Om saves ska synkas med "molnet" så behöver den kunna kommunicera med internet och något med dit lokala nätverk hindrar det. Oavsett så försvinner inget, dina saves finns kvar på hårddisken också.
Enklast är väl att testa med default inställningar på xboxen och se till att routern har vettiga dns inställningar (jag använder cloudflare och quad9 men google är väl också ok om man vill dem mer info) och att upnp är påslaget. Sen kan man köra de olika testerna på xboxen för att se så att man har Open NAT och får bra hastigheter osv.
Svårt att ge specifika tips när vi inte vet hur nätverket hos dig ser ut osv.