Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Uppgiften nedan får jag till 12pi. Facit säger dock 4pi, kan någon kontrollera?

Går att räkna både via Gauss sats och direkt, vilket ger mig 12 π i (turligt nog ) båda fall.

Nu behöver jag lite mera hjälp

Jag har två uppgifter som är helt identiska. Skillnaden är att den ena är given i sfäriska kordinater och den andra i cylindriska.

Enligt facit så har den med cylinfriska kordinater en singulär punkt i origo och svaret blir 2pi.

Den sfäriska ska bli 0 enligt facit. Ska det inte bli samma svar? Varför?

Du har inte samma fält i de båda uppgifterna. ρ är inte samma sak som r, och enhetsvektorn i φ-riktning är inte samma vektor som enhetsvektorn i θ-riktning.

EDIT: När jag tänker efter så är troligen just φ och θ samma riktning för dig eftersom du läser en mattekurs. I fysiken definieras sfäriska koordinater däremot vanligen annorlunda — att fysiker och matematiker inte kommer överens här är och har varit en ständig källa till liknande tankefel genom århundraden :-). Se skillnaden på exempelvis Spherical coordinate system [Wikipedia].

Dock så har du fortfarande inte samma fält, eftersom ρ inte är samma sak som r. Fältet med en singularitet i ρ = 0 har inte bara en singularitet i origo, utan längs hela z-axeln.

I andra uppgiften är singulariteten dock bara en punkt i origo (se till att ha koll på skillnaden mellan ρ och r innan du går vidare). Här så kan du lätt "lyfta upp" den slutna kurvan förbi singulariteten och dra ihop den till en punkt samtidigt som du hela tiden stannar i definitionsmängden, och eftersom fältet är konservativt (ha koll på hur man visar detta; här exempelvis genom att se att det är rotationsfritt och definierat på en enkelt sammanhängande mängd) så blir den slutna integralen då 0.

I första uppgiften så har vi också ett rotationsfritt fält, men vi kan inte komma undan singulariteten längs hela z-axeln, dvs kurvan omsluter inte längre en enkelt sammanhängande mängd. Därför är uppgifterna inte "helt identiska".

Teorin bakom skillnaden mellan enkelt sammanhängande omslutna mängder och mängder med singulariteter är säkert förklarat mer utförligt i din mattebok, tillsammans med en härledning om var dina 2 π kommer ifrån.

Kan inte undgå att nämna att beräkningen i cylindriska koordinater i praktiken (med en massa konstanter satta till 1) är relaterad till Biot–Savarts lag för en oändlig rak ledare. Fysik och matematik i ljuv harmoni!

De förenklar nämnaren genom att utveckla parantesen:
   1 − (1 ∕ √2) (4 √2 + 3 √3) = 1 − 4 − 3 √(3 ∕ 2) = −3 − 3 √(3 ∕ 2) = −3 (1 + √(3 ∕ 2))
Intuitivt drar man ut konstanten −1 ∕ 3 och sätter den framför bråket. Förlänger man sedan med √2 i både täljare och nämnare så trillar saker ut fint, och vi får direkt formen i deras andra led.

Alla matematiskt giltiga vägar leder till Rom, så det går att göra på flera andra sätt för att förenkla, men jag har svårt att se att det finns något mer rättframt sätt.

Det är din förenklade nämnare. Förläng sedan med √2 i både täljare och nämnare. Vad blir √2 ⋅ √(3 ∕ 2)?

Förenkla först nämnaren till den form jag visade innan. Förläng sedan med √2 — dvs multiplicera med √2 i både täljare och nämnare. Nämnaren blir då
   √2 (1 + √(3 ∕ 2)) = √2 + √3
som du vill ha (fast multiplicerat med en yttre konstant), och i täljaren trillar saker samtidigt också ut fint, vilket gör att du kan förkorta bort den där konstanten och får formen i det led du frågar efter.

Tack phz, din hjälp är guldvärd!

Nu kommer jag med något som jag mistänker är lite enklare.

Det är b uppgiften jag har lite problem med.

Linje integral i cylinder kordinater. Jag har försökt att lösa den som jag skulle i vanliga kordinater d.v.s. ersätta all alla phi, rho, z till pi/4t, t^2 samt t. Derivera kurvan och sätta den den dr/dt och sedan multiplicera och integrera. Det är nog inte helt korrekt och det skulle vara bra om någon kunder förklara vad man ska göra i detta fall. Jag mistänker att skalfaktorerna ska in någonstans.

Svaret ska bli 256-1/sqrt(2) förresten.

Först och främst så kan vi se att svaret i (a) är "Ja", och just den potential du räknar ut där använder du med fördel i (b).

När du väl har tagit fram en potential för ett fält så blir det buslätt att beräkna kurvintegraler över detsamma (man kan gå så långt som att säga att detta är den generella poängen med att beräkna potentialer). Att ett fält har en potential ("⇔ är rotationsfritt ⇔ är konservativt" här, då definitionsmängden är snäll) betyder att integralen mellan två punkter är oberoende av vägen. Detta har två vanliga förenklande konsekvenser:

1. Om man ska integrera över en komplicerad kurva och vet att fältet är konservativt, utan att för den delen veta den exakta potentialen, så kan man i stället välja en väg som blir beräkningsmässigt enklare.

2. Om man vet den exakta potentialen så kan man direkt få en integral av fältet genom att bilda differensen mellan potentialens värden i slut- och startpunkten.

Notera att detta också kopplar till föregående uppgift du hade gällande att slutna kurvor alltid är 0 i vissa fält: differensen mellan slut- och startpunkt i en potential är ju då alltid 0 (eftersom de blir samma punkt i en sluten kurva).

Varför kan vi använda potentialen så? Det bygger på en generalisering av integralkalkylens fundamentalsats: en integral av en gradient av ett skalärt fält är bara differensen av det skalära fältets värde i sig i dess ändpunkter, och då gradienten av potentialen (det skalära fältet) per definition är det intressanta fältet som vill integreras här, så blir integralen av fältet samma sak som differensen mellan potentialen evaluerad i dess ändpunkter. Detta står säkert utförligare beskrivet i din lärobok. Det är egentligen samma sak som att
   ∫[från a till b]  f ′(x) dx = f(b) − f(a)
men i fler dimensioner.

Så, kortare sagt: du behöver inte ändra några koordinater eller egentligen ens integrera i (b)-uppgiften, då du redan gjort jobbet när du tagit fram potentialen i (a). I (b) är det bara att sätta in slut- och startpunkterna och bilda differensen. Se till att läsa ordentligt om detta i boken så att det sitter, för det är rätt fundamentalt för ämnet.

Ett typiskt konservativt fält är det klassiska gravitationsfältet, vilket gör att du har samma potentiella energi när du står på Kebnekaise oavsett om du åkte helikopter eller klättrade upp. Resultatet är oberoende av väg. Ett annat viktigt exempel är det elektrostatiska fältet. (Så har vi åter fått en liten fysikkoppling; sällan fel!)

Har en snabb fråga om gauss sats.

Den används ju då man har ett slutet område.

Vi säger att vi har en cylinder rho<1, 0<=phi<=2pi, 0<=z<=1 och något fält utan några singulära punkter eller så.

Cylindern är ju sluten men rho<1 d.v.s inte rho<=1. Kan jag använda gauss sats direkt eller måste jag sen ta bort det som rho=1 bidrar?

Om vi börjar med att titta på en ren volymberäkning: vad är volymen av exempelvis ett klot med radie 1, och vad är volymen av samma klot, minus sfären med radie 1 som begränsar det? Det är ju samma, eftersom sfären i sig bara är ett infinitesimalt tunt skal (en tvådimensionell krökt yta) som inte har någon volym. Så, om någon frågar efter volymen innanför den yta som begränsas av en sfär där radien går mot 1, så ser man att det inte spelar så stor roll om man tar med själva begränsningssfären eller inte då den inte ger något bidrag. Detsamma gäller generellt för just integrationsgränser (när saker är kontinuerliga).

I ditt fall med Gauss sats så säger du att du har en yta som är begränsad av ρ < 1. Du vill byta ut en fältflödesberäkning genom detta skal med en volymberäkning av fältet innanför skalet: men volymen du då ska titta på begränsas ju då också av ρ < 1. Vi kan se beräkningen som ett gränsvärde där ρ → 1⁻, och ifall fältet på ρ = 1 är kontinuerligt så ger det visserligen ingen skillnad att inkludera ρ = 1 i integralen, men skulle fältet vara diskontinuerligt just i skalet ρ = 1 så slipper vi ju det likväl då vi bara är intresserade av ytan/volymen precis innanför ρ = 1.

Annorlunda uttryckt: det finns ingen anledning att ändra integrationsgränsen till att inkludera ρ = 1 bara för att du vill beräkna en volymintegral.

Vi kan som exempel ta ett sfäriskt symmetriskt elektriskt laddat tunt skal med radie r = 1, total laddning Q ≠ 0, utan andra laddningar närvarande. För alla sfärer med r < 1 så innesluts då ingen laddning (vi är innanför det laddade skalet), och vi har alltså inget flöde genom dessa sfärer. Inte ens när vi går infinitesimalt nära skalet "inifrån" mot r = 1 (dvs r → 1⁻) så innesluter vi någon laddning. För r > 1 så innesluter vi ju dock hela skalets laddning Q, och vi får också ett flöde genom sådana ytor. Vad händer i precis r = 1? Tja, just där ballar det ur lite då fältet blir singulärt (se exempelvis vad som händer på en laddning, dvs avstånd 0, i Coulombs lag), så det är inte väldefinierat vad flödet är exakt på r = 1; man kan se att det uppstår problem direkt ifrån att gränsvärdet i volymintegralerna från insidan av skalet inte går mot samma värde som gränsvärdet från utsidan av skalet.

Så: om vi har singulariteter på skalet så behöver man hålla tungan rätt i mun gällande skillnaden mellan integrationsgränserna ρ < 1 och ρ = 1. Ifall fältet är kontinuerligt och fint så spelar det inte mycket roll (den obefintliga volym som skalet beskriver ger ändå inget bidrag till volymintegralen), men om man är intresserad av flödet ur ytan med ρ < 1 så behöver man aldrig ens blanda in fältet exakt på skalet, så det är inget problem i vilket fall. Se bara till att förutsättningarna för Gauss sats är uppfyllda innan den försöker användas.

Har en snabb fråga om en uppgift jag frågat om innan.

Facit säger att de ska bli 2pi men ska de inte bli -2pi?

Använder vi Stokes sats får vi 0 som vi sätter som L + L1. Eftersom vi har singularitet i z-axeln löser man det genom att välja enhetcirkeln, vi får 2pi som vi sätter som L1.

(L+L1) - L1 = L

D.v.s. 0 - 2pi = -2pi

???

Du får ta hänsyn till orienteringen för den inre kurvan: med- eller moturs? Det ger en skillnad i tecken.

Integrationsområdet ska ligga "till vänster" om kurvans orientering, så för den inre randen får du en kurva som är orienterad medurs, dvs i matematiskt negativ riktning. Med din notation så får du snarare att (L − L₁) + L₁ = 0 + 2π = 2π, om du ser L₁ som kurvan runt singulariteten med positiv orientering.

Din bok har säkert illustrationer över detta, och räkneexempel för hur man hanterar singulariteter, så rekommendationen är att studera det närmare, och lägga särskilt fokus på hur kurvornas orientering kommer in. Ett troligen alternativt sätt att illustrera hur orienteringen uppstår är följande:

Du vill egentligen räkna ut integralen över cirkeln som sammanfaller med yttre kurvan Γ (råkar vara cirkulär i bilden, men det spelar ingen roll), men du har en singularitet i origo, så du kan inte direkt använda dina fina satser. Du skapar då konturen i figuren, där du börjar med att gå längs yttercirkeln, men gör ett snitt någonstans, går mot origo och bildar en liten bubbla γ runt singulariteten innan du går tillbaka och fortsätter längs yttercirkeln. De horisontella delarna av integralen tar ut varandra om vi låter dem ligga kloss intill varandra (liten lucka i bilden för att visa idén, men de ska alltså ligga "på" varandra), men notera hur orienteringen för den inre kurvan γ blir medurs. Du vet enligt dina satser att ditt nya område, med origo utskuret och ett konservativt fält, ger bidrag 0, dvs ∫ Γ + ∫ γ = 0. Du vet också att en integral längs cirkeln γ precis runt singulariteten blir −2π (tecknet kommer från orienteringen!). Då har du ∫ Γ = (∫ Γ + ∫ γ) − ∫ γ = 0 − (−2π) = 2π, och vi ser igen att tecknet blev positivt, trots allt.

Enhetsanalys! Min favorit .

Vi börjar med kunskapen om att varvtalet är 3900 varv per minut, och vi vill uttrycka detta i enheten "sekunder per varv" (s ∕ varv).

Vi kan börja med att se att vi vill invertera ("vända på") enheten, dvs i stället för "varv per tid" som vi har så vill vi få ett uttryck i "tid per varv". Inverterar saker kan man här säga att man gör genom att vända på täljare och nämnare, dvs i stället för (3900 ∕ 1) varv ∕ min så får vi (1 ∕ 3900) min ∕ varv. Tydligare:
   1 ∕ (3900 varv ∕ min) = (1 ∕ 3900) min ∕ varv
Notera hur enheterna hanteras som "vanliga tal".

Nästa enhetsomvandling är att gå från enheten min ∕ varv till s ∕ varv. Vi kan omvandla minut till sekund genom att vi vet att det går 60 sekunder på en minut:
   (1 ∕ 3900) min ∕ varv ⋅ 60 s ∕ min = 60 ∕ 3900 s ∕ varv = 1 ∕ 65 s ∕ varv ≈ 0.015 s ∕ varv
Notera hur enheten kan strykas då den "finns i både täljare och nämnare", precis som om det vore ett vanligt tal. Det är ingen slump. Enhetsanalys är vansinnigt kraftfullt, och lär man sig att det går att hantera enheter som multiplikativa faktorer samt att de alltid måste stämma på båda sidor i en ekvation (samt i varje term innan sammanslagning) så har man lärt sig något som är användbart egentligen överallt, och världen ter sig mindre mystisk .

Ett annat sätt (fast egentligen precis samma) att se problemet är att tänka "Hur många sekunder måste det ta för ett varv om den hinner 3900 varv på 60 sekunder?", dvs vi har 60 sekunder som ska delas upp i 3900 delar, vilket ju ges av divisionen 60 ∕ 3900, vilket var vad vi räknade ut ovan.

Det hade gått att svara kort på frågan med bara den sista meningen, men det är bättre att se "den större bilden", så att man är med på vad som händer även i andra sammanhang. Att lära sig manipulera enheter är som sagt enormt nyttigt, inte bara på mattelektioner utan även i rent vardagliga situationer.

Det är lite samma tänk: vi har svaret i sekunder, och vill omvandla det till millisekunder. Vi behöver veta hur många millisekunder det går på en sekund — antingen kan man det "utantill", eller så ser man att den informationen ju faktiskt är en del av namnet, eftersom "milli" betyder "tusendel". Det går alltså 1000 millisekunder på en sekund, så om det tar 1 ∕ 65 sekund per varv så tar det tusen gånger så många millisekunder per varv. Vill man öva enhetsanalys som ovan så blir det:
   1 ∕ 65 s ∕ varv = 1 ∕ 65 s ∕ varv ⋅ 1000 ms ∕ s = 1000 ∕ 65 ms ∕ varv ≈ 15 ms ∕ varv
Har man gjort detta någon gång så är det lätt att direkt se att man bara multiplicerar svaret med faktorn 1000 för att omvandla sekunder till millisekunder, men kan man även "motivera" det mer stringent så är det lättare att även hantera fallet när det handlar om mer komplicerade konverteringar. Om frågan hade handlat om att exempelvis omvandla fot per minut till veckor per kilometer så hjälper det att förstå tanken med enheter och konverteringsfaktorer för att inte riskera att dribbla bort sig och göra det svårare än det egentligen är.

Som en allmän observation så är det många som säger detta bara för att de tycker att aritmetik (dvs det mekaniska räknandet) är lurigt, vilket det visserligen ofta är, men det är också många som av den anledningen får någon sorts överdriven respekt gentemot all matematik, vilket det inte finns någon anledning att ha. Det är bara att attackera de där talen, så ger de sig med tiden .