Som förenkling på uppgift A kan du använda det dödliga vapnet att lägga till och ta bort samma sak:
x ∕ (x + 1) = (x + 1 − 1) ∕ (x + 1) = 1 − 1 ∕ (x + 1)
varpå det kanske blir mer uppenbart att integrera.
Som kontroll så skulle din föreslagna primitiva funktion deriveras enligt:
(ln(1 + x²))′ = 2x ∕ (1 + x²)
vilket alltså inte stämmer med din ursprungliga integrand. Även om det ibland kan vara lurigt att integrera så bör det vara enkelt att "kontrollderivera", och att kontrollera sina räkningar har en förmåga att rädda många tentamenspoäng…
Din uppgift B är också inkorrekt: testa återigen att derivera tillbaka den primitiva funktion du försöker med (och minns den inre derivatan) så ser du att det inte stämmer.
På tal om inre derivata så skulle du kunna lösa C klart enklare genom att notera att den inre derivatan till nämnaren (förutom en faktor 2, men sådant är lätt att kompensera med en konstant, vilket är just den faktor 1 ∕ 2 du undrar över) står i integrandens täljare: då fungerar den metod du försökte med i B. Det är inget fel på din nuvarande lösning, men det kan ofta vara värt att identifiera liknande "trick", och då det som sagt är relativt enkelt att kontrollera att en primitiv funktion stämmer så har man inte mycket att förlora.
Transformationen du gör till variabeln u i uppgift E hjälper dig egentligen inte alls — du har precis samma problem kvar gällande absolutbeloppet i integranden när du gått över till variabeln u, med skillnaden att du nu inte bryr dig om denna problematik när du tar fram primitiv funktion, glömmer att ta med ett minustecken när du sätter in dina gränser och då av en slump får rätt svar . Gör i stället som ovanstående postare föreslår och dela upp integralen i två delar; sådana uppdelningar kan man göra eftersom
∫ᵢᵏ … = ∫ᵢʲ … + ∫ⱼᵏ …
(för något j ∈ [i, k]). Du behöver hitta ett bra "j" som är precis den punkt där integrandens tecken växlar (vilket inte är 0 i just detta fall, men rättfram att se likväl) så att integranden inte växlar tecken i intervallet, varpå du kan ta bort absolutbeloppen i respektive intervall genom att kompensera med rätt tecken.
För att illustrera: om du har ett x som du vet alltid är ≤ 0 och ett y som alltid är ≥ 0 så gäller:
|x| = −x (exempel för x = −3: |−3| = −(−3) = 3, OK!
samt
|y| = +y (exempel för y = 7: |7| = +7 = 7, OK!
