Matematiktråden – få hjälp med dina matematikproblem här!

En viktig poäng med vektorer är att man kan skala om dom (t.ex. 5*[1,2,3]=[5,10,15]) och att man kan addera dom ([1,2,3]+[2,3,4]=[3,5,7]). Frågan som därför blir intressant är om man startar med låt säga [1,2,3] och [1,-1,1], vilka andra vektorer kan du då få till om du bara adderar och multiplicerar? Du kan t.ex. få till [2,0,4] men inte [5,2,-3].

Det är här som ortogonalt komplement kommer in. Poäng när man säger att det ortogonal komplementet är 1\sqrt (38) *[5,2,-3] är att denna vektor är helt annorlunda. Den går inte att få till med vektorer du startade med. På samma sätt gäller att kombinationer av denna t.ex. ([5,2,-3]-(1/2435) *[-5,-2,3]) inte heller går bilda. Så när du anger en vektor för det ortogonal komplementet så ingår även alla sätt att kombinera den med sig själv. Därför är ditt svar [-5/3,-2/3,1] samma som -(3/sqrt (38))*[-5/3,-2/3,1] = 1/sqrt (38) * [5,2,-3].

I just R3-fallet är det en genväg (om man minns att kryssprodukt ger just en vektor som är ortogonal mot de två man hade), men metoden du använde är mera generell. Den fungerar till exempel även på c-uppgiften.

Jag sitter helt fast på just den här http://i.imgur.com/rRnqAhC.png

Har ni några förslag? Inga miniräknare eller så tillåtna såklart.

Försökte använda mig av additionsvinkelsatserna, men hittade inget användbart.

Hade 2 problem idag på mitt matteprov som jag inte lyckades lösa.

Den första var 3,2*x^3,2=0,9*x^0,9
Man skulle svara med 2 decimaler men en lösning är ju x=0 vilket uppenbarligen inte var vad de var ute efter. Men hur löser man den? För man kan väl varken dela med x eller ta log(x) eftersom x kan vara noll?

Den andra var 4^(4+log(x))+4^(3+log(x))=80
Jag prövade att göra så här:
1. 4^(4+log(x))+4^(3+log(x))=80
2. log(4)*(4+log(x))+log(4)*(3+log(x))=log(80)
3. 4+log(x)+3+log(x)=log(80)/log(4)
4. 2*log(x)=log(80)/log(4)-7
5. log(x)=(log(80)/log(4)-7)/2
6. x=10^((log(80)/log(4)-7)/2)) vilket blir galet.
Går det fel redan vid steg 2 eller blir det fel någon annanstans?

Så för första uppgiften: 2 fall

Fall 1. x=0
Ekvationen är uppfylld

Fall 2. x>0
Dela både höger och vänsterled med 3.2*x^0.9 . Då blir uttrycket:
x^2.3=0.9/3.2 . Det följer att x=(0.9/3.2)^(1/2.3)
Vet inte om man utan miniräknare kan beräkna x till två decimaler.

Uppgift 2:
Det stämmer inte att log (a+b) = log (a) + log (b). Steg två är fel.
Använd inte logaritmen direkt utan faktorisera.
4^(4+log(x))+4^(3+log(x))= 4^4 * 4^log (x) + 4^3 * 4^log (x) = (4^4+4^3)*4^log (x)=80

4^log (x)=e^(log (4^log (x))=e^(log(x)*log (4))=80/(4^4+4^3)

Glömde säga men med log så menade jag 10-logaritmen och inte den naturliga logaritmen. Gör man på samma sätt bara att man byter ut e mot 10?

Japp. Huvudpoängen är denna

4^(4+log(x))+4^(3+log(x))= 4^4 * 4^log (x) + 4^3 * 4^log (x) = (4^4+4^3)*4^log (x)=80

eller om du kallar 4^log(x)=a

4^(4+log(x))+4^(3+log(x))= 4^4 * a + 4^3 * a = (4^4+4^3)*a= 320*a =80
så a = 80/320 = 1/4 = 4^-1

sätt in a i 4^log(x)=a
4^-1 = 4^log(x)
Då måste det gälla att log(x)=-1 så x=0.1

Det viktiga om logaritmer är att logaritmen byter multiplikation mot addition. T.ex. log( a*b*c )= log(a) + log(b) + log(c). Räkneregler som log(a^5) = log(a*a*a*a*a) = log(a)+log(a)+log(a)+log(a)+log(a) = 5*log(a) kommer direkt från denna egenskap. Men att ta logaritmen av en summa blir ofta inte användbart.

Tack så mycket för hjälpen. Men på fråga 1 igen, så delade man båda led med 3,2*x^0,9 men visst kan man endast göra det efter att man har kollat om x=0 är en lösning? Men är det matematiskt korrekt att göra så? Det jag tänker på är t. ex ekvationen x^2=2x. Många delar bara båda led med x och får då att x=2 vilket är en lösning, men då försvinner lösningen x=0. Är det då korrekt att först kontrollera att en lösning är x=0 för att sedan dela båda leden med x för att få x=2? Eller gör man "fel" om man skulle göra så?

Som vanligt när man ser ett ekvationssystem kan man börja med att lösa det...
c0 -c1 +c2 = 0
c1 + c2 = 0

Det finns en c3 också (så du får nog införa även 's'). Sedan är man så gott som färdig med a. För att utvidga kan man hitta på vektorer som inte finns i det rum man redan beskriver (dvs. inte uppfyller ekvationerna ovan). Gram-Schmidt är bra om man vill ha en ON-bas, men då det inte verkar vara ett krav här behövs det nog inte.

Nu ändrade du dock siffrorna av någon anledning. c3 förekommer ju inte i ekvationerna, så om du hade t(-2, -1, 1) innan borde du få t(-2, -1, 1, 0), s(0, 0, 0, 1) nu...
Sedan bör man kanske multiplicera med (1, x, x^2, x^3) innan man svarar
En bas är en uppsättning basvektorer, så snarare skall du skapa en ny (utökad) bas genom att hitta nya basvektorer. Då rummet verkar ha fyra dimensioner och du har två basvektorer låter det som att du behöver två till för att kunna beskriva hela rummet.

Och man skall aldrig säga aldrig, men om ingen kräver att basen skall vara ortonormerad kan man spara lite arbete genom att inte se till att den är sådan (med till exempel Gram-Schmidt).

Aa men jag skrev upp matrisen och sen sätter jag c1=s och c2=t. Då får jag c1 = -t+s* och sen c3=0. Därför ändrades siffrorna. Så man vill bara svara med (1,x,x^2,x^3) gånger vektorerna?

Hur vet du att att rummet har fyra dimensioner? Är det inte 3 med tanke på P3?

2 saker
*Borde nog vara c0
Ett begrepp som ON-bas fungerar inte här. Du har ingen skalärprodukt vilket innebär att du kan inte hitta två polynom som har att skalärprodukten mellan de blir noll.
--------------
Med P3 menas alla polynom upp till grad 3, alltså
a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3
Fyra koefficienter här innebär att P3 har fyra dimensioner. Den har fyra frihetsgrader.

Kolla även på ditt polynom

c0 + c1*x + c2*x^2 + c3*x^3
och sätt in
c1=-c2
c0=c1-c2=2*c1
....
2*c1 + c1*x - c1*x^2 + c3*x^3
Oh kolla, 2 frihetsgrader. Detta polynom har dimension 2
Separera nu den del som tillhör c1 och den del som tillhör c3:
c3: c3*x^3
c1: 2*c1 + c1*x - c1*x^2 = c1*(2 + x - x^2)
Dessa två polynom är din bas. Genom att kombinera (2 + x - x^2) och x^3 kan du skapa vilket polynom som helst som ligger i W, vilket är vad som efterfrågas i a).
I b) frågas du expandera denna bas (2 + x - x^2), x^3 till hela P3, vilket innebär alla polynom som kan skrivas a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3. Detta innebär att du behöver fler polynom.

Polynomet 5*x^3 kan du beskriva med din bas från a) genom att sätta c1=0 och c3=5. Men du kan inte beskriva t.ex. talet 2 eller 5*x eller 19*x^2. Testa själv att lägga på några fler polynom utöver (2 + x - x^2) och x^3 och se om du kan beskriva vilket P3 polynom som helst.

Matrisen blir ju

1 -1 1 0 | 0
0  1 1 0 | 0

dvs.

1 0 2 0 | 0
0 1 1 0 | 0

så typiskt vill man väl sätta c3 (i brist på annan information) till t. Om man sedan går vidare och sätter c2 till s får man c1 = -s och c0 = -2s. Ungefär som du hade först.
P3 betyder att polynomets gradtal kan vara tre, men man har ju också c0 (grad 0 (inget x alls).

Alright då är jag med. Om jag gör som Elgot sa får jag t(0,0,0,1) och s(-1,-1,1,0)*. Borde klara b) själv nu utifrån er hjälp. Återkommer sedan annars om jag har fler frågor! Tack än så länge!

Polynomen jag tog upp var
2 + x - x^2 + 0*x^3 <=> [2,1,-1,0]
0 + 0*x + 0*x^2 + x^3 <=> [0,0,0,1]

*Denna borde därför vara [2,1,-1,0] eller [-2,-1,1,0], inte [-1,-1,1,0]

Bara en sak. Personligen tycker jag det är enkalare att se på problemet som

istället för att krångla runt med matriser. Det är t.ex. mycket lättare att se om man tänkt fel. Matriserna är ju ändå bara representationer av problemet.

Okej men om jag har c0 = -2s, c1=-s, c2=s och c3=t så borde väl det bli t(0,0,0,1) + s(-2,-1,1,0)? Som jag sen multiplicerar med (1 x x^2 x^3) så har jag ett svar på a).

Hängde inte riktigt med på din del där efter du satt in c1=-c2, vad du gör och sen varför polynomet har dimension 2 bara. Sen borde man inte svara med ett polynom och inte två delar typ?

Låt oss säga att du har två polynom, säg 2 + x - x^2 + x^3 och 2 + x - x^2 - x^3.
Kan du med dessa två polynom skapa vilket polynom som helst som ligger i W?
Med skapa innebär linjära operationer som 4*( 2 + x - x^2 + x^3 ) + 5*( 2 + x - x^2 - x^3).
Om du kan göra detta så är dina polynom en bas för W då dessa i så fall kan beskriva alla polynom i W.

Svaret på a) skulle i så fall se ut som:
2 + x - x^2 + x^3 och 2 + x - x^2 - x^3

Poängen jag försöker visa på här är linjäriteten hos problemet. Det finns oändligt många svar på a) som är helt rätt, men för detta problem råkar det visa sig att alla svar måste innehålla 2 polynom, därav dimmension 2. Uppgiften ber dig ta fram en bas, men det finns oändligt många fler.

Det är här som själva beräkningarna kommer in. Du behöver hitta en bas. Enklast är att göra enligt fölajande:

Eller om du bestämt vill kalla c2 för s och c3 för t. (allt du gör är verkligen bara att byta namn på koefficienterna)

Poängen här är att alla polynom i W kan skrivas -2*s + s*x - s*x^2 + t*x^3. Detta innebär att polynomen 2 + x - x^2 och x^3 tillsammans kan skapa alla polynom i W. Därför är "2 + x - x^2 och x^3" en bas för W.

Okej men om du fick -2*s + s*x - s*x^2 + t*x^3 där, borde inte basen bli -2 + x - x^2 + x^3?

Sen om jag har t(0,0,0,1) + s(-2,-1,1,0) - blir basen då -2 - x + x^2 och x^3? Borde det inte bli så om man kollar på matrisen?

Jag skrev fel där, har redigerat inlägget nu . Menade -s*2 - s*x + s*x^2 + t*x^3.