Få bild på extern monitor via enbart USB-C (utan extra strömkabel)?

Du skriver ju inte vilken laptop och vilket moderkort du har, så svårt att hjälpa dig.
Men jag skulle gissa att laptopen är thunderbolt och moderkortet är USB3.
Thunderbolt kan du köra displayport över, men inte över USB.

Ehh, ditt inlägg är smått obegripligt. Till att börja med, vad menar du med att du kopplar laptopen via USB-C "och ingen annan strömkälla"? Skärmar med USB-C brukar kunna leverera tillräckligt med ström via samma kabel för att driva/ladda en laptop ja, men sedan blir det väldigt otydligt.

Det låter som att du antingen vill driva den stationära datorn med ström över USB-C från skärmen, eller tvärtom driva skärmen med ström från den stationära datorn?! Bägge alternativen skulle jag säga är helt omöjliga/osannolika. Möjligen undantaget om din skärm är typ en liten 15" eller liknande designad för att stoppas i en väska som extraskärm till en laptop…

Extremt få moderkort vad jag sett stödjer bild över USB-C. De brukar i sådana fall på bakpanelen även ha en DisplayPort ingång som det är tänkt skall kopplas till grafikkortet. De enda jag minns som faktiskt verkar ha stöd för video över USB-C direkt från intern grafik är några enstaka Gigabyte kort ur deras serie Vision D, även om det antagligen finns något flera.

Enklast är med en USB-C utgång direkt på grafikkortet vilket vissa har för koppling till VR-headset.

Vad är det för skärm? Vad är det för dator/moderkort?

Sedan för att kunna mata en annan enhet med ström så krävs USB-PD. Mest troligt har du inga portar på din stationära dator som har USB-PD. Så även om du kan få bild behöver du förmodligen en extern strömkälla till datorn.

Det är heller inte troligt att du kan få ut bild genom USB-C på ditt moderkort. Kontakten måste ha stöd för det, något jag heller inte sett på stationära datorer.

Det finns en del moderkort i t.ex. Asus CREATOR-serie som har stöd för bild via USB-C, antingen via processorns integrerade grafik eller genom att koppla ett grafikkort till en DP-ingång på moderkortet. De har dock inte USB-PD vad jag sett, i alla fall inte på samma portar som kan mata ut bild.