeln så delar du upp volymen i skivor som ligger på varandra, räknar ut arean av varje skiva (π ⋅ radien²), multiplicerar med en höjd Δy och summerar alla dessa skivors volymer. För bättre resultat låter vi Δy bli mindre och mindre så att det blir fler och tunnare skivor, och när vi till slut låter Δy gå mot 0 så kallar vi det dy och ersätter summan med en integral. Det "magiska" är hur approximationen med att summera dessa skivor som var för sig har konstant radie över små höjder ger rätt svar när vi "går mot oändligt små höjder", trots att varje skiva ju egentligen intuitivt är sned på randen. Att det fungerar tackar vi integralkalkylen för .

Ett alternativ vore att dela upp tvärsnittet i tre delar: den nedre triangeln (som ger en kon under rotation, enkel att räkna ut), en rektangel som sitter ovanpå denna (som ger en cylinder under rotation, enkel att räkna ut) och sedan betrakta den kvarvarande biten med cylinderformeln (även kallad rörformeln/skalformeln). Då slipper du omvandla y(x) → x(y), men får i stället kompensera för att du skiftar tvärsnittet från axeln, samt tänka till för att få den relevanta glashöjden ur din kvadratiska formel (i stället för komplementet). Dessutom blir integrationerna i detta fall längre (om än fortfarande enkla och rättfram), så här är det smidigare att hålla sig till skivformeln.

Först kan vi titta på integralen. Hastigheten var given som:
   v(t) = 2 (1 − e⁻⁵ᵗ)
Sträckan s(t) är integralen av hastigheten med avseende på tiden, så:
   s(t) = ∫ v(t) dt = 2 (t + e⁻⁵ᵗ / 5) + C, C konstant
Konstanten bestäms genom att vi definierar ursprungskoordinaten som 0, dvs
   s(0) = 0 = 2 (0 + e⁰ / 5) + C = 2/5 + C ⇒ C = −2/5
Vi är intresserade av tiden t när sträckan är 8.0, dvs
   8.0 = 2 (t + e⁻⁵ᵗ / 5) − 5/2
Där var du i praktiken. Det är en lurig ekvation i t som det inte är tänkt att ni ska lösa analytiskt (det blir en transcendent ekvation som man efter transformation kan uttrycka i Lamberts W-funktion om man vill, men tja ), men numeriskt är det lätt, så ta fram grafräknaren och leta efter en vettig skärningspunkt (det bör bli en negativ att förkasta samt en mer intressant positiv lösning).

Transformationen från y(x) till x(y) ser korrekt ut (man kan notera att den bara är giltig för positiva x, men det räcker ju gott här), men detta beskriver bara radien från den horisontella punkt där den paraboliska biten av glaset börjar, dvs x i det koordinatsystem du fick när du transformerade origo till (2.5, 2.5). Du vill ha hela radien från glasets axel när du räknar ut volymen enligt skivformeln, så du får i fina ord transformera tillbaka till ursprungskoordinatsystemet genom att lägga till den konstanta biten fram till ditt transformerade origo i din formel. Den intressanta radien, dvs avståndet från glasets symmetriaxel till glaskanten för varje "skiva", blir alltså i ord uttryckt:
   (Den konstanta horisontella biten från glasets symmetriaxel till y-axeln i mitt nya koordinatsystem) + (Avståndet från min nya y-axel till glasets kant)

Tänk på vad x = √(y / 0.4) beskriver, och vad beståndsdelarna i skivformeln beskriver i termer om radie, etc. Det ska vara tydligt vad man gör geometriskt. Det kan också vara värt att notera att de värden som du integrerar över ska ligga mellan två punkter på y-axeln — uppgiften har bara gett ett värde för startpunkten, och slutpunkten fås av att sätta in rätt x-värde i ditt y-uttryck. Här råkar det sammanfalla numeriskt med start- och slutpunkt på x-axeln, så det är korrekt att integrera från 2.5 till 5, men det hade inte behövt vara så.

Du har en kvadrat i i skivformeln också (arean för en cirkelskiva är π r ²).

I skivformeln vill du ha ett uttryck för den röda radien, i bilden kallad r (notera att den går från symmetriaxeln till glasets kant) för varje skiva du vill integrera över. Formeln x(y) = √(y / 0.4) gäller i det gröna koordinatsystemet, men för att få glasets volym så ska ju tvärsnittet rotera kring den blåa y-axeln, så det är ett annat x vi är ute efter; i själva verket det som är r i ovanstående bild.

Radien för varje horisontellt liggande enskild skiva som staplas på varandra fås alltså av avståndet från blå till grön lodrät axel, adderat med avståndet från grön lodrät axel till glasets kant.

När du sedan har ett uttryck för detta, vilket är ditt 2.5 + √(y / 0.4), så stoppar du in det i skivformeln. Vad skivformeln gör att är att helt enkelt räkna ut π r ², dvs arean för varje skiva, multiplicerar den med höjden för varje skiva för att få volymen och summerar dessa skivors volym. När man låter varje skivas höjd gå mot 0, så att antalet skivor går mot oändligheten, så kallar man i stället summan för en "integral" och betecknar höjden som dy.

För att bestämma formen på den luriga delen av glasets kant så satte du origo i en enkel punkt, så att formen överensstämde med en parabel som gick genom detta origo (uppgiften ger egentligen inte ens att det är just en andragradsekvation det där, men det ser rimligt ut). Allt du vill är att bestämma ett uttryck för r i min bild som funktion av y, så när du har formen för den luriga biten längst ut så kan du bara addera den konstanta delen för att ta dig ut till den luriga delen.

r går från den blå axeln till glasets kant. Du uttrycker r som summan av biten från den blå axeln till den gröna axeln (vilken är enkel, då den hela tiden är konstant), + biten från den gröna axeln till glasets kant, vilket ges av x = √(y / 0.4) — egentligen skulle man kanske valt x₁ och x₂ som variabler från respektive koordinatsystem för göra det tydligare vad man menar, men det blir aldrig speciellt krångligt här, om man förstår vad man adderar.

Du integrerar över ett r som går från glasets symmetriaxel, hela vägen ut till glasets kant, så du får med hela kroppen ovanför den undre konen när du integrerar över y från 2.5 till 5.

När du säger "den lilla bubblan" så menar du nog bara uppgiftens försök att införa perspektiv i bilden för att göra glaset lite tredimensionellt, så det är inte mycket till bubbla att tala om egentligen. Glasets ovankant är tänkt att vara plant horisontell, som ett vanligt glas, helt enkelt.