Matematiktråden – få hjälp med dina matematikproblem här!

Kvotregeln duger gott och väl, och det ska inte bli speciellt mycket räknande. Spana in dess definition igen. Kan du derivera täljare och nämnare var för sig så gäller det mest att hålla reda på minustecknen.

Det går fint, men du får sätta in "tre stycken" komplexkonjugerade faktorer i ditt fall: en som "konjugerar" varje existerande faktor, så att säga.

   1 ∕ (1 + ix)⁵ = [Vill bli av med imaginärdelen i nämnaren]
      [Förläng med konjugat] = (1 − ix)⁵  ∕ [ (1 + ix)⁵ (1 − ix)⁵ ] =
      [Förtydligar med potensregel för att visa varför det fungerar] = (1 − ix)⁵  ∕ [ (1 + ix) (1 − ix) ]⁵ =
      [Använd konjugatregeln i nämnaren] = (1 − ix)⁵  ∕ (1 + x²)⁵
Nu har jag blivit av med imaginärdelen i nämnaren, och jag har inte behövt anstränga mig särdeles mycket (i synnerhet inga parentesutvecklingar) trots exponenten 5.

...

x kan vara negativt, men under dina rötter så har du bara förekomster av jämna potenser av x (x², x⁴, …), vilket alltid kommer vara ≥ 0 för reella x (och de står tillsammans med en konstant +1 vilket gör uttrycken strikt > 0, så vi delar ej heller med 0 någonstans). Notera att detta inte är en slump, då ditt rottecken dyker upp när du tar absolutbeloppet av ett komplext tal och det omöjligen kan vara negativt (tänk på vilken roll kvadraterna på real- respektive imaginärdelen i denna beräkning spelar). Det man ska undvika är negativa kvantiteter under rottecken, men det har du inga här.

När du kvadrerar en ekvation och så kan det dyka upp så kallade "falska lösningar", men det är inte direkt relevant här då du inte löser en ekvation, utan bara förenklar ett uttryck.

Förenkla ditt uttryck mer och se till att du skriver dina parenteser så att din nämnare blir på avsedd form. Du kan som sagt göra någon testberäkning med något godtyckligt tillåtet värde på x för att troliggöra att du förenklat på rätt sätt: exempelvis Wolfram Alpha ger absolutbeloppet av originaluttrycket för x = −7 som √2 ∕ 364 500, och samma svar om jag bara klistrar in det förenklade uttryck du gav i ditt förra inlägg. Hade det inte stämt så hade du vetat att du varit fel ute, men stämmer det så är du troligen på rätt väg och behöver bara lösa förenklingen (där du kan fortsätta kontrollera dina steg på samma numeriska sätt, om du vill).

Att sätta in enstaka siffror kan tyckas trubbigt och är på egen hand inte nödvändigtvis fullständigt för att visa likhet, men det kan vara nyttigt att ha denna felsökningsmetod i ryggmärgen (inte minst på tentor för att snabbt kontrollera att den där trigonometriska identiteten som vore smidig att ha faktiskt är giltig…).

En annan spontan tanke är att rättningsprogrammet kanske hellre ser att du skriver (…)^(1 ∕ 2) än √(…) (och då (…)^(3 ∕ 2) hellre än √(…)³) — kan vara värt att testa ifall det fortsätter krångla, även om det matematiskt inte ska spela någon roll i detta fall.

Förstår inte svaret till en uppgift i matte 3c. Jag har en kurva som är y=x^3+x^2-2x+5 samt en sekant som går genom punkterna A(1,5) och B(2,13). Ekvationen för sekanten blir alltså 8x+3. Fråga a) var att man skulle hitta vilket x-värde som funktionen får samma lutning som sekanten, alltså 8, i intervallet 1<x<2. Den var ganska enkel, bara att derivera funktionen och få 3x^2+2x-2 och sen sätta derivatan =8. Då får man 2 lösningar varav en är utanför intervallet.

Men på fråga b) så undrar dem om det alltid finns en sådan punkt, oavsett vilket intervall man väljer. Jag trodde det var nej, eftersom derivatan för kurvan bara är 8 på två ställen och man kan enkelt hitta ett intervall där derivatan aldrig blir 8, t.ex 5<x<100, men facit säger ja och motiverar det genom att säga att det gäller alla funktioner som överallt är deriverbara och kontinuerliga. Ritar man upp grafen för 3x^2+2x-2=8 så ser man att det bara kommer att finnas två ställen som det gäller för: http://www.wolframalpha.com/input/?i=3x^2%2B2x-2%3D8. Så har facit fel eller har jag tolkat frågan fel?

Sen visade dom generellt med en figur att om grafen låg ovanför sekanten så är f´(A)>k och f'(B)<k så därför finns det någon punkt där f´(x)=k "och på liknande sätt kan vi motivera att det finns minst en sådan punkt om kurvan ligger under sekanten eller om kurvan skär sekanten mellan A och B. Beviset ligger dock utöver denna kurs."

Jag skulle säga att frågan är lite slarvigt formulerad och jag förstår att du har tolkat den som du har gjort.
Jag skulle dock gissa att de menar att ett nytt intervall medför en ny sekant baserad på intervallets ändpunkter.
Notera att punkten A ligger vid x=1 och punkten B ligger vid x=2 (ändpunkterna i intervallet) i första frågan.
Generellt gäller alltså att om du väljer två punkter på en kurva och bildar en sekant som går mellan dem så går det alltid att hitta en punkt på kurvan (mellan dessa punkter) med samma lutning som sekanten (om kurvan är kontinuerlig och deriverbar).

Har semenarie för extrapoäng till tentan i envariabelanalys imorgon och har sött på ett problem inför den sista repetitionen.

Ska hitta asymptoterna till kurvan y=(2+x^2)/x
Att hitta den vertikala, x=0 är ju inte särskillt lustigt, och inte heller att hitta eventuella horisontella genom att låta x -> +/-infinity. I detta fallet får vi inga horisontella, men däremot en sned, y=x

Hittat en litet "fusk" som säger att när variabeln i täljaren har en exponent som är 1 högre än variabeln i nämnaren får vi en sned asymptot, som då kan hittas med polynomdivision. I detta fallet har vi x^2 i täljaren, och x^1 i nämnaren och jag hittar således asymptoten y=x med hjälp av polynomdivision.

Känner att jag inte riktigt förstår och kan motivera varför asymptoten hittas på detta vis... Någon som kan hjälpa med att förklara varför, eller alternativa tillvägagångssätt? Kommer ihåg från föreläsningarna att man ska kunna se den genom att låta x -> +/- infinity, och i detta fall får jag då att y går mot +/- infinty men vet inte riktigt vad jag ska dra för slutsats av det.

Hej igen! Tror jag är den mest frekventa postaren här... Undrar vad det betyder inför tentan...

Ska integrera x/(x+1) från 0 till 1. Gör då på följande vis, och förstår allt utom varför integralen multipliceras med 1/2? Gäller alltså i första hand uppg. C, men samma fenomen uppkommer i uppgift E och jag förstår inte varför allt multipliceras med 1/2 där heller...

http://imgur.com/qlqF3JU

Tack!

För det första är lösningen på a) helt felaktig. i c) kommer 1/2 ifrån du/2=xdx

Edit: angående E) har jag inte kollat så noga, men jag hade delat upp den i två integraler en från 0->3 och en från -3->0 för att slippa absolutbeloppet och sedan löst den på sedvanligt sätt.

För det första är lösningen på a) helt felaktig. i c) kommer 1/2 ifrån du/2=xdx

Edit: angående E) har jag inte kollat så noga, men jag hade delat upp den i två integraler en från 0->3 och en från -3->0 för att slippa absolutbeloppet och sedan löst den på sedvanligt sätt.

Angående E) kan man göra det ännu enklare för sig och notera att det är en jämn integrand över ett symmetriskt intervall och det räcker därför att beräkna 2*integralen mellan 0 och 3.

Som förenkling på uppgift A kan du använda det dödliga vapnet att lägga till och ta bort samma sak:
   x ∕ (x + 1) = (x + 1 − 1) ∕ (x + 1) = 1 − 1 ∕ (x + 1)
varpå det kanske blir mer uppenbart att integrera.

Som kontroll så skulle din föreslagna primitiva funktion deriveras enligt:
   (ln(1 + x²))′ = 2x ∕ (1 + x²)
vilket alltså inte stämmer med din ursprungliga integrand. Även om det ibland kan vara lurigt att integrera så bör det vara enkelt att "kontrollderivera", och att kontrollera sina räkningar har en förmåga att rädda många tentamenspoäng…

Din uppgift B är också inkorrekt: testa återigen att derivera tillbaka den primitiva funktion du försöker med (och minns den inre derivatan) så ser du att det inte stämmer.

På tal om inre derivata så skulle du kunna lösa C klart enklare genom att notera att den inre derivatan till nämnaren (förutom en faktor 2, men sådant är lätt att kompensera med en konstant, vilket är just den faktor 1 ∕ 2 du undrar över) står i integrandens täljare: då fungerar den metod du försökte med i B. Det är inget fel på din nuvarande lösning, men det kan ofta vara värt att identifiera liknande "trick", och då det som sagt är relativt enkelt att kontrollera att en primitiv funktion stämmer så har man inte mycket att förlora.

Transformationen du gör till variabeln u i uppgift E hjälper dig egentligen inte alls — du har precis samma problem kvar gällande absolutbeloppet i integranden när du gått över till variabeln u, med skillnaden att du nu inte bryr dig om denna problematik när du tar fram primitiv funktion, glömmer att ta med ett minustecken när du sätter in dina gränser och då av en slump får rätt svar . Gör i stället som ovanstående postare föreslår och dela upp integralen i två delar; sådana uppdelningar kan man göra eftersom
   ∫ᵢᵏ … = ∫ᵢʲ … + ∫ⱼᵏ …
(för något j ∈ [i, k]). Du behöver hitta ett bra "j" som är precis den punkt där integrandens tecken växlar (vilket inte är 0 i just detta fall, men rättfram att se likväl) så att integranden inte växlar tecken i intervallet, varpå du kan ta bort absolutbeloppen i respektive intervall genom att kompensera med rätt tecken.

För att illustrera: om du har ett x som du vet alltid är ≤ 0 och ett y som alltid är ≥ 0 så gäller:
   |x| = −x   (exempel för x = −3: |−3| = −(−3) = 3, OK!
samt
   |y| = +y   (exempel för y = 7: |7| = +7 = 7, OK!