Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Hej,
Lite tips. Först bör du tänka igenom vad "fröspridningen" egentligen betyder konkret. Det borde rimligtvis vara ett mått på hur många frön du har per ytenhet. Enheten bör vara frön per kvadratmeter.
Antag nu att antalet frön per kvadratmeter ges av f(x) = Ce^(kx). Hur många frön skulle du då få inom den första cirkeln med radie 1 meter ?

Hint : Dela in cirkeln många tunna "munkformade" cirkulära segment (dvs områden av samma slag som du skrivit upp i uppgiften) från centrum och utåt. I ett sådant segment är avståndet till plantan i mitten ungefär samma överallt, så frödensiteten är densamma och given av f(x), där x är radien . Detta segment har en viss area A(x), så antalet frön där blir ungefär A(x) * f(x).
Summera alla dessa delar så närmar de sig en viss integral. Integrera från 0 till 1 så får du hur många frön du skulle ha i cirkelskivan med radie 1. Resultatet kommer att bero på k och C.
Gör sedan samma sak med området 1<=x<=2. Då får du hur många frön du skulle ha i det området osv.

Nu har du dock fem områden, men bara två okända konstanter, k och C. Du kommer därför inte att kunna lösa det exakt.
Du måste hitta det k och C som ger bäst lösning i genomsnitt i någon mening. Här passar den sk minsta kvadratmetoden alldeles utmärkt.
Läs på lite om denna om du inte hört om den.

Hej,
tyvärr är det tämligen obegripligt vad du menar med detta stycke.

Har du ett flöde i två eller tre dimensioner ?
Vad menar du med 0.5m/s->2.5 m/s ?
Att flödet varierar med någon sorts tid från 0.5 till 2.5 ?
Att du har en rektangel i tre dimensioner där flödet på något sätt är större närmare mitten ?
Vad menas med från kant till mitt ? En rektangel har fyra kanter, där två sidor har samma längd och två sidor en annan.
Vad är den exakta frågeställningen ?

Det är lite svårt att hjälpa till utan att helt enkelt bara säga svaret eftersom det inte handlar om några uträkningar, utan mer om att man förstått begreppen.
5a) Du ska lägga till en ruta. En ruta har alltid samma area oavsett var du lägger den, så det kan du inte påverka.
Hur ska du lägga den så att omkretsen ökar så lite som möjligt ?

5c)
Tips : Börja med att konstruera tre punkter på en linje med samma avstånd mellan första och andra punkten som mellan andra och tredje.

6a)
Om du en cylinder har radien r och höjden h, vad är dess volym ?
Du kan uttrycka den ena variabeln med hjälp av den andre om du utnyttjar att du känner till volymen.

Fin och tydlig bild.
Dock är det fortfarande lite oklart hur flödet ser ut.

Var är strandkanten på bilden ? Är det de smala korta sidorna (de som är 0.5 x 3 meter) ?

Varifrån kommer flödet och var går det ut ? Är det tänkt att flödet kommer in i din 3x6 rektangel och går ut i den spetsformade änden ?

Är 0.5 m/s flödeshastigheten precis vid stranden = de smala korta sidorna, samt 2.5 m/s i mitten av flödet oavsett djup ?

Om vi utgår från att det jag fattat det rätt och det är som jag beskriver ovan, så har du samma ut och inflöde i din figur varje sekund.
Inflödet sker via rektangeln. Du kan räkna ut det totala inflödet per sekund genom att räkna ut inflödet från halva rektangeln och sedan dubbla svaret.
Inflödet är 0.5 m/s 0 meter från stranden och 2.5 m/s 3 meter från stranden.
Vi ska sedan ha ett linjärt samband y= kx+m som beskriver detta. sätt in x=0 så ser du att m = 0.5. Sätt sedan in x=3 så får du ekvationen 2.5 = 3k+0.5, vilket ger k= 2/3.
Det linjära sambandet blir därför y = (2/3)x+0.5, där x är avståndet från stranden. Det är precis vad du skrev så jag antar att jag förstått det rätt.
Integrera nu detta över halva rektangeln, dvs integrera mellan x=0 och x=3 och multiplicera med höjden/djupet som är 3.
Jag får det till 13.5. Dubblera detta så får du inflödet över hela rektangeln vilket blir 27.

Att 27 råkar överensstämma med volymen på figuren är bara en tillfällighet. Om tex de korta ändarna på 0.5 cm i din figur varit 10 cm istället hade din figur fått mycket större volym, men fortfarande skulle genomflödet per sekund att vara detsamma.

Inflödet beror endast på arean där flödet kommer in, dvs i din rektangel.
Skulle längden av den korta biten som är strandkanten vara 100km lång så skulle du fortfarande ha precis samma inflöde per sekund. Volymen av din figur skulle dock vara väldigt mycket större.

Sedan förstår jag inte varför du multiplicerar dina uttryck med x och 3x innanför integralen.
(2/3)x + 0.5 beskriver flödet i m/s x meter från stranden och det är detta som ska integreras.

Utflödet bör vara precis detsamma som inflödet, dvs 27 m^3/s, vilket är flödet ut från den triangelformade delen.

Ok, då förstår jag hur problemet skulle se ut. Det förklarar var de där multipliceringarna med x och 3x kommer ifrån.
Förstod det som att triangeln var hur det såg ut uppifrån.

Det jag svarade på var hur flödet per sekund ser ut genom rektangeln.
Dina uträkningar ser helt korrekta ut.

Det verkar vara lite uppvärmning inför integraler i flera variabler det ni håller på med, men jag antar att ni inte helt kommer in på det i gymnasiet. Då har man flera variabler som integreras i olika riktningar.
Skulle flödeshastigheten inte bara bero på avståndet från stranden utan även på djupet så skulle man behöva dessa integraler i flera variabler. De är väldigt användbara i praktiken och något man brukar gå igenom på grundläggande kurser på universitetet.

Det ser helt rätt ut. Facit verkar dock anta att x ska vara positivt, eftersom även x < 2/(2-pi) annars också skulle vara ok.
För att se detta skriv din olikhet som två olikheter
-pi/2 < 1-1/x och 1-1/x < pi/2.
Tag sedan specialfallet att x > 0. Vad tvingas då x vara för att första olikheten ska stämma ? Vad tvingas x vara för att den andra olikheten ska stämma ? Vad tvingas då x vara för att båda olikheterna ska stämma och att x >0 ska vara uppfyllt ?
Du bör här få x > 2/(2+pi).

Tag sedan specialfallet x < 0 för de båda olikheterna och gör samma analys.
Du bör här få x < 2/(2-pi).

Kom ihåg att olikheter byter håll när du multiplicerar eller dividerar med något negativt.

Ja, det är precis det jag menar.
Du måste dock dela in det i olika fall beroende på om x är större eller mindre än 0, eftersom det påverkar om du vänder olikheten när du multar eller dividerar med x. Det är precis som en vanlig ekvation, med tillägget att man vänder olikheten vid multiplikation eller division med något negativt.

Du behöver inte slå ihop någonting.
x får antingen vara större än 1/(pi/2+1) eller mindre än 1/(1-pi/2).

Du kan skriva det som en olikhet av formen |x-a| < b dock, där a är mittpunkten mellan 1/(1-pi/2) och 1/(pi/2+1) och b är avståndet från a till något av dessa tal, dvs
a = (1/(1-pi/2) + 1/(pi/2+1) )/2 och b = 1/(pi/2+1) - a.
Det torde dock knappast tillföra någonting.

Derivera en gång! Då får du en första ordningens differentialekvation.

Ett tips: http://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_under_the_integr...

Nja nästan rätt.

Sätt f(t)*cos(t) = g(t). Då har du följande ekvation:

f(x) + S[g(t)dt] = sin(x)

där S[blabla] är en integral över blabla från 0 till x (d.v.s. precis som i din uppgift).

Om du nu deriverar med avseende på x på båda sidorna så får du:

df(x)/dx + d/dx[S[g(t)dt]] = d/dx[sin(x)]

Ta en titt på deriveringen av integralen. Jämför med ekvationen i wiki-sidan precis under Proof of Theorem. Då ser du att du får:

d/dx[S[g(t)dt]] = g(x)

Eftersom g(t) = f(t)*cos(t) så blir g(x) = f(x)*cos(x)

Då har du nu följande första ordningens differentialekvation:

df(x)/dx + f(x)*cos(x) = cos(x)

Därefter kan du finna ett f(x) som löser ekvationen!

Den sidan är dock inte riktigt relevant här.
Det handlar inte om derivering innanför integraltecknet, utan helt enkelt bara om att derivatan av en primitiv funktion till en viss funktion är funktionen själv, dvs integralkalkylens huvudsats.
http://sv.wikipedia.org/wiki/Analysens_fundamentalsats

Integrationsgränsen i integralen i uppgiften är x så det är bara att stoppa in x i funktionen som integreras för att få derivatan av integralen.