Skrivet av Kalsonger:
denna defenitionen gäller med andra ord bara roten ur och inte tredje, fjärde, femte... roten ur? (ledsen att jag frågar så mycket har bara lite svårt att förstå ibland).
Kärnan ligger i hur lösningen till exempelvis x² = 4 inte är unik, och hur det påverkar definitionen av √(). En utflykt följer för att försöka belysa detta på olika sätt, men kontentan får plats i det avslutande stycket.
För alla "jämna" rötter så får du samma problem med att ett enskilt utvärde av en jämn potens inte motsvaras av ett entydigt invärde bland de reella talen ℝ. Om vi vet att x² = 4, så kan x vara 2 eller −2. Om vi vet att x⁴ = 16, så kan x vara 2 eller −2 bland ℝ (bland de komplexa talen ℂ fungerar även ±2ⅈ). För att definiera den "inversa operationen" √x, ∜x, …, på ett entydigt sätt så inför man kriterier för att välja en lösning: i ditt fall att "kvadratroten ur" ska vara reell (∈ ℝ) och icke-negativ (≥ 0). Det är det andra kravet som gör att du måste se till att välja −a i din lösning, då det är den icke-negativa reella lösningen av √(a)² då a < 0 (om exempelvis a = −5 så blir ju √(a)² = √(−5)² = √25 = 5 = −a).
(Jag skriver "icke-negativ" i stället för "positiv" för att tydligt inkludera talet 0.)
Du kan notera att jämna positiva potenser av x ger lika många "lösningar" som potensens grad, varav två är reella som bara skiljer sig på tecknet. Exempelvis x⁸ = 256 ger alltså 2 rent reella och 6 ytterligare komplexvärda lösningar.
För ojämna potenser så har du dock egenskapen att ett visst utvärde svarar mot ett entydigt invärde (åtminstone bland de reella talen). Det gör det i någon mån enklare att definiera rotoperationen: vi väljer den lösning som är reell. Fortfarande gäller att man får lika många lösningar som potensens grad, men då bara en är reell så behöver vi inte krångla vidare. Exempelvis om x³ = −8 så vet vi direkt att x = −2 (bland ℝ; bland ℂ får vi även −1 ± ⅈ√3).
Ett sätt att se hur detta fungerar grafiskt är att rita ut lösningarna i det komplexa talplanet. Testa att titta på några potenser och se hur lösningarna sprider ut sig; exempelvis
För xᵐ = n (m ∈ ℕ) så får vi alltså m (komplexa) lösningar för x som sprider ut sig jämnt på en cirkel centrerad kring origo i det komplexa talplanet, där minst en lösning ligger på den reella axeln. Jämna m ger därmed alltid två lösningar som träffar den reella axeln, men ojämna m ger bara en reell lösning. n skalar cirkelns radie. I x = 0 sammanfaller lösningarna, men det är en sidonotis.
Det kan tyckas bli lite förvirring i nomenklatur, då man utan problem kan säga saker som "2 och −2 är rötter till x² = 4", men samtidigt så säger man entydigt att "roten ur 4 är 2". −2 är alltså en rot till ekvationen x² = 4, men inte roten ur 4. Med "en rot" så menar man generellt bara "en lösning till ekvationen" (vilket kan inkludera komplexa tal), men med "roten" så menar man "utvärdet av funktionen √()". För att den senare ens ska få kallas funktion så måste den beskriva en unik mappning från ett invärde till ett visst utvärde (om ett invärde skulle tillåtas få ha flera utvärden så har man i stället mer generellt en relation).
Det svävar lätt iväg till mer invecklade koncept, men vad man åtminstone behöver ta med sig för att lösa liknande uppgifter är att vi för "jämna" rötter måste se till att vi har en icke-negativ lösning. Därav tecknet.
Skrivet av Kalsonger:
Jag har hittat sommarmatte och har börjat gå igenom den nu jag antog att det var denna kursen du menade?
Ah, ja, när jag skrev "som jag länkade ovan" så tänkte jag internt på detta inlägg som jag nyligen skrev på forumet. Nu råkar ju detta dock ha varit i en helt annan tråd, så det kanske var lite svårt att hitta "ovan" . Där finns länkar till materialet och kortare sammanfattningar av vad det innehåller.
