Fungerar det om du kör via mobilnät istället? I sådana fall behöver det mekas i din router och det blir beroende av den om det alls kommer fungera. Är problemet bara i ditt hemnätverk så kanske det inte är värt besväret då.
Fungerar det INTE då heller är det något annat. Jag kör inte synologys egna appar men jag kan sätta upp och testa med min i sådana fall om jag kan klura ut vad som kan gå fel.
Teoretiskt kan de se allt. Innehåll, filnamn och så vidare. De kan också spara ned det och kolla på det i efterhand. Görs det en inloggning via HTTP (det låter som att det går via https i ditt fall men jag är inte helt säker..) så kan de även se ditt användarnamn och lösenord.
I praktiken så kräver det ju någon i ditt hemnätverk som vet hur man gör och är intresserad att göra det. Det kommer också behövas hårdvara som klarar av att göra detta. Men med en switch för ~500kr och en timme youtubande så kan man absolut sätta upp något som loggar och lagrar all din trafik om man nu skulle vilja det.