Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Du vill skriva om vänsterledet så att du kan använda det du visat för n. Om du har en summa från k = 1 till n + 1 så kan den skrivas som en summa från k = 1 till n, plus den sista termen där k = n + 1, dvs man bryter ut den sista termen. Detta är bra, då du redan har ett uttryck för summan till n.

Sedan försöker man massera om högerledet så att man får en del som ska motsvarar dels uttrycket för summan till n, och om påståendet som ska bevisas stämmer så ska det i högerledet även trilla ut en del som motsvarar den utbrutna "n + 1"-termen.

Du ska inte sätta in en siffra, utan du ska behålla "n + 1" i högerledet och utifrån detta få högerledet på en form som innehåller dels en del som motsvarar summan till n (hur denna ska se ut är vårt antagande, som vi visat gäller för n = 1, dvs "något n"), och en del som förhoppningsvis motsvarar den kvarvarande termen i vänsterledet. Då är vi hemma.

Problemet med att bara sätta in n = 2 i stället för det generella n + 1 är att, visst, vi får kunskap om att påståendet gäller för ytterligare ett tal, men vi har fortfarande inte kommit närmre att visa att det gäller för alla positiva heltal. Vi skulle behöva explicit testa alla dessa tal om vi gjorde på detta sätt, vilket inte är direkt möjligt. Induktionsbevis är ett "trick" vi använder för att komma förbi en sådan begränsning.

———

Konceptuellt så vill vi visa något i stil med att Σⁿ aₖ = Cₙ för alla heltal n ≥ 1(anta att summatecknet implicerar att k går från 1; det blir så plottrigt att skriva detta i forumet, bara). Vi visar först att detta gäller för specifikt n = 1 (det "lägsta" n för vilket vi vill visa påståendet). Om det inte ens gäller för n = 1 så kan vi slänga påståendet direkt i soptunnan.

Nu antar vi att det gäller för något n — detta tål att tänkas på, så jag upprepar. Vad gör vi? Vi har visat det för ett visst n, och sedan antar vi att det gäller för något n. Vi vet ju egentligen att detta svaga uttalande är sant då vi testat n = 1, men ännu kan vi inte säga att det gäller för alla n, vilket är vårt mål. (Personligen brukar jag vilja använda en ny variabel, exempelvis m, för dessa steg för att hålla isär vad vi gör; att återanvända variabler till snarlika men inte riktigt samma saker blir lätt en fälla, men jag fortsätter med den notation du började med.)

Om vi fortsätter på vårt för närvarande lite djupa vatten så testar vi nyfiket ifall det under detta antagande även gäller för n + 1, dvs i andra ord: om det skulle gälla för ett visst heltal n, skulle det då även gälla för "nästa" heltal?

Vi vill alltså testa om följande likhet stämmer:
   Σⁿ⁺¹ aₖ = Cₙ₊₁
Hur kan vi testa detta? Vi vet ju egentligen fortfarande inte mycket om uttrycket, förutom att vi antagit en viss likhet för n. För att använda detta antagande så börjar vi med att skriva om vänsterledet som:
   Σⁿ aₖ + aₙ₊₁
Detta är inget egentligt "arbete", utan bara att annat sätt att skriva exakt vad vi har. Det har alltså inte hänt mycket än. Men: om vi nu även kan skriva högerledet på en form likt
   Cₙ + D
så kan vi med hjälp av vårt antagande se att vi får:
   Σⁿ aₖ + aₙ₊₁ = Cₙ + D
   aₙ₊₁ = D
Om nu vi har "turen" att "resten" D överenstämmer med aₙ₊₁ så stämmer likheten, vilket är vad vi siktar på. Vårt mål är alltså initialt att lyckas åstadkomma Cₙ + D-formen av högerledet, så att vi kan använda antagandet för att stryka förstatermerna i varje led. Ifall den ursprungstes vi ska bevisa stämmer så ska det gå att åstadkomma en sådan form.

När vi då väl lyckats visa att:

1. Påståendet gäller för n = 1

2. Om påståendet gäller för ett visst n så gäller det även för nästa heltals-n

så är vi ju hemma genom att bara säga "enligt induktionsaxiomet gäller påståendet därmed för alla n ≥ 1", för om det gäller för n = 1 så gäller det för n = 2, och om det gäller för n = 2 så gäller det för n = 3, och om det gäller för n = 3 så gäller det för n = 4, och om det … .

"Induktionsaxiomet" är det som säger inget följande heltal "kommer undan" i en sådan uppräkning, vilket kan tyckas trivialt, men man ska akta sig för att "tro" för mycket om talen — bättre att vara ordentlig .

———

Jag skrev längre om induktionsbevis här på forumet en annan gång (även här, om än inte lika utförligt).

Ja, Cₙ i min notation ovan blir summan av de n första termerna. aₙ motsvarar term n i summan, dvs (2n − 1)².

Vad D blir är egentligen kärnan av uppgiften. Du vill att det ska vara samma sak som aₙ₊₁ för att sista likheten ska hålla, men det är detta du måste visa för att uppgiften ska vara löst.

Utan att undersöka uppgiften närmre för att försöka hitta "smarta genvägar" så skulle jag multiplicera ihop allting, vilket säkerligen kommer fungera, och sedan använda kvadreringsregler "baklänges" för att försöka hitta önskad form på högerledet. Det finns flera tillfällen att räkna fel, så det blir en övning i att vara noggrann och systematisk.

Du har nu utvecklat uttrycket. Nu vill du kunna dela upp detta i en del som du kan stryka mot summan upp till n i vänsterledet, och en del som förhoppnings motsvarar övriga delen av vänsterledet.

Med aₙ₊₁ = (2 (n + 1) − 1)² så blir vänsterledet:
   Σⁿ aₖ + (2 (n + 1) − 1)²
Antagandet är att första termen uppfyller likheten:
   Σⁿ aₖ = n (2n − 1) (2n + 1) ∕ 3 = n (4n² − 1) ∕ 3
där den sista förenklingen (konjugatregeln) bara gör det lite tydligare.

Nu vill du alltså få över högerledet på en form som dels innehåller just n (4n² − 1) ∕ 3, och dels en övrig del som i en perfekt värld ska motsvara (2 (n + 1) − 1)². Ett "trick" man kan använda är att helt enkelt lägga till och samtidigt dra ifrån samma term i högerledet (det får man alltid göra, då de summerar till 0 och alltså inte påverkar uttrycket), dvs skriva typ
   (4n³ + 12n² + 11n + 3) ∕ 3 = n (4n² − 1) ∕ 3 − n (4n² − 1) ∕ 3 + (4n³ + 12n² + 11n + 3) ∕ 3
och sedan låta den gröna biten stå kvar och skriva resten av uttrycket på ett gemensamt bråkstreck, förenkla och identifiera.

Tricket med att "lägga till och ta bort samma sak" kallade en av mina mattelärare för ett av hans fyra "dödliga vapen"; de andra var att "multiplicera och dela med samma sak", "partialintegration", och ett som han sa var för hemligt att berätta om.

Nej, den gröna termen är ju vad du vill ha, då det motsvarar summan upp till n som du "kvittar" mot vänsterledet enligt ditt antagande. Den ska stå kvar.

Bara att räkna igen . Skriv det "röda" och "svarta" på gemensamt bråkstreck, varpå saker trillar ut fint. Se upp för teckenfel. Som jag nämnde innan så finns det många möjligheter att räkna fel, även om det ser lätt ut, så det blir en övning i att vara noggrann.

Enligt det du skrev innan:

så vet du redan att 4n² + 4n + 1 = (2 (n + 1) − 1)², vilket gör att du nu kan likställa vänster- och högerleden i det uttryck du vill visa.

Man hade också kunnat identifiera detta utan att behöva utveckla i vänsterledet genom att gå "baklänges" via resten i högerledet enligt:
   4n² + 4n + 1 = [kvadreringsregeln] = (2n + 1)² = (2 (n + 1) − 1)²

Skriv ner en ren fullständig lösning av det du gjort så att du känner att du förstår tankegången. Dessa uppgifter är ofta rätt lika på många sätt, men de kräver att polletten trillar ner gällande vad poängen med induktionsbevis är.

1. Primitiven för sin 2x är fel, men lösningen ser korrekt ut i övrigt.

   Du vill hitta en funktion som när den deriveras blir sin 2x. När du deriverar din gissning cos x² så får du −2x sin x², vilket ju inte är rätt — generellt så kan det vara lite trixigt att hitta rätt primitiv till en viss funktion, men det är relativt lätt att kontrollera ifall en viss "gissning" är den korrekta primitiven. Du får läsa på om hur man deriverar och integrerar sin och cos.

2. y′ är derivatan av y (här implicerat med avseende på x). Derivera y (vilket du gjort) och sätt in detta i ekvationen de ger dig, samt y i sig (dubblerat, enligt förfaktorn 2). Se om ekvationen stämmer.

Du har räknat ut derivatan:
   y′ = e²ˣ
Sätter du in detta i differentialekvationen så får den som du skriver utseendet:
   e²ˣ − 2(0.5 e²ˣ) = 0
Det frågan undrar är: stämmer detta? Multiplicera in tvåan i parantesen så får du
   e²ˣ − e²ˣ = 0
och det ser ju onekligen lovande ut. Värre än så är inte uppgiften .

Om du frågar efter primitiven till sin 2x så är det som sagt lätt att kontrollera om en viss primitiv är korrekt genom att derivera och se vad man får. Här:
   (cos 2x ∕ (−2))′ = [kedjeregeln] = −sin 2x ⋅ 2 ∕ (−2) = sin 2x
vilket var vad du ville ha.

Enklast är att kunna sina potenslagar, som bygger på vad "upphöjt till" egentligen betyder.

Ett alternativt sätt att illustrera det är att utveckla potenserna:
   (3²)⁴ ⋅ 3 ∕ 3⁵
      = (3 ⋅ 3)⁴ ⋅ 3 ∕ 3⁵
      = (3 ⋅ 3) (3 ⋅ 3) (3 ⋅ 3) (3 ⋅ 3) ⋅ 3 ∕ 3⁵
      = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ∕ (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3)
      = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ∕ (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3)
      = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
      = 81

Anledningen att vi en gång för alla visar generella regler för potenser är dock för att slippa liknande övningar framöver (hade varit ännu jobbigare om det t ex handlat om 3⁵⁰⁰…), så här resonerar man enklast enligt:
   (3²)⁴ ⋅ 3 ∕ 3⁵
      = 3^(2 ⋅ 4) ⋅ 3 ∕ 3⁵ = 3⁸ ⋅ 3 ∕ 3⁵
      = 3⁸⁺¹ ∕ 3⁵ = 3⁹ ∕ 3⁵
      = 3⁹⁻⁵ = 3⁴
      = 81
Nästan överdrivet utförligt skrivet, men notera hur varje ny rad använder en potensregel. I praktiken ser man svaret direkt med huvudräkning, om man har reglerna klara för sig.

Regeln du felar på gissar jag är att (aᵇ)ᶜ = aᵇ ᶜ, där du felaktigt tänker (aᵇ)ᶜ = aᵇ⁺ᶜ. Addition av potenser sker vid multiplikation av tal, men multiplikation av potenser sker vid upphöjning av tal, så att säga. Ett sätt att inse detta är att just skriva ut det så övertydligt som i första räkneexemplet ovan.