Uppgift i sannolikhetslära - har fått hjärnsläpp

Ritade ett diagram över alla tänkbara händelseförlopp:

Från början befinner du dig i tillstånd A₁. Därifrån kommer du gå till antingen B₁ (om den första kulan är röd) eller B₂ (om den är svart), båda med sannolikheten 1/2, vilket vi kan skriva:

P(A₁ → B₁) = 1/2
P(A₁ → B₂) = 1/2

Frågeställningen, "Hur stor är sannolikheten att den andra kulan är röd?", kan vi lika gärna formulera så: Hur stor är sannolikheten att vi börjar i A₁ och hamnar i antingen C₁ eller C₃ (de två möjliga "sluttillstånd" som innebär att den andra kulan är röd)? Vi vill alltså beräkna

P(A₁ → C₁ ∨ A₁ → C₃)

Det kan vi skriva om så:

P(A₁ → C₁ ∨ A₁ → C₃) = P(A₁ → C₁) + P(A₁ → C₃)

EDIT: Det kan vi göra eftersom det är omöjligt att vi hamnar i både C₁ och C₃.

Vardera term i högerledet är enkel att beräkna från diagrammet: Sannolikheten att vi går från A₁ till C₁ är sannolikheterna för "alla händelser som krävs för att det ska hända" multiplicerade med varandra:

P(A₁ → C₁) = P(A₁ → B₁) · P(B₁ → C₁) = 1/2 · 1/3 = 1/6

Vi beräknar P(A₁ → C₃) på samma sätt:

P(A₁ → C₃) = P(A₁ → B₂) · P(B₂ → C₃) = 1/2 · 2/3 = 2/6

Sannolikheten att den andra kulan är röd är därmed

1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2

Det låter rimligt: Tänk dig en påse som innehåller lika många röda som svarta kulor (två av varje eller hundra av varje spelar ingen roll). Om du skulle plocka ut alla kulorna ur påsen utan att titta på någon av dem, är det inte då rimligt att den sista man tar ut har exakt lika stor sannolikhet att vara röd som svart? Likaså, om du skulle hälla alla kulorna i en Keno-maskin som blandar och matar ut allt den matas med, visst borde det vara lika stor sannolikhet att den sista som rullar ut är röd som svart?

Kontentan av detta inlägg är att det är bra att rita!