Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Tack !
Kan dock förstå om inlägget verkar avskräckande på grund av sin längd.

Dock är det i matematiken värt att lägga mycket tid på att verkligen förstå vad man gör och noga gå igenom varför man gör som man gör.
Att snabbt försöka komma till nästa uppgift med minsta möjliga ansträngning och förståelse kan kännas trevligt för stunden eftersom man då kommer vidare i boken. Men vill man verkligen spara tid i längden så bör man hellre ta sig ordentlig tid att förstå saker ordentligt från början.

Hela principen som jag beskrivit i förra inlägget kan sammanfattas med följande :
Dela in definitionsmängden i intervall där derivatan har samma tecken inom varje intervall. Beräkna värdemängden för funktionen i dessa intervall separat och lägg ihop alla värdemängder på slutet.

(Jag skrev detta innan jag såg att JesperT postat sitt inlägg som förespråkar samma sak (det hade dolt sig en sida längre fram i tråden, och min uppmärksamhet var bristande). Jag väljer att posta detta likväl, då det beskriver metoden med teckenschema som i praktiken används för att lösa uppgiften, och det sällan är fel att höra saker på olika sätt.)

Exempel
   f(x) = x + 4 ∕ x
Redan här noterar vi att f inte är definierad i 0, vilket kommer vara viktigt strax. Hela resonemanget bygger också på att f är kontinuerlig på definitionsmängden (vilket alltså inte inkluderar 0), vilket har en betydelse som du redan bör vara bekant med.

Derivera
   f ′ (x) = 1 − 4 ∕ x²
Liksom f inte definierad i 0, men i övrigt kontinuerlig.

Hitta extrempunkter
Var är dessa? Enligt max- och min-satsen kan de bara finnas

• där f ′(x) = 0, dvs stationära punkter. Detta ger (vilket du redan hade räknat ut) x = ±2

• i randvärden (här är definitionsmängden ℝ∖{0}, vilket kvalitativt ger "randvärden" ±∞ om man så vill, utöver just 0)

• där f ′ inte är definierad (x = 0).

Gör teckenstudie runt potentiella extrempunkter
Vi hade hittat potentiella punkter {±2, 0}, så ett så kallat "teckenschema" kan göras enligt:

      −2     0     2
-----------------------
f'  +  0  −  ~  −  0  +
f   ↗ −4  ↘  ~  ↘  4  ↗

och relevanta gränsvärden i ändpunkter och mot odefinierade punkter är:
   f(x) → ±∞ då x → ±∞
   f(x) → ±∞ då x → 0± (dvs "mot +∞ då x går mot 0 från höger, mot −∞ då x går mot 0 från vänster")

Förklaring av teckenschemat
Översta raden är x-värden i vilka vi evaluerar f ′ och f. Det första +-tecknet på f ′-raden betyder att f ′ är positiv för x < −2 (vi behöver inte veta mer än så för ändamålet; att f ′ är kontinuerlig här säger också att den bara kan byta tecken genom att gå förbi 0, vilket gör att vi kan säga att den har samma tecken på hela intervallet). I just −2 är f ′ = 0 enligt tidigare. Mellan −2 och 0 är f ′ negativ. I 0 är den icke definierad, vilket iaf den lärobok jag hade betecknade med "~". Analogt på högra halvplanet.

Understa raden säger att f är växande i första intervallet (betecknat med "↗"), eftersom f ′ är positiv. Evaluering i −2 ger värdet −4. Därefter är funktionen avtagande ("↘") eftersom derivatan är negativ. I 0 är den inte definierad. Analogt på högra halvplanet.

Tolkning av teckenschemat
Vi ser, då x vandrar från −∞ till ∞, att f växer från −∞ och har lokalt maximum i −2 i vänstra halvplanet, för att därefter gå mot −∞ när x närmar sig 0 från vänster. I 0 är f icke definierad, och dyker upp från +∞ i högra halvplanet, har lokalt minimum i 2 och ökar därefter mot +∞ (om du inte direkt ser ur teckenschemat att funktionen beter sig här så skissa den snabbt; jämför med Wolfram Alpha).

Alltså är värdemängden, dvs de möjliga värden f kan anta:
   ]−∞, −4] ∪ [4, ∞[

På samma sätt löser du enklast de andra: undersök eventuella extrempunkter genom teckenschema och gränsvärden.

—

Extranummer
Jag gör en exempelräkning till med ditt tredje exempel på samma grunder som ovan, men med mindre "fluff" i förklaringen för att symbolisera "vanlig" praktisk uppgiftslösning med bas i teorin ovan.

Given funktion:
   f(x) = 4x² + 1 ∕ x
Notera: ej definierad i x = 0, men i övrigt kontinuerlig.

Derivera:
   f ′ (x) = 8x − 1 ∕ x²
Ej definierad i x = 0; i övrigt kontinuerlig.

Stationära punkter:
   f ′ (x) = 0 ⇒ 8x = 1 ∕ x²
Minns att x ≠ 0, så multiplikation med x² är vettigt och ger
   x³ = ⅛
med enda (reell) lösning x = ½.

Teckenschema:

       0     ½
-----------------
f'  −  ~  −  0  +
f   ↘  ~  ↘  3  ↗

Kolla gränsvärden mot ändpunkter och icke-definierade punkter:
   f(x) → +∞ då x → ±∞
   f(x) → ±∞ då x → 0±

Värdemängden är alltså hela ℝ (i vänstra halvplanet är den hela ℝ, i högra halvplanet är den [3, ∞[ ). Wolfram Alpha håller med.

Det är högst troligen så det är tänkt att ni ska göra, och så hade jag gjort i detta fall, när talen är så små. Det finns inga fel med det svaret, du ser direkt att det måste stämma utan att behöva rita upp alla möjligheter. Dock ser du ju som du säger att detta sätt inte generaliserar väl till andra, mindre gynnsamma, tal. Det finns metoder för att systematiskt räkna ut antalet möjligheter, men de kräver lite omvägar.

För att förankra denna metod, börja med att beteckna röda, vita och svarta flaggor R, V, S. Problemet med att skapa unika n-sekvenser med tvångsvillkor är analogt med att utveckla (R+V+S)ⁿ och summera alla resulterande koefficienter av RʳVᵛSˢ som uppfyller multiplicitetskraven mᵣ, mᵥ, mₛ enligt r ≤ mᵣ, v ≤ mᵥ, s ≤ mₛ.

I ditt fall är n = 3, mᵣ = 3 mᵥ = 2, mₛ = 2. I praktiken kan man helt enkelt utveckla parantesen ovan och summera koefficienterna efter att ha plockat bort i detta fall V³- och S³-termer, men räkningen i denna form är egentligen bara ett krångligare sätt att räkna alla kombinationer utan tvångsvillkor och manuellt plocka bort de som inte passar, vilket var vad du i praktiken gjorde när du räknade "3³ − 2". Det är möjligt att du ser utvecklingen som ett mer stringent sätt att visa svaret, men det är återigen en approach som fortfarande bara fungerar smidigt med gynnsamma tal, och är onödigt bökig i det generella fallet om det är mycket att "stryka".

Det finns sätt räkna ut liknande kombinationer även i komplicerade fall, men ska det göras för hand så blir det snabbt en hel del räknande likväl; det kommer man inte undan, av problemets natur. I vilket fall så kan man använda multinomialutveckling och identifiera koefficienter i dess genererande exponentialfunktion. Säger du "genererande vadå?" så är det säkerligen inte vad ni ska göra, men jag utvecklar ändå.

Du har faktiskt använt multinomialkoefficienten (7; 3, 2, 2) i första uppgiften, som beräknas enligt
   (7; 3, 2, 2) = 7! ∕ (3! 2! 2!) = 120
(notera att 3+2+2 = 7). Binomialkoefficienten är specialfallet när man bara har två tal "där nere", t ex
   (7; 2, 5) = 7! ∕ (2! 5!) = 7! ∕ (2! (7−2)!) = Bin(7, 2).

Multinomialutvecklingen ger direkt koefficienten för en viss Rʳ Vᵛ Sˢ-term i utvecklingen. Alltså ges antalet permutationer under tvångsvillkor av att summera alla multinomialkoefficienter inom dessa villkor. Återigen blir det en del räkning, men det finns en viss genväg genom att nyttja multinomialutvecklingens genererande exponentialfunktion. Då kan det direkta resultatet i praktiken hittas genom att utveckla
   n! ∏ⱼ₌₁ᵐ (∑₀^(nⱼ) xʲ ∕ j!)
vilket var rätt svårläst i unicodeform — här kommer en LaTeX-rendering ($n! \prod_{j=1}^m \sum_0^{n_j} \frac{x^j}{j!}$):
   

där m är antalet distinkta flaggor och nⱼ är multipliciteten för flagga j, och därefter identifiera koefficienten för xⁿ i högerledet, som är svaret du söker (ifall man skippar förfaktorn n! och tar hänsyn till den i identifieringssteget så räknar man i praktiken ut svaret för alla möjliga n på en gång). Beräkningen har då tagit hänsyn till tvångsvillkoren för att undvika "överräkning" av permutationer.

När man väl nått den slutliga formeln så är det rättframt att skriva upp polynomen som ska multipliceras, och därefter kvarstår bara mekanisk parantesutveckling. För att konkretisera så ska i ditt fall följande uttryck utvecklas (jag har skippat förfaktorn 3! här enligt notisen ovan):
   (1 ∕ 0! + x ∕ 1! + x² ∕ 2!)² (1 ∕ 0! + x ∕ 1! + x² ∕ 2! + x³ ∕ 3!) = (1 + x + x² ∕ 2)² (1 + x + x² ∕ 2 + x³ ∕ 6)
Låter vi Wolfram Alpha räkna (om än klart görbart för hand i detta fall; speciellt då vi bara är intresserade av en viss koefficient) så identifierar vi x³-koefficienten 25 ∕ 6, och 25 ∕ 6 ⋅ 3! = 25, vilket är svaret.

Man ser också att n = 7, vilket var första uppgiften, ger 1 ∕ 24 ⋅ 7! = 210. Man kan notera att högsta exponenten i utvecklingen är just 7, vilket är bra, då problemet inte bör ha några lösningar gällande hur vi kan välja 8 flaggor från 7 stycken (eller så kan man se det som att de är med i utvecklingen, men alla är 0). I tur och ordning fås:
   n = 0: 1 (kan välja 0 flaggor på 1 unikt sätt: dvs inte ta någon alls)
   n = 1: 3 (kan välja 1 flagga på 3 unika sätt: antingen röd, vit eller svart)
   n = 2: 9 (kan välja 2 flaggor på 9 unika sätt: helt enkelt 3² eftersom alla tvångsvillkor ≥ 2)
   n = 3: 25 (här kommer tvångsvillkoren för vit och svart flagga in och tar bort 2 möjligheter)
   n = 4: 62
   n = 5: 130
   n = 6: 210 (lustig effekt gör att detta är lika många som för n = 7; färre platser, men mindre problem med tvångsvillkoren)
   n = 7: 210 (den "enkla" multinomialtermen)

Notera att vi även kan få Wolfram Alpha att skriva ut svaret direkt, inklusive en explicit lista över alla permutationer, om vi frågar snällt.

Jag antar att du har flertalet liknande uppgifter, så jag löser denna fullt för att du ska se hela tillvägagångssättet.

Se till att du kan några basala trigonometriska samband. I detta fall behöver du exempelvis kunna:
   sin(u+v)  = cos u sin v + sin u cos v    (1)
   cos(u+v) = cos u cos v − sin u sin v    (2)
Utifrån detta kan man t ex göra enligt följande:
   sin 3x = sin(2x+x)
             = [{u = 2x; v = x} i samband (1)] = cos 2x sin x + sin 2x cos x
             = [{u = x; v = x} i samband (1) & (2)] = (cos²x − sin²x) sin x + (2cos x sin x) cos x
Förenkling ger nu svaret.

Approachen är alltså att börja nysta i uttrycken genom kända samband. Du ser att högerledet bara har argument "1 x", så använd successivt samband för att "minska trean" i vänsterledet till önskad form. På liknande sätt kan man använda samband för att minska exponenter i trigonometriska uttryck (t ex sin²u = (1−cos 2u) / 2), så du hade lika gärna kunnat börja med högerledet för att få över uttrycket till vänsterledets form (vilket är bra, eftersom de ju visats vara lika!).

—

"Hur ska man komma ihåg alla trigonometriska formler!?" — man behöver inte plugga in hela listan, men man bör lära sig tillräckligt för att enkelt kunna härleda formlerna "på plats".

Mitt favorittrick är att bara komma ihåg Eulers formel: exp(ix) = cos x + i sin x och vanliga potensregler — då behöver man knappt komma ihåg någon trigonometri alls (nåja). Har man inte sett Eulers formel eller den imaginära enheten "i" så kan man skippa detta, eller så kan man se det som ett tillfälle att lära sig .

Hur hittar jag additionsformlerna ovan? Jag utvecklar följande uttryck på två olika sätt:
   exp(i (u+v)) = [Eulers formel] = cos(u+v) + i sin(u+v)   (3)
   exp(i (u+v)) = [potensregel] = exp(i u) exp(i v)
                    = [Eulers formel] = (cos u + i sin u)(cos v + i sin(v)
                    = [utveckla paranteser] = cos u cos v − sin u sin v + i (cos u sin v + sin u cos v)   (4)
Men (3) och (4) ska ju vara lika; tittar vi på real- och imaginärdelarna var för sig så får vi:
   cos(u+v) = cos u cos v − sin u sin v
   sin(u+v)  = cos u sin v + sin u cos v
vilket var just formlerna (1) & (2). Detta kunde jag bevisligen använda för att lösa uppgiften.

Men jag skulle också direkt kunna inse att:
   exp(i 3u) = [Eulers formel] = cos 3u + i sin 3u   (5)
   exp(i 3u) = [potensregel] = (exp(i u))³
                = [Eulers formel] = (cos u + i sin u)³
                = [utveckla paranteser] = cos³u + 3i cos²u sin u − 3 cos u sin²u − i sin³u   (6)
(5) och (6) är enligt konstruktion lika. Tittar vi på imaginärdelen så får vi:
   sin 3u = (3 cos²u − sin²u) sin u
och se och häpna, vi har åter visat likheten i uppgiften! Vi behövde alltså egentligen bara kunna Eulers formel och en enkel potensregel, samt kunna identifiera real- och imaginärdelar av ett uttryck.

Man kan ligga sömnlös på nätterna och häpna över att Eulers formel stämmer och vad den implicerar angående periodiska funktioner och dess koppling till trigonometri. Den binder ihop olika områden inom matematiken och omvärlden på ett fantastiskt sätt.

Du saknar en parantes, om du jämför med min tidigare beräkning. Du ska ha:
   2 sin x cos²x + (cos²x−sin²x) sin x

Nu ska du bara skriva detta på enklaste form, eller om man så vill: försöka skriva det på formen som svaret är. Svaret ges på formen "(någonting) sin x" — så skriv du vad du har på denna form och hoppas att det stämmer.

Du får hålla bättre koll på paranteser, tror jag. Här har du skrivit
   tan x ∕ 2 = sin x ∕ ((2cos²x) ∕ 2) = sin x ∕ cos²x
Är det meningen? Tvåorna bara tar ut varandra så som det står nu, och det är inget generellt samband.

Jag antar att du menar
   tan x ∕ 2 = sin x ∕ 2 cos²(x ∕ 2)

Riktlinjen är samma som tidigare: försök få argumenten i båda leden på samma form. Du ser att alla argument är x ∕ 2 förutom i högerledets täljare där det är x. Vilken trigonometrisk identitet kan du använda för att få sin x uttryckt i funktioner med argument x ∕ 2, dvs halva vinkeln?

Ja,
   

för att vara överdrivet tydliga .

Är det någon som känner till något bra gratisprogram för att plotta data ?
Skulle gärna vilja kunna plotta både 2D och 3D grafer från givna datapunkter och få en interpolerad kurva eller yta.

Det verkar alltid vara något strul med alla program jag testar. Antingen startar de inte, eller så stöder det inte interpoleringen av punkterna, eller så är det uberkomplicerat att förstå hur det används.
Finns det verkligen ingen simpelt och lättanvänt program som klarar uppgiften ?

Edit : Scilab verkar vara ett rätt trevligt Matlabliknande gratisprogram som verkar uppfylla mina önskemål.
Dock krävs en del utredande hur syntaxen ser ut, men det borde vara görbart..

Vad är problemet med matlab? Bör starta, stöder väl interpolering och kan inte tänka mig det klassas som überkomplicerat heller.

Problemet med Matlab är väl att det är långt ifrån gratis.

Tillbaks till frågan. De som brukar nämnas som alternativ är ju Octave (http://www.gnu.org/software/octave/) som ska vara i princip identisk med Matlab. Sen är det väldigt många som föredrar Numpy och Scipy (http://www.scipy.org/). Har aldrig testat men om man har lite koll på Python borde det vara en smidig lösning.

Slänger in en kurvboll med ROOT, som är standardramverket på Cern sedan några år tillbaka. Oerhört kompetent på att käka mätdata, och kan plotta det mesta på de flesta sätt, men syntax och gränssnitt får en lätt att bli olycklig. I praktiken så jobbar man mot en interaktiv C++-tolk. Långt ifrån ett naturligt val, men iaf ytterligare ett alternativ .

Vad gäller plottning så har jag personligen främst använt Matlab och Mathematica, men gratis är de ju inte. Zotamedus tips om Octave är nog det mest naturliga, och en naturlig analog till Matlab. På samma sätt så är den naturliga fria analogen till Mathematica programmet Maxima. Jag vet flera personer på doktorandnivå som exklusivt använder det istf Mathematica idag. Ett av de största problemen med Maxima är det högst osmidiga programnamnet, som gör det till en konst att söka upp information på nätet (detsamma kan vi lugnt säga om ROOT…).

Sage är ett projekt som är tänkt att kombinera många öppna mjukvaror till ett enhetligt gränssnitt. Jag har bara tittat på enkla tutorials och inte gjort något "vettigt" i programmet, men det kanske passar någon bättre.

Tack för tipsen !
Octave låter ju precis som vad jag letar efter.
Att installera verkar lite bökigt bara. Det finns ingen installer eller så, utan några rader om vilka filer man behöver och var man ska lägga dem etc.
Sådant brukar för mig nästan alltid sluta med att det saknas något okänt, något är fel och programmet inte startar...
Men ska iallafall ge det en chans. Väl värt det om det funkar. Kan ju, om inte annat, återkomma med frågor...

Angående Matlab så är det ju precis som Zotamendu skriver att det är långt ifrån gratis. Jag är inte heller student så jag kan inte köpa någon studentversion och då blir det ännu dyrare.

Edit : Lyckades hitta en färdig installer till Ocatve och starta det.
Dock verkar det det terminalfönstret minst sagt klumpigt att jobba med. Skulle föredra någon vettig editor istället.

Lyckades skapa en vektor enligt en tutorial. När jag sedan skrev vektornnamnet för att se på den kom en del av vektorn upp och man fick trycka på en knapp för att fortsätta. Dock kunde jag aldrig återvända till kommandoraden igen. Vektorn bara visades om och om igen. Till sist hängde sig Octave.
Scilab har isåfall ett mycket bättre användargränssnitt.
Dock antar jag att det finns vettiga editorer till Octave eftersom så många ändå använder programmet.

Så långt rätt (så länge variabeln inte har en negativ faktor).

Vad innebär "förskjuts π ∕ 4 åt vänster" generellt? Du kan illustrera detta genom att välja ett speciellt argument (om vi har sin ξ så är ξ argumentet till sinusfunktionen), t ex 0. Om du skriver "sin x" så är argumentet 0 när x = 0, enkelt och bra. Men om du skriver "sin(x + π ∕ 4)" så är ju argumentet inte 0 när x = 0, utan argumentet är 0 när x + π ∕ 4 = 0, och detta sker ju precis när x = −π ∕ 4.

Om du tänker på detta i termer av en graf så ser du att sin(x + π ∕ 4) hela tiden måste "släpa efter" med just π ∕ 4 för alla argument, vilket är vad du säger.

Men: variabeln är ju i ditt exempel inte på formen x, utan på formen 2x. Om vi åter tittar på beräkningen för hur mycket grafen kommer släpa så ser vi att sin 2x har argument 0 när x = 0 som innan, men att sin(2x + π ∕ 4) får argumentet 0 när 2x + π ∕ 4 = 0, och löser du denna enkla ekvation så ser du ju att detta sker när x = −π ∕ 8. Alltså släpar grafen till sin(2x + π ∕ 4) efter med π ∕ 8 jfr m grafen till sin 2x i just den speciella punkten x = 0 för den senare grafen, och du kan på samma sätt se att den kommer släpa med samma avstånd för alla argument.

Man kan även uttrycka skillnaden mellan fallen x och 2x som att 2x rör sig dubbelt så snabbt som x, och därför kommer den snabbare "ta in" fasskillnaden. Det kan låta abstrakt i dessa ord, men ritar du/ser ett par kurvor så kommer det säkert falla sig naturligt.

Så ja, man kan säga att man "multiplicerar 2:an med det som står i nämnaren", men utan att förstå varför så är det bara nonsensord. När man förstår varför så kan man sedan direkt göra denna beräkning med vetskapen om att den är rätt där den gäller.

Senare versioner kommer med inbyggt (matlabliknande) gui, men de kräver typiskt att man kompilerar själv (vilket brukar vara plågsamt under windows).

Helt rätt: tan θ är inte definierad för θ = π ∕ 2 + nπ. Det ser man nog snabbt genom att tan θ = sin θ ∕ cos θ, att cos θ = 0 för dessa värden och vi inte får dela med 0.

Vad är det du delar med "3"? Det är argumentet till tangensfunktionen som ska överensstämma med punkterna du tog fram tidigare. Att uttrycket var "3 tan(…)" gör bara att amplituden blir 3 gånger större, men det spelar inte in på var den är definierad eller ej. Titta på graferna för tan x och 3 tan x — notera att de har samma nollställen och samma icke-definierade punkter, men att den senare funktionen ständigt är tre gånger större än den första.

För icke-definierade punkter får du följande ekvation, från kravet att argumentet ska vara lika med tangensfunktionens icke-definierade punkter:
   2x − 30° = π/2 + nπ, n = 0, ±1, ±2, …
Enklast löser du den genom att flytta över 30° till högerledet och dela båda led med 2. Högerledet kan du sedan förenkla genom att, som du föreslog, skriva 30° i radianer och faktorisera på ett behagligt sätt. Du hade även kunnat skriva kravet för tangensfunktionens icke-definierade punkter i grader, dvs att argumentet ska vara 90° + n ⋅ 180°, för att få ett svar i grader direkt. Radianer är dock naturligare, och det är lätt att omvandla.

180° är π radianer, så 30° = 180° ∕ 6 = π ∕ 6 radianer. På samma sätt som du skrev π ∕ 2 i villkoret för icke-definierade punkter så anger man som regel radianer som fraktioner av π.

Man får direkt exempelvis:
 360° = 2π
 270° = 3π ∕ 2
 180° = π
   90° = π ∕ 2
   60° = π ∕ 3
   45° = π ∕ 4
   30° = π ∕ 6
   15° = π ∕ 12
osv, vilket man sedan kan kombinera bäst man behagar.