Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Känner mig lite korkad här, men jag skulle behöva någon liten fingervisning om hur jag ska gå till väga för att lösa följande ekvation:
- sin(pi x) = cos (pi x)

Allmänna samband:
   sin θ = cos(π ∕ 2 − θ)
   −sin θ = sin(−θ)

Det gör att din ekvation kan skrivas:
   cos(π ∕ 2 + π x) = cos π x
Denna likhet håller dels givetvis för de x då argumenten till cosinus är identiska på båda sidor (modulo 2 π):
   π ∕ 2 + π x = π x + 2 π n
vilket inte ger någon lösning för heltals-n, men eftersom cos θ = cos(−θ) så gäller det även om:
   π ∕ 2 + π x = −π x + 2 π n
vilket ger en lösning (eller ja, en "familj" av lösningar, då vi får en lösning för varje heltals-n).

Exemplet känns tillrättalagt på ett vis som gör att jag misstänker att de vill att man alternativt ska lösa det genom direkt inspektion i enhetscirkeln. Det finns information att hämta av att titta på de fyra skärningspunkterna mellan cirkeln och "krysset" nedan, i kombination med sinus och cosinus tolkningar i relation till enhetscirkeln (enklast om man tänker i radianer):

Tack och bock! Fick något slags rätsida på det hela till slut i vart fall.

Det lättaste torde väl vara att dela båda led med cos(pi x) så att man får ekvationen tan(pi x) = -1.
Sätt u = pi*x och lös tan u = -1.

Kan du derivera faktorerna var för sig? Kan du kedjeregeln? Var fastnar du?

"Kedjeregeln" skrev jag på blind rutin, märker jag, då det brukar vara den folk frågar efter . "Produktregeln", menade jag.

   (f ⋅ g)′ = f ′ g + f g ′

Kan du alltså f ′ och g ′ så är det bara att identifiera och "fylla i" enligt ovan.

Det var ingen av de uppgifter du skrev i ditt inlägg, men det är lätt att lista ut att du menar uppgiften:
   (x³ e⁻ˣ)′ = ?
Om vi tittar på "produktregeln" så identifierar vi detta som två multiplicerade funktioner f och g, där:
   f = x³
   g = e⁻ˣ
Vi räknar ut derivatorna var för sig:
   f ′ = [derivata av polynom] = 3 x²
För g så behöver vi dock faktiskt använda just kedjeregeln (jag visste att den skulle komma! ). Derivatan av eˣ är ett "specialfall" som man får lära sig, då den avbildas på sig själv, och är just eˣ, men: här har vi en sammansatt funktion, då exponenten inte är x, utan −x. Kedjeregeln säger att vi måste lägga till en faktor med den "inre derivatan", dvs derivatan av den inre funktionen som här är −x. Vad är derivatan av −x? Jo, −1. Därav minustecknet. Alltså:
   g ′ = [derivata av exponentialfunktionen samt kedjeregeln] = e⁻ˣ ⋅ (−1) = −e⁻ˣ
(Notera att du kan se även eˣ som en "sammansatt funktion", fast där den inre derivatan ju blir bara (x)′ = 1, så (eˣ)′ = eˣ ⋅ 1 = eˣ, och allt hänger ihop fint, som sig bör.)

Insatt i produktregeln för derivata så ger detta:
   (x³ e⁻ˣ)′ = (x³)′ ⋅ e⁻ˣ + x³ ⋅ (e⁻ˣ)′ = 3 x² e⁻ˣ − x³ e⁻ˣ = (3 − x) x² e⁻ˣ

Att π kommer in och roten försvinner är en direkt konsekvens av formeln för att räkna ut en sådan rotationskropp — du har säkerligen någon genomgång av det i ditt material. Svenska Wikipedia har annars en kort sammanfattning av slutresultatet; engelska Wikipedia har en utförligare härledning (se avsnittet Disc method).

Ifall du har specifika frågor som kvarstår efter detta så är det bara att återkomma, men det är också viktigt att du lär dig att läsa ditt material och ta in vad som står där. "Lär en människa att fiska", osv.

Har ett problem

En undersökning visade att storleken hos vuxna män var normalfördelad med medelvärdet µ=42.1 och standardavikelsen o=2.4. Beräkna sannolikheten att en slumpvis vald vuxen man har skostorleken har en skostorlek på 40 & 44.

Kapitlet vi arbetar med är asymptoter och integraler så gissar mig på att man ska intergrera en funktion med integrationsgränserna 40 & 44, men hur ser funktionen ut?

MvH Tommie

Mja, menar du en skostorlek mellan 40 och 44 ?
Det blir lite lustigt att använda en normalfördelning här eftersom skostorlek bara anges i hela tal.
Dessutom kommer det då också finnas en liten positiv sannolikhet att folk har negativ skostorlek.

Men om vi igorerar ovanstående problem och låtsas att skostorleken är normalfördelad så kan vi räkna ut sannolikheten att den för en slumpvis vald person ligger mellan 40 och 44 genom att integrera täthetsfunktionen för normalfördelningen.
På Wikipedias sida om normalfördelning hittar du normalfördelningens täthetsfunktion som du ska integrera mellan 40 och 44.
http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution
Det är första formeln du ser på sidan.
Mu ska vara 42.1 och sigma ska vara din standardavvikelse.

Du kan dock glömma att finna en primitiv funktion i din integral. Denna kan inte uttryckas med sk elementära funktioner, utan för att få fram inetgralen måste du räkna med någon numerisk metod eller alternativt använda någon tabell med värden.

Titta på
   (2n)!  ∕ (2n − 2)!
Vad står det egentligen där? För att förtydliga om du har svårt att se det direkt så testa att sätta in ett tal, exempelvis n = 4:
   (2 ⋅ 4)!  ∕ (2 ⋅ 4 − 2)! = 8!  ∕ 6! = (8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) ∕ (6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1)
Enligt elementära regler för division så kan vi ju nu stryka faktorn 6 uppe och nere, faktorn 5 uppe och nere, etc., ner till 1. Alltså:
   = (8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) ∕ (6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) = 8 ⋅ 7 = 2n (2n − 1)
Jämför nu detta med det generella fallet, här upprepat:
   (2n)!  ∕ (2n − 2)!
Du ser att täljarens faktorer kommer bestå av alla heltal från 2n till 1, och nämnarens faktorer kommer bestå av alla faktorer från (2n − 2) till 1. Du kommer alltså kunna kvitta hela nämnaren mot de (2n − 2) sista faktorerna i täljaren, och allt som blir kvar är likheten de använder i sin förenkling:
   (2n)!  ∕ (2n − 2)! = 2n (2n − 1)
Dessutom hade du en extra faktor 1 ∕ 2! = 1 ∕ (2 ⋅ 1) = 1 ∕ 2 i ditt uttryck, vilket sammanfattat förklarar att:
   (2n)!  ∕ (2! (2n − 2)!) = 2n (2n − 1) ∕ 2
vilket var din fråga.

Det som är intressant är att det alltid blir de två högsta faktorerna i (2n)! som "överlever" efter att man förkortat bort (2n − 2)!. Detta behöver man inte stoppa in tal för att se, utan det var bara ett exempel för att ge en intuition gällande vad som händer. Generellt så skulle täljaren se ut som:
   (2n)! = 2n ⋅ (2n − 1) ⋅ (2n − 2) ⋅ (2n − 3) ⋅ (2n − 4) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
och nämnare skulle bli
   (2n − 2)! = (2n − 2) ⋅ (2n − 3) ⋅ (2n − 4) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Det är ju det som är fakultetsfunktionen: vi börjar på det heltal som anges, och lägger sedan till en faktor med varje nästkommande mindre heltal tills vi når 1. I andra ord så är k! "produkten av alla positiva heltal mindre än eller lika med k".

De gröna faktorerna ovan är ju likadana, och tar ut varandra under divisionen. Efter strykning ser vi alltså att:
   (2n)!  ∕ (2n − 2)! = 2n ⋅ (2n − 1)
n kan i denna formel vara vilket heltal som helst (större än 0); det är det som är poängen med att vi använder variabler och visar generella samband. Jag visade exemplet med n = 4 ovan — eftersom jag vet att formeln gäller så kan jag med säkerhet välja vilket giltigt n som helst.

Har du fortfarande svårt att se vad som händer så testa att skriva upp vad som händer för några olika n, så att du ser vad poängen var med de faktorer jag strök/färgade gröna.