Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Var ett tag sedan jag gjorde detta, men gjorde ett försök:

Bryt ut sqrt(n):

sqrt(n) * sqrt(1 / n + 2) - 3
/
sqrt(n) - 2

=

(separera "-3" och dela med sqrt(n) i täljare och nämnare i första uttrycket):

sqrt(1 / n + 2) (går mot roten ur 2)
/
1 - (2 / sqrt(n)) (går mot 1)

-

3 / (sqrt(n) - 2) (går mot noll)

Svar: sqrt(2)

Är det rätt?

Blev frågad idag varför man får ett plus när man gångar ihop två minus tal. Har ingen aning om hur man kan förklara det på ett sätt som man kan demonstrera i verkligheten. Går det ens? Hur lyder förklaringen till varför (-1)x(-1)=1??

Det följer av den distributiva lagen (dvs räknelagen som säger att a*(b+c) = a*b+a*c) och det faktum att alla tal gånger 1 är lika med talet självt :

0 = (1+ (-1))^2 = 1^2+1*(-1)+(-1)*1+(-1)^2 = 1-1-1+(-1)^2 = -1 + (-1)^2
, vilket ger att (-1)^2 = 1.

Hej !

Har inte riktigt tid att skriva ut hela lösningen i detalj just nu, blir rätt mycket pill, men jag kan ju ge lite hintar :

Använd först villkor (4) på din lösning X(x)*T(t). Det ger dig att X'(0)=0., vilket i sin tur medför att din konstant C måste vara 0

Använd sedan villkor (2) på din lösning X(x)*T(t). Det ger att X(l)=0 (lilla L som argument) och att cos(roten ur(lambda)*l)=0.
Det ger dig alla tänkbara egenvärden lambda för problemet.
För varje egenvärde lambda får du en lösning X_{lambda}(x) = cos(roten ur(lambda)x).
För varje av dessa lambda kan du lösa ekvationen
T' + aλT = 0 och få en lösning T_{lambda}(t) = exp(-a*lambda*t)

För varje lambda får du då en lösning u_{lambda}(x,t) = X_{lambda}(x)*T_{lambda}(t) som är produkten av lösningarna ovan.

Alla linjärkombinationer av dessa är då också en lösning och du kan bilda summan över alla lambda av a_{lambda}*X_{lambda}(x)*T_{lambda}(t),
där a_{lambda} är koefficienter som får väljas fritt.
Detta är din generella lösning u(x,t) för problemet där vi ännu inte tagit hänsyn till villkor (3).
Koefficienterna ska sedan anpassas så att det tredje villkoret (3) blir uppfyllt genom att räkna ut vad fourierkoefficienterna a_{lambda} blir.

Lambdafunktionen i ditt villkor (3) är ingen riktig funktion, utan en sk distribution. Här kan man tänka sig den som en funktion som är 0 överallt utom i l/2, där den är oändlig, men dess integral är lika med ett.

Hmm, det här svaret kanske rörde till det mer än det hjälpte. Får återkomma med mer detaljer i Latex om det behövs...

Ok, påbörjar lösning i Latex. Fyller ut efter hand.
Du har ansatt u(x) = X(x)*T(t), som mycket riktigt leder till ekvationerna

och

Den förstnämnda ekvationen har, som du skriver, lösningen

Ditt villkor (4) ger nu

Vi har att

så

Nu kollar vi på villkor (2) som ger

Det ger

Nu har du dina egenvärden :

(n=0,1,...)

För varje av dessa ska vi nu lösa ekvationen för T. Den generella lösningen är

Alltså har vi för varje egenvärde en lösning

Alla linjärkombinationer av sådana lösningar för olika lambda är åter lösningar, så den oändliga summan

bör också vara en lösning (där koefficienterna a_n ännu är obestämda). (Man måste egentligen vara mer rigorös när man går över till oändliga summor istället för ändliga linjärkombinationer, men det lämnar vi för tillfället.)
Nu kommer det sista villkor in i leken.

Vi vet att

För att få ut a_i:na så gör vi som vanligt med Fourierserier. Multiplicera båda led med basfunktionen som motsvarar något fixt egenvärde, säg

och integrera båda led över det gällande intervallet [0,l].
Vi får (efter att ha flyttat in integrationen i summan (vilket egentligen måste motiveras varför det är tillåtet, men strunt i det nu..)).

Orkar inte slutföra just nu, måste gå och lägga mig, men på vänster sida använder du de trigonometriska produktformlerna för att skriva om cosinusprodukten som en summa som du sedan kan integrera. Alla termer lär bli noll utom en om du gör rätt, så att du får a_m*någon konstant.
Efter att du räknat ut höger led så kan du sedan få fram a_m.

Höger led kanske är lite förvirrande, men blir helt enkelt

dvs A gånger värdet av

i punkten l/2.
Man kan tänka sig det som att när man integrerar så är allt noll förutom i nämnda punkt där det ligger en enhetsmassa.
Integralen blir därför funktionsvärdet av den andra funktionen.

Ok, god natt..hoppas att jag inte gjort alltför mycket slarvfel, men jag hoppas att principen framgår.

Hur mycket ger det i ränta:

7000kr
Ränta 2,65%
Bindningstid 3 mån

Fast ränteplacering typ?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%287000+*+1.0265%5E1+-+7...
Det är hur mycket du borde få efter tre månader. Sedan ska man väl skatta på det också om jag minns rätt?

Då skriver man lämpligen om det som

(x+2)^(x+1) = e^ln((x+2)^(x+1)) = e^((x+1)*ln(x+2))

innan man börjar. Sedan deriverar man som vanligt med kedjeregeln och produktregeln.

Det var inte svaret jag skrev, utan hur man bör skriva om funktionen innan man börjar derivera.
Problemet med funktionen (x+2)^(x+1) är att inga av deriveringsreglerna kan tillämpas utan att man skriver om den på något sätt.
Deriverar du funktionen efter omskrivningen jag gjorde så kommer du att få rätt svar.
Sedan kan man skriva om svaret man får på olika sätt (tex så att e försvinner genom att utnyttja att e^ln (massa krafs) = massa krafs)

Deriverar du e^((x+1)*ln(x+2)) med kedjeregeln så får du
e^((x+1)*ln(x+2)) * (inre derivatan = derivatan av exponenten) = (enligt produktregeln) (ln(x+2)+(x+1)/(x+2))* e^((x+1)*ln(x+2))
= (ln(x+2)+(x+1)/(x+2))* e^(ln(x+2)^(x+1)) = (ln(x+2)+(x+1)/(x+2))*(x+2)^(x+1)

Hur ser jag lättast att det här uttrycket stämmer?
Det är sista steget i en ML-skattning.