Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Eftersom vi vill veta m värdet så sätter jag in x=1 i funktionen.

f(1) = 1^2 - 3ln(1), detta blir ju 1..

Sedan deriverar jag funktionen

f ' (x) =2x - 3/x
Sätter in 1 i derivatan för att få lutningen
f '(1) = 2- 3
f ' (1) = -1

Alltså blir y = kx + m = 1 - x.

Men facit säger 2 - x. Var i helvete kommer tvåan ifrån.

m är inte värdet i punkten, m är den räta funktionens värde för vid x=0

Skickades från m.sweclockers.com

Vad har du haft för material hemma när du läst självständigt hittills?

Sommarmatte kanske passar. Kursmaterialet är fritt (se mitt tidigare inlägg om detta) och tanken är att det ska täcka gymnasiematten, och lite därtill vad gäller separat högskoleförberedande material.

Hejsan sitter nu och pluggar till omtentamen i Diffekvationer och stöter på problem med fourierserier...
uppgiften är följande:

Jag har kommit fram till att lösningen är denna:

och ska nu lösa ut fourierkoefficienterna och det är här det börjar strula sig.
bn var inga problem och fick denna till 0
däremot an blir bara kaos...

i lösningen står det följande:

Den rödmarkerade omskrivningen förstår jag verkligen inte!!

Formeln för att ställa upp ert aₙ bör ni ha härlett i kursen, och står säkert även i en formelsamling. Dock så har de med ett extra π i argumentet till sinus i andra ledet som inte ska vara där: sin(n π x) ska bara vara sin(n x) (man ska dela bort intervallängden i argumentet). (Dessutom har de glömt att stänga en parantes i tredje ledet, och de borde använt `\left (` och motsvarande `\right )` i sin LaTeX-kod för att göra stora paranteser, om man får önska fritt).

Det är dock bara ett tryckfel, för nästa led är räknat som det "borde" vara. Det består i korthet av en partialintegrering. Sista ledet utnyttjar att n ska vara ett heltal tillsammans med egenskaperna för cosinus.

Om vi tittar på partialintegrationen så ger första termen i det ledet:
   [−x cos(n x) / n ]^π_0 = −π cos(n π) / n − (−0 ⋅ cos(n 0) / n) = −π cos(n π) / n
Integranden i andra termen blir:
   sin(n π) / n² = 0, eftersom n är ett heltal.
Alltså överlever bara den ena delen från partialintegrationen. Tillsammans med vad vi började med så ger det alltså:
   aₙ = (2 / π) (−π cos(n π) / n) = −(2 / n)‪(−1)ⁿ = (2 / n)‪(−1)ⁿ⁺¹
där cos-termen kunde skrivas om eftersom n var ett heltal: cos(m π) blir ju −1 när heltalet m är udda, och +1 när m är jämnt. I sista ledet så bakar jag i minustecknet i exponenten, för det blir finare så, och då har vi samma svar som facit.

Ok tack för svar förlåt om jag är besvärlig men jag förstår fortfarande inte riktigt, som du säger har jag formeln för an och bn enligt BETA och kursboken dock är det inget som hjälper mig. Enligt boken och BETA bör det skrivas såhär:

an=2/pi [integral 0-pi](f(x)*cos(n*pi*x/pi) dx Som jag tolkar det är det i mitt fall f(x) = x för det specifika begynnelsevillkoret?
men varför används sinus istället för cosinus som boken säger?

Jag har även en annan liknande uppgift fast med annorlunda startvärden och där skall bn beräknas istället och de använder även där sinus? hur kommer det sig?

Tack återigen för din hjälp, det gav mig åtminstonde något hopp igen!

EDIT: Eller vänta nu! är det så att det inte måste vara sinus/cosinus för an/bn utan det som egentligen gäller är bara det som används efter summationstecknet? Alltså oavsett om det står 1/x = sum1-inf(an/bn*sin(nx)) kommer både bn och an vara K*integral f(x)*sin(nx)?? Jag är trött och du får gärna rätta mig om jag har fel men annars kommer jag vakna lycklig imorgon!

Ja men då va det ju i princip som jag trodde bara att du hade en faktisk förklaring istället för "använd det som står" haha.
Men då tror jag faktiskt att jag är med på det här nu, tack så hemst för hjälpen båda två!

Din variabelseparation (som jag utgår ifrån att du använde här) ledde dig fram till en viss form på lösningen som en produkt av ett uttryck som bara berodde på t och ett som bara berodde på x. Eftersom de var oberoende så måste de vara lika med en konstant (att detta är fallet är en av de stora pelarna att inse i lösningsgången). Nu har du på intervallet x ∈ (0, π), t > 0 två differentialekvationer att lösa (en i t, en i x) som båda egentligen kan ansättas på samma form, och vi kan summera linjärt oberoende lösningar till en oändlig summa av sin- och cos-termer (detta hör ihop med att dessa funktioner bildar en fullständig bas, och det kan visas att de konvergerar). Vad vi kallar aₙ och vad vi kallar bₙ är bara nomenklatur, och ändrar inte matematiken.

Vad gäller ekvationen i x så ger randvillkoret, som var
   u(0, t) = u(π, t) = 0,
att det inte finns någon (intressant, dvs nollskiljd) lösning som innehåller cos-koefficienter, så vi kastar bort alla dessa och behåller bara sin-termer. Det är här vi har det uttryck för u(x, t) som du själv hade: det "i parantesen" är ekvationen i t, och det utanför är vad som är kvar av ekvationen i x efter att vi använt begynnelsevillkoren.

Vad nu gäller ekvationen i t så hade vi randvillkoren:
   u(x, 0) = x
   uₜ(x, 0) = 0
där det andra villkoret ger att ekvationen i t inte har några sin-termer kvar, så vi stryker alla bₙ.

Det första villkoret ger nu det som din tredje bild visar, dvs att x ska vara en viss summa sin-termer med tyngderna aₙ. Poängen med Fourierserier är att man kan visa att alla (nåja; närapå, men det är inte speciellt tuffa krav) funktioner går att uttrycka som sådana summor av trigonometriska funktioner (eller någon annan Fourierbas, för den delen), och vi har också visat en behändig formel för hur man bestämmer koefficienterna. Detta använder vi nu för att uttrycka funktionen x i vänsterledet som en oändlig serie av sin-termer, varpå vi därefter kan identifiera dess koefficienter med högerledets, vilket ger oss aₙ.

Vi hade kunnat kalla de koefficienter som vi använder för att uttrycka x för något annat än aₙ, t ex βₙ och senare sagt något i stil med att "eftersom sin-termerna är ortogonala i n så råder likhet endast då βₙ = aₙ", men det steget är "självklart" nog för att hoppas över: vi ser direkt att om vi kan uttrycka x i vänsterledet som en sin-Fourierserie så motsvarar dess koefficienter de i högerledet.

Benämningarna aₙ och bₙ kommer från lösningen i t, då de definieras att höra till cos- respektive sin-termerna. Sedan så är det i praktiken "x-ekvationens sin-term" som är den som överlever när vi sätter i randvillkoren för t; häng inte upp dig på vad de heter. Det som görs i sista steget är återigen att uttrycka randvillkoret som en summa av trigonometriska termer som vi sedan identifierar med högerledet. Att vi använder en sin-Fourierutveckling av funktionen i vänsterledet även här (som här bara är konstanten 1) är för att högerledet helt enkelt var på denna form. Att det var på den formen beror på randvillkoren för ekvationen i x (som var samma i dina båda uppgifter). Det som skiljer i uppgifterna är randvillkoren för t.

Det ska nämnas att anledningen till att det "råkar" bli så att högerledet är på en fin Fourierutvecklingsform som gör att vi kan utveckla och identifiera med randvillkoret beror på att uppgifterna är noga konstruerade: denna metod fungerar på en viss klass av problem (som av en händelse också råkar vara viktiga fysikaliska problem).

Jag tror du tänker rätt här; när vi utvecklar vänsterledet så väljer vi en sådan utveckling som gör att vi lätt kan identifiera dess koefficienter med högerledet; i detta fallet en sin-Fourierserie.

Fouriers metod ser lätt ut som "hokus pokus" till en början, men om man tänker på varje steg och mängdtränar så märker man att det inte är så magiskt trots allt. Det ligger egentligen mest "magi" i Fouriers försäkran om att vi kan utveckla närapå godtyckliga funktioner i konvergenta Fourierserier; grundliga bevis för det är lite tyngre att greppa, men om man till en början kan acceptera detta faktum så är det bara att räkna på.

Lösningsgången är något av en trestegsraket:

1. Visa att lösningen kan uttryckas på en viss form (som för vissa typer av problem "råkar" vara samma form som Fourierserier).

2. Försök uttrycka randvillkoret på samma form (vilket enligt Fourier mer eller mindre alltid går om steg 1 lyckades).

3. Identifiera koefficienterna.

Sedan så kan inte minst steg 1 kompliceras brutalt om vi slänger in några extra variabler, och det finns besläktade problem som även innehåller korsderivator som kan använda en snarlik metod, etc., men sådant kan gärna vänta tills Fouriers metod sitter.

Hej igen!
Orkar någon förklara denna steg för steg

Utveckla vänsterledet, dvs "multiplicera ut" parantesen. För att göra detta så kan man antingen tänka att det står
   (5 cos x − sin x) ⋅ (5 cos x − sin x)
och multiplicera ihop det som en "vanlig" multiplikation, eller så kan man direkt använda kvadreringsregeln
   (a ± b)² = a² ± 2 a b + b²
som man ändå vet ger samma resultat (ser den "magisk" ut så spendera någon minut på att multiplicera ihop just (a + b) ⋅ (a + b) respektive (a − b) ⋅ (a − b) och se vad du får i respektive fall).

Sedan så kommer du ha ett vänsterled med sin²x, cos²x och sin x cos x-termer samt konstanter. Notera att exempelvis "sin²x" bara är ett vanligt sätt att skriva "(sin x)²" (och notera att detta inte är samma sak som "sin (x²)" — en anledning till att vi sätter "tvåan" direkt efter funktionsnamnet är just att undvika denna sammanblandning).

Med trigonometriska likheter (finns listade i formelsamlingar, eller för den delen på List of trigonometric identities [Wikipedia]) så kan du sedan skriva om dessa termer på samma form som den du söker i högerledet: dvs omvandla hela vänsterledet till termer som bara innehåller cos 2x, sin 2x och konstanter. Samla dessa termer och identifiera dess koefficienter med A, B och C.

Alltså: högerledet säger till dig vilken form du vill ha på vänsterledet. Sedan är det bara att massera vänsterledet tills det passar.