Jag kanske inte kan hjälpa så mycket, men det beror väl mycket på vilken skärm du har? Jag målade upp följande schema för några år sedan när jag använde två olika skärmar.
För att koppla all kringutrustning använde jag en "enkel" USB-switch motsvarande denna (https://www.inet.se/produkt/5414155/ugreen-4-portar-usb-3-0-s...) fast det var alltså inte exakt den. Jag hittar inte exakt samma modell av switch. Som dockningsstation till min bärbara borde det inte spela jättestor roll vilken du använder, jag hade en som jag "fått" från jobbet. Det viktiga är bara att kolla så den klarar rätt upplösning/hz.
<Uppladdad bildlänk>
Jag kanske inte hjälper dig så mycket, men kanske kommer du åt rätt riktning.
Edit: Om du har en nyare skärm så kan du förmodligen helt skippa docka mellan laptop och skärm. Då kan du koppla usb-switchen direkt till skärmen och få över detta, och bild/ström, via USB-C till din laptop.