Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Stirra på

(tagen från Distance from a point to a line → Vector formulation [Wikipedia]) ett tag, och läs också vad Wikipedia har att säga (det är nästan exakt på den form du redan har, med notisen att deras n ska vara normerad).

a^2+b^2=27
a/b=16/9

a=b(16/9)
(b(16/9)^2+b^2=27
b^2*(16/9)^2+b^2=27
2b^2*(256/81)=27
b^2*(256/162)=13,5
b^2=13,5/(256/162)
b=sqr(13,5/(256/162))
b=2,92

(2,92(16/9))^2+2,92^2=35,5=/=27
2,92(16/9)/2,92=16/9

Vad har jag gjort fel? Den övre ekvationen stämmer inte.

There's your problem.

Du gör rätt som lägger ihop b^2*(16/9)^2+b^2 men du glömmer att förlänga det andra ledet, för att kunna skriva dem på samma rad ovanför bråkstrecket så måste du förlänga det med 81.

• b^2*(16/9)^2+b^2

• b^2*(256/81)+b^2

• b^2*(256/81)+81/81*b^2

• b^2*((256+81)/81)

• b^2*(337/81)=27

Dessutom dividerar du med 2 en gång för mycket två rader under den jag markerat, det skall fortfarande stå 81 (inte 162). Strikt talat skall sedan b vara b=+-sqrt(...) eftersom även ett negativt tal som kvadreras blir positivt.

Jag hänger inte med, var tar den andra b-kvadraten vägen?

Detta hade jag i åtanke när jag skrev, men just i denna uppgift kan svaret inte vara negativt (en sträcka) så jag lade inte till +-. Matematiskt inkorrekt och otydligt utan kontext, ursäkta.

Snygg bild!

Var är det du tycker b^2 försvinner? Mellan rad två och tre i min uppställning?

Bra att du tänkte på det även om du inte skrev med det, det är lätt att missa.

Mellan rad tre (här förekommer utrycket b^2 två gånger) och fyra (här endast en gång).

Nu förstår jag var den tog vägen, utmärkt bild. Tack!

Det finns två möjligheter för att andra färjan ska innehålla max en bil:

1. Det kommer 0–2 bilar första femminutersintervallet (då är kön tom efter denna avgång), sedan max en bil andra femminutersintervallet.

2. Det kommer 3 bilar första femminutersintervallet (då står en bil i kö efter denna avgång), sedan ingen bil andra femminutersintervallet.

Poissonprocessen ger dig en formel för att beräkna dessa sannolikheter.

Inkludera även gärna facits lösning i ditt svar så får andra läsare av denna tråd chans att förklara hur de räknat och klargöra vad det är du inte hänger med på.

Det följer av uppgiftsbeskrivningen. Det står 4 bilar i kö när första vänteperioden börjar. Efter fem minuter kommer en färja ta med sig maximalt 6 bilar därifrån:

• Har det inte kommit några extra bilar under denna tid så står fortfarande 4 bilar i kö — alla får plats på första färjan, kön är därefter tom.

• Har det kommit exakt 1 extra bil under denna tid så står nu 5 bilar i kö — alla får plats på första färjan, kön är därefter tom.

• Har det kommit exakt 2 extra bilar under denna tid så står nu 6 bilar i kö — alla får plats på första färjan, kön är därefter tom.

• Har det kommit exakt 3 extra bilar under denna tid så står nu 7 bilar i kö — 6 får plats på första färjan, 1 bil står därefter i kö.

Därefter börjar en ny femminutersperiod där bilar fortsätter anlända enligt given Poissonfördelning. Efter denna period vill vi ha maximalt en bil i kö. Detta kan vi få på två sätt:

• Kön var tom när perioden började (dvs något av de tre första fallen ovan), och det har kommit maximalt 1 bil.

• Det stod exakt 1 bil när perioden började (dvs det fjärde fallet ovan), och det har inte kommit några fler.

Precis, de första tre fallen i min första lista ovan är P(X ≤ 2) ("sannolikheten att antalet bilar som anländer under första perioden är mindre än eller lika med 2"). Detta ska kombineras med första fallet i andra listan, dvs P(Y ≤ 1) ("sannolikheten att antalet bilar som anländer under andra perioden är mindre än eller lika med 1"). Det fjärde fallet i min första lista är P(X = 3) ("sannolikheten att antalet bilar som anländer under första perioden är lika med 3"). Detta ska kombineras med andra fallet i andra listan, dvs P(Y = 0) ("sannolikheten att antalet bilar som anländer under andra perioden är 0").

Att det handlar om en Poissonprocess gör att vi snällt kan förenkla det betingade uttrycket P(A | X ≤ 2) ("sannolikheten att andra färjan bär max en bil givet att antalet bilar som anlände den första perioden var mindre än eller lika med 2"): eftersom Poissonprocessen karakteristiskt "saknar minne" så spelar utfallet i första perioden inte in alls på fördelningen i andra perioden.

Deras numeriska värden kommer från Poissonfördelningen. P(X ≤ 2) får de genom att addera P(X = 0), P(X = 1) och P(X = 2), osv.

• T = 110: totalt antal personer

• Kᵥ = 32: antal kvinnliga vegetarianer

• V = 57: totalt antal vegetarianer

• n = 2: antal samplingar

• A: "två vegetarianer väljs"

• B: "två kvinnor väljs".

Vi söker sannolikheten att vi har samplat n kvinnor givet att vi har samplat n vegetarianer, dvs P(B | A).

Vi vet att sambandet för sannolikheten att två separata händelser inträffar är sannolikheten för att den ena gör det, följt av att den andra gör det givet att den första inträffat, dvs
   P(A ∩ B) = P(A) P(B | A)
eller masserat
   P(B | A) = P(A ∩ B) ⁄ P(A)   (1)
vilket är uttrycket facit börjar med.

P(A), dvs "två vegetarianer väljs" (utan återläggning) får vi av Bin(V, n) ⁄ Bin(T, n) (där Bin() ger binomialkoefficienten).

P(A ∩ B) är sannolikheten för att vi vid slumpmässigt urval väljer n kvinnliga vegetarianer: Bin(Kᵥ, n) ⁄ Bin(T, n). Notera hur detta måste bero på totala populationen, inte bara kvinnor som du undrade över. "A snitt B" är alltså de utfall som delas av både A och B utav totala antalet utfall. Det är inte just detta som frågan slutligen undrar över, men vi räknar ut det för att nå vårt svar genom samband (1).

Fetstil min: notera att det inte är P(A ∪ B) ("union") du ska beräkna, utan P(A ∩ B) ("snitt").

Du har 110 människor totalt. Om man plockar två: vad är sannolikheten att man slumpmässigt har plockat 2 kvinnliga (B) vegetarianer (A)? Det är detta P(A ∩ B) betyder här.

Av de 110 i urvalsgruppen är 32 kvinnliga vegetarianer. När första personen väljs så är chansen helt enkelt 32 ⁄ 110. När den andra personen väljs är det inte mycket mer komplicerat, utöver att både urvalet och målgruppen minskat med 1, så chansen i andra valet blir 31 ⁄ 109. Totala chansen blir produkten av dessa sannolikheter, dvs
   P(A ∩ B) = (32 ⁄ 110) ⋅ (31 ⁄ 109) = 32 ⋅ 31 ⁄ (110 ⋅ 109) = Bin(32, 2) ⁄ Bin(110, 2)
Den sista likheten är ingen slump, och vanligen går man snarare från det hållet. Jag räknade "baklänges" utifrån ren intuition här för att troliggöra att beräkningssättet är korrekt.

Se även till att förstå skillnaden mellan P(A ∩ B) och vad själva frågan (b) söker, dvs P(B | A): vad är sannolikheten att man slumpmässigt har plockat 2 kvinnor givet att vi har plockat 2 vegetarianer. I det fallet har vi alltså "tjuvkikat" på de två personer vi plockat, sett att de var vegetarianer och utifrån denna nya situation med denna information tillgänglig vill vi veta vad sannolikheten är för att de även är kvinnor. Om egenskaperna är beroende av varandra så är detta inte samma sak som P(A ∩ B), där man snarare har valt två personer och ännu inte vet om de är varken kvinnor eller vegetarianer (i någon mån är definitionen på beroende händelser att just dessa två saker inte är samma sak). Detta "om" är föremålet för fråga (c).

Vilken miniräknare hade ni satsat på?

Läser Ma 3B på komvux nu för att sedan läsa företagsekonomi nästa år.

Velar mellan en Texas instruments Ti-84 plus ce-t eller en Ti nspire cx.

Vilken är bäst, och vilken skulle ni ha valt?

Casio FX-82 har allt du behöver.

Skickades från m.sweclockers.com

Håller med. Har själv en Ti-84 plus som var sjukt overkill för gymnasiet. Tyckte den var overkill under första två åren på universitetet också...

FX-82 dög genom hela min civilingenjörsutbildning. Faktum är att det bara var två eller möjligen tre kurser där vi fick ha valfri miniräknare (matematisk statistik, halvledarfysik och ev en till). I övriga kurser fick vi antingen inte ha någon miniräknare alls (t.e.x i stort sett alla matematikkurser utom matstat) eller bara typgodkänd räknare.

Formeln i fråga:

Först ser du till att dina värden är i rätt enhet (millimeter), men om vi antar det så får vi:

För att räkna ut detta stoppar vi in det i formeln, vilket ger:
   aₑ_{eff} = (299² − 270²) ⁄ (4 (299 − 80)) mm = 18.8 mm

>>> def a_e_eff(Dm, Dw, Dcap):
...     return (Dm**2 - Dw**2)/(4*(Dm - Dcap))
... 
>>> a_e_eff(299, 270, 80)
18.83675799086758

Något är galet här, den där ekvationen har bara en reell rot. Har du provat att sätta in lösningarna i ekvationen och se om likheten stämmer?

Det första vi kan göra är att försöka "nolla" parenteserna. Eftersom x = -1 gör att båda sidor är lika med 0 är det en lösning. Vidare så kan vi förkorta med (x+1) på båda sidor och får då att 9 = (x+1)^2. Om vi utvecklar parentesen får vi att 9 = x^2 + 2x +1. Samlar vi allt på samma sida fås x^2 + 2x - 8 = 0. Detta kan lösas med t.ex pq-formeln och ger då lösningarna 2 samt -4.

Vi har då fått 3 lösningar vilket vi vet är samtliga då det är en ekvation av 3de graden (den har en x^3 term innan vi har förenklat). På samma sätt kommer en andragradsekvation alltid ha 2 lösningar.

Hej! Har inte sysslat med sannolikhet på ungefär 10 år och känner mig helt kass nu inför en tenta i Beslutstödsmetoder.

Frågan lyder: När man kastar en tärning är sannolikheten för att den visar en sexa en sjättedel. Vad är sannolikheten att när man kastar fem tärningar att
(a) de fem tärningarna alla visar sexor?
Här tror jag mig förstå att svaret. Eftersom P(6)=1/6=en sjättedel. Så tar man en sjättedel ^5. Dvs (1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6)=1/7776. Sannolikheten är alltså 1/7776.
(b) minst en av tärningarna visar en sexa?
Det är här jag blir förvirrad. Det känns som att det är smidigast att börja med att räkna ut sannolikheten för noll sexor? Känns som att det bör vara: 1-(5/6^5)? Dvs 1 minus fem sjättedelar upphöjt till 5. P(Minst 6)=1-(5/6)*(5/6)*(5/6)*(5/6)*(5/6).

Tacksam för hjälp