Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Här finns beskrivet allmänna metoder att lösa andra-, tredje- och fjärdegradsekvationen:
http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html

Femtegradsekvationen och högre kan inte lösas allmänt, vilket bevisades i början av 1800-talet... läs mer här (att bevisa detta är rätt så svårt):
http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html

Detta visas t.ex. i Gunnar Blom, Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar, bok C

Orkar inte dra upp beviset här...

Jag har problem med att hitta alla lösningar till ett par tal:

Sin(x)*Cos(x)=-1/2

Där verkar det ju jättelätt att bara gångra båda leden med 2 och använda formeln för dubbla vinkeln men då vår jag bara ut lösningen x=135+n*180 men jag vet att det ska finnas en till (315). Hur räknar jag ut den?

Samma sak på ett annat tal:

Sin(2X)-Cos(X)=0

Jag antar att felet jag gör är att förkorta bort Cos(X) i båda ekvationerna men jag kommer inte på hur jag ska göra annars.

Du har ju kommit fram till att x=135+n*180. Sätter vi n=1 får vi x=135+180=315. Nu är det inte bara dessa två lösningar som finns utan n kan ju anta vilket heltal som helst.

Tal 2:
Sin(2X)-Cos(X)=0
2sin(x)*cos(x)-cos(x) = 0
cos(x) * (2sin(x)-1) = 0

Fall 1:
cos(x) = 0
x = +-90 + n*360

Fall 2:
2sin(x)-1 = 0
sin(x) = 1/2
x = 30 + n*360
eller
x = 180-30 + n*360 = 150 + n*360

Gradertecken saknas i lösningen då jag inte hittade det på tangentbordet.

° --> alt+0176

Ett av de få specialtecken jag kommer ihåg.

Nej, självklart inte, det hoppas jag att jag inte skrivit heller.

Jag skrev att:
om a+b<=c så är
a^a*b^b = c^c >= (a+b)^(a+b) >= a^(a+b)*b^(a+b) > a^a*b^b
vilket utesluter att a+b<=c

Jag förstår inte hur du drar slutsatsen att a inte kan dela c.

Det var ju ganska lätt egentligen Tack så mycket.

Ok, tack. Finns det nån sida på nätet där alla sifferkombinationer för de olika tecknen finns uppskrivna?

Vad är bruteforce?

Fan vilken bra tråd... snart kommer mina matteproblem ramla in här

kan någon vänlig själ förklara vad som menas med
"vinkeln mellan vektorn u och v"

tackar så mycket, nu fattar jag
asbra tråd detta

Sin^2(x)+3Cos^2(x)=3-Sin(x)

Det talet har också flera svar som jag inte lyckas räkna ut. Det är ju lätt att se att den ena lösningen är 0 men hur räknar jag ut det?

Sin^2(x)+3Cos^2(x)=3-Sin(x)
(sin^2(x)+cos^2(x))+2cos^2(x)=3-sin(x)
1+2cos^2(x)=3-sin(x)
2(1-sin^2(x))+sin(x)=2
sin^2(x)-1/2sin(x)=0

sin(x)=1/4+-sqrt(1/16)=1/4+-1/4 = 1/2 eller 0

sin^2(x)+3cos^2(x)=3-sin(x)
sin^2(x)+3cos^2(x)+sin(x)=3
1+2cos^2(x)+sin(x)=3
2cos^2(x)+sin(x)=2
2(1-sin^2(x))+sin(x)=2
-2sin^2(x)+sin(x)=0
2sin^2(x)-sin(x)=0
sin(x)(2sin(x)-1)=0

sin(x)=0 eller sin(x)=1/2

Resten borde du klara själv.

edit: Jag var visst inte först.

Antingen: Start->Program->Tillbehör->Teckenuppsättning
eller: Start->Program->Tillbehör->Systemverktyg->Teckenupsättning (beror på vilket OS du har)

Eller (fungerar på alla Windowsversioner):
Start->Kör: charmap

Sen väljer du ett tecken och ser tangentkombinationen nere i högra hörnet.

Är det någon som är bra på statistik och normalfördelning m.m.?

Om man tar ett stickprov på n antal ur en normalfördelad population då blir standardavvikelsen i det stickprovet σ/√n. Kan nån förklara varför det blir så? Jag tror jag förstår principen att det är större chans att få ett värde närmare mitten (vilket leder till lägre std.avv.) men om n går mot hela populationens storlek borde inte då standardavvikelsen i stickprovet (som är lika stor som populationen) vara lika med populationens standardavvikelse?

Säg att vi tar ett stickprov av storlek n. Då har vi ju n stokastiska variabler; X1, X2, ... , Xn, där varje Xi är normalfördelat med standardavvikelsen som gäller för populationen, dvs σ.
Variansen, V[Xi] är alltså σ².

Vi intresserar oss för stickprovets medelvärde 1/n*summa(Xi, i=1..n). (Detta är också en stokastisk variabel.)

Man har, om alla Xi är oberoende, att V[1/n*summa(Xi, i=1..n)] = 1/n²*V[summa(Xi, i=1..n)] = 1/n²*summa(V[Xi], i=1..n) = σ²/n.
(Har använt att V[aX]=a²*V[X] samt en generalisering av att V[X+Y]=V[X]+V[Y] om X, Y oberoende)

Variansen för medelvärdet är alltså σ²/n, dvs standardavvikelsen är σ/√n.

Det som detta säger är att ju större stickprov vi väljer, desto mindre avviker stickprovets medelvärde från väntevärdet i populationen.

Notera att denna uträkning gäller med vilken fördelning som helst med standardavvikelse σ. Det måste inte vara normalfördelning.

Ja.. det där får man lära sig i en grundläggande kurs i sannolikhetslära/statistik på universitet/högskola.

Tack så mycket för "hjälpen"! Närå, du vet ju vad du pratar om men det går lite över mitt huvud så att säga. Har läst några veckor statistik (30 timmar aktiv tid kanske) och har inte lyckats sätta mig in i allt (förutom att jag tryckt in några formler).

Stokastisk variabel? Väntevärde?

Man har alltså bara använt matematiska regler för att få σ²/n --> σ/√n? Alltså a²/x = a/√x, korrekt?

En stokastisk variabel är ett tal som bestäms av utfallet av ett "slumpmässigt" försök. T.ex. det antal prickar man får på ett tärningskast, eller den längd man mäter upp på en slumpvis vald person i en population.

Ett väntevärde för en stokastisk variabel är summan av varje möjligt utfall gånger dess respektive sannolikhet. Om t.ex. sannolikheten är 1/6 att slå vilket tal som helst på en tärning blir väntevärdet för ett tärningsslag 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6 = 3,5

Om man har en kontinuerlig fördelning (som normalfördelningen) måste väntevärde definieras via en integral med hjälp av fördelningens täthetsfunktion.

Variansen V[X] för den stokastiska variablen X, är väntevärdet av (X-my)², om my är väntevärdet av X. Dvs om X ofta avviker mycket från my blir variansen stor.

Standardavvikelse (för en stokastisk variabel) definieras som roten ur variansen.

Om du flera gånger gör om försöket att ta medelvärdet från ett stickprov av storlek n, så kommer ju medelvärdet variera mindre och mindre från försök till försök, ju större n du väljer. Förstår du nu att variansen/standardavvikelsen minskar om man tar ett större stickprov?

Du skriver "standardavvikelsen i stickprovet" vilket förmodligen förleder dig, för det är inte i det här fallet stickprovets standardavvikelse som åsyftas, utan standardavvikelsen hos den stokastiska variabel som utgörs av medelvärdet hos ett stickprov.

Man måste särskilja standardavvikelse för en stokastisk variabel och standardavvikelse i en datamängd. Med standardavvikelsen i en datamängd menar man i allmänhet sqrt(Q/(n-1)), där Q är kvadratsumman kring medelvärdet i datamängden. Denna standardavvikelse kan man ju dock inte räkna ut förrän man har gjort stickprovet, och värdet man får kommer ju variera från gång till gång. (Denna standardavvikelse blir också en stokastisk variabel när man har ett stickprov, och den studeras ofta i statistikteorin.)

Jag förstår att medelvärdet kommer minska i stickprovet jämfört med populationen med ökat n, ja. Men std.avv./variansen minskar alltså bara i stickprovet i förhållande till populationen, eller?

Nej, det är medelvärdets standardavvikelse som minskar med ökat n.

Och blanda inte ihop detta med standardavvikelsen i stickprovet, läs min editering i föregående post.
Standardavvikelsen i ett stickprov kommer för alla n (större än 1) att hamna kring sigma.

Det man gör om man vill har en stokastisk variabel med okänd standardavvikelse och vill (upp)skatta standardavvikelsen, är att ta ett stickprov, och skatta den stokastiska variabels standardavvikelse med standardavvikelsen i stickprovet. Du har rätt på det viset att när man tar ett väldigt stort stickprov så kommer stickprovets standardavvikelse hamna nära standardavvikelsen hos den stokastiska variabeln.

Än en gång, blanda nu inte ihop detta med standardavvikelsen hos medelvärdet! Denna minskar!

Så standardavvikelsen i stickprovet kommer gå mot sigma (dvs std.avv. i pop.) med ökat n?

En annan sak, har du nån enkel tumregel för när man ska använda Zα och Zα/2? Ibland blandar jag ihop vilken man ska använda...

Riktigt! (Eller mer korrekt: standardavvikelsen hos den stokastiska variabel som utgörs av standardavvikelsen i stickprovet, kommer gå mot noll då n går mot oändligheten. Hängde du med?)

Förstår inte din andra fråga.