Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Jag gjorde följande beräkningar:

600^2 = 400^2 + 500^2 - (2 * 500 * 400 * cos C) => 400 000 * cos C = 160 000 + 250 000 - 360 000 =>
(410 000 - 360 000)/400 000 = 0,125 => cos^-1(0,125) = 82,6
Vinkel C = 82,6 grader

För att räkna fram vinkel B så använder jag mig utav sinussatsen:

B = (sin B / 500) = (sin 82,6 / 600) => (sin 82,6 * 500) / 600 = 0,826 => sin^-1(0,826) = 55,6
Vinkel B = 55,6 grader

Vinkel A = 180 - 82.6 - 55,6 = 41,8 grader

Så är min uträkning.

Vart har jag gjort fel?

Här:

Du får gärna förklara lite tydligare :-).

Du har nog bara läst av fel; det borde bli 82,8192

Hm, okej, det måste jag nog ha gjort.

Men är det något annat som är fel som bör påpekas? Några tips på hur jag ska tänka när jag arbetar med cosinussatsen?

Tack för hintarna än så länge

Nej, det bör bli rätt när siffrorna rättas till. Dock skulle man, om man är lat och inte orkar beräkna samtliga vinklar, kunna välja rätt vinkel direkt och klara sig med endast cosinussatsen.

Hur vet man vilken som är "rätt" vinkel?

Jag vet att man rekommenderas att räkna fram den största vinkeln, eftersom att då vet man att de övra vinklarna är spetsiga. Så stod det i boken.

Men hur vet man det egentligen? Att dom är spetsiga? Och som sagt, hur vet man vilken som är rätt vinkel?

Spontant känns det väl till exempel som att den minsta vinkeln ligger mellan de två längsta sidorna?

Tja, om man nu beräknar den största vinkeln och finner att den är 90 grader eller större delar de andra vinklarna på maximalt 90 grader och är alltså spetsiga. Och om så inte är fallet vet man alltså att den största vinkeln är spetsig, vilken medför att även de andra är spetsiga.

Lös ekvationssystemet för att hitta en linje, inför en vektor mellan en punkt på linjen och P och se sedan denna som summan av en vektor längs linjen och en vektor från linjen till P.

x₁, x₂, x₃ är basvektorer (sanning med modifikation, tänk x₁, x₂ som x och y i ett vanligt 2d-koordinatsystem) som är samma för båda planen. Ställ upp systemet:

1  2  1  |  -1
1  0 -1  |   1

så får du ut x₁ = 1 + x₃, x₂ = -1 - x₃
eller r(t) = (t, -t, t - 1) på parameterform.
Sen väljer du som sagt en punkt på linjen (stoppa in godtyckligt t i parameterformeln), beräkna vektorn, u, mellan den punkten och P. Projicera u på riktningvektorn för skärningslinjen. Längen på (u - projektionen) är avståndet mellan P och linjen (tänk rätvinklig triangel med u som hypotenusa).

Det är samma formel, tar du t=1 i din så får du punkten Q=(2, -2, 1) och med min får du samma punkt med t=2. Jag parametriserade x₁=t och du har x₃=t.
Vektorn från Q till P = (1, -4, 0) blir då u=(-1, -2, -1), om du ursäktar att jag använder samma notation för vektorer och punkter.
Projektion av u på skärningslinjen mellan planen får du av v(u|v)/(v|v) där v är rikningsvektorn för linjen och (a|b) är skalärprodukt av a och b.
v = (1, -1, 1) (som synes ur parameterformeln, eller genom krossprodukten av normalvektorerna till planen)
(u|v) = -1+2-1 = 0. Vilket betyder att u och v är ortogonala, så Q är den punkt på linjen som är närmast P, och avståendet är |u| = √((-1)²+(-2)²+(-1)²) = √6 längdenheter.

Med t=0 enligt din formel så blir Q = r(0) = (1, -1, 0)
u = P-Q = (0, -3, 0)
(u|v) = 0*1 + (-3)(-1) + 0*1 = 3, (v|v) = 3
Alltså blir projektionen (3/3)*v = v
w = u - projektionen = u - v = (0, -3, 0) - (1, -1, 1) = (-1, -2, -1)
|w| = √((-1)² + (-2)² + (-1)²) = √6 längdenheter.
Då bildar u,v,w en rätvinklig triangel mellan Q, P och punkten på linjen närmast P, och med u som hypotenusa, och w är den kortaste vektorn från linjen till P.

Förhoppningsvis fick du ut samma svar till sist, och förhoppningsvis så har jag tänkt och räknat rätt, annars får jag nog reklamera mina betyg.

Precis, det är ungefär som komposantuppdelning av vektorer, vilket du säkert har gjort i gymnasiefysiken om inte annat. Ortogonalprojektionen av u på v, P_v(u) och u - P_v(u) är ortogonala/vinkelräta och summan av dem är u, enligt definition u = P_v(u) + (u - P_v(u)) ...
Följ projektionen, sväng 90 grader och gå längst med u - proj. så kommer du fram till P.

Någon som har tips om hur man löser dessa uppgifter?

1 Bestäm matrisen A för den linjära avbildning T : R^3 ---> R^3 som definieras av att man först speglar i planet 2x - 5y + 5z = 0 och sedan projicerar ner på planet 2x + 5y + 4z = 0. (Positivt orienterat ON-system)

2 Bestäm matrisen A för den linjära avbildning T : R^3 ---> R^3 som definieras av att vektorn u först avbildas på v x u där v = (-9,2,9) och sedan speglas i planet x = z, (positivt orienterat ON-system). Bestäm också determinanten till A.

Tenta på lördag och känner att det skulle vara kul att förstå hur man löser dessa typer av uppgfiter.

Roligast är nog att byta till baser där det är lätt att spegla (se till exempel till att speglingsplanets normalvektor blir med som basvektor) och projicera och sedan byta tillbaka. Annars skulle man kunna ansätta en matris M och med hjälp av väl valda vektorer (speglingsplanets normalvektor avbildas åt motsatt håll medan vektorer i planet inte påverkas alls) lösa ekvationssystem för att beräkna elementen.

En ganska enkel metod för att lösa sådana här uppgifter brukar vara att lista ut vad 3 linjärt oberoende vektorer (u1 u2 u3) avbildas till (v1 v2 v3). Sedan kan du bara ställa upp ekvationen

A * [u1 u2 u3] = [v1 v2 v3]

och lösa ut A genom att multiplicera från vänster med [u1 u2 u3] invers. Om du väljer dina u1 u2 u3 som en ON-BAS så blir det extra enkelt för då slipper du dessutom invertera!

En bas måste ju ha lika många linjärt oberoende basvektorer som dimensioner, så med en egenvektor kan du inte bygga en bas.

Ta den egenvektorn du har, och en annan godtycklig vektor och ortonormera med Gram–Schmidt, så får du en bas med så många egenvektorer som möjligt. Sen fixar du enkelt basombytet av F.

Geometrisk tolkning av vad? Jag har ingen aning om vad för insikt de vill att man ska komma fram till.

Min tankegång var att ta fram en transformeringsmatris A1 för speglingen och en matris A2 för projiceringen. Sen köra en matrismultiplikation A2*A1 och få fram svaret. Antingen helt fel tankegång, eller massor med slarvfel...

Edit 1: Problem 1 löst. Rätt tankegång men slarvfel på aldeles för många ställen...

Edit 2: Förstår inte ens vad de frågar efter på uppgift 2. Avbildningen av u på kryssprodukten av u och v? Kryssprodukten av u och v är väl en ortogonal vektor mot u och v. Frågar de då efter en avbildning av u på en vektor? Och vad för avbildning? Jag är tamefan sämst på att tolka matematiska uppgifter.

Talserie där vi har a+ar+ar^2+...ar^n

a = 1 och r = 1/(1+x)

Serien konvergerar om -1 < r < 1 och jag ska lösa för - 1 < 1/(1+x) < 1, svaret ska vara x < -2 eller x>0 medan jag tycker det borde bli |x| > 0 ?

Hur skulle ni lösa den?

Vill du veta för vilka x

- 1 < 1/(1+x) < 1

är uppfyllt? I så fall är det bara att göra - 1 < 1/(1+x) < 1 <=> abs(1/(1+x)) < 1 <=> 1/abs(1+x) < 1 <=> 1 < abs(1+x) <=> x < -2 eller x > 0.

Jo jag förstår att man kan göra så men jag tycker det är lite märkligt att bara lyfta bort abs sådär.

Det enda jag är intresserad av egentligen borde väl vara att |(1+x)| > 1 för då kommer serien konvergera? Vilket reduceras till |x| > 0

Ärligt talat har jag rätt dålig koll på absolutbelopp vilket verkar ställa till det.

Om någon har lust att förklara varför x<-2 och x>0 är en "bättre" alt varför |x|>0 inte stämmer för att serien ska konvergera så vore det uppskattat.

|1+x| > 1 är inte samma sak som |x| > 0

I allmänhet: |a| = a om a>0, och |a| = -a om a<0
Ställ upp två fall, när 1+x > 0 och 1+x < 0.

Om 1+x > 0, så blir |1+x| = 1+x, alltså: |1+x| > 1 ⇒ 1+x > 1 ⇒ x > 0
Om 1+x < 0, så blir |1+x| = -(1+x), alltså |1+x| > 1 ⇒ -1-x > 1 ⇒ -x > 2
Alltså, |1+x| > 1 är ekvivalent med [x < -2 eller x > 0]

Hur räknar man ut den primitiva funktionen till 1/(2+x^2)? Behöver inte ha hela lösningen bara hur man börjar.

Tänkte inte på att man bara kunde dela nämnaren med 2... Tack!