Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

2x/sqrt(3x^2 + 1)=2x/(sqrt(3 + 1/x^2)*|x|)=-2/sqrt(3) när x går mot minus oändligheten.

Generellt är väl tipset att börja med att försöka identifiera vad problemet är. De gränsvärden som är intressanta att räkna på är ofta de som går mot en till synes odefinierad punkt (exempelvis där något "blir oändligt" eller "delas med noll") — varför går uttrycket åt skogen i denna punkt? Har man ett andragradsuttryck i nämnaren så kan man bryta ut den rot som är problematisk och försöka förkorta bort den. Att se till att bara ha positiva potenser kvar när variabeln går mot 0 och bara negativa kvar när variabeln går mot ∞ är effektivt för polynom, men ibland är det värt att titta efter om det finns några andra förenklingar att göra först.

Men ja, om man övar på att kunna säga exakt vad det är som gör att ett visst uttryckt är problematiskt (dvs varför det inte bara går att "sätta in gränsvärdet direkt") så blir det mer självklart vilken metod man bör använda i varje givet exempel.

Här är ett tidigare exempel i tråden gällande gränsvärden som jag svarade på här och framför allt här. "Knepet" för att enklast lösa den uppgiften var att identifiera att problemet var faktorn (x + 3) i nämnaren, och då också att även tredjegradsuttrycket innehöll en "dold" sådan faktor som trillade fram efter att ha brutit ut dess rötter. När dessa två (x + 3)-faktorer sedan var borta så var det inte längre några problem i uttrycket, och uppgiften var i praktiken löst. Genom att se vad problemet var så gick det att hitta en snabb lösning.

När man börjar blanda in exponentialfunktionen och logaritmer (eller för den delen trigonometriska funktioner, som du säkert får möta snart) så behöver man veta deras egenskaper. Exponentialfunktionen växer förr eller senare snabbare än polynom för positiva växande argument, den går mot 1 när argumentet går mot 0 och är definierad och går mot 0 när vi går mot −∞. Vi vet också att logaritmer växer långsammare än polynom för positiva växande argument, att de inte är definierade i x ≤ 0 (vilket är ekvivalent med att exponentialfunktionen alltid är > 0) och att de går vansinnigt snabbt mot −∞ när vi närmar oss 0 från höger. Dessa jämförande lärdomar är säkert uttryckta i din bok på en form likt "xʸ ∕ eˣ → 0, x → ∞", etc., vilka brukar kallas "standardgränsvärden", som man visar en gång och sedan har i sin verktygslåda för evigt. I praktiken så försöker man algebraiskt ändra om i sina gränsvärdesproblem tills man kan identifiera dessa standardfall.

I x → 0-fallet så har vi två problem: ln |0| är inte definierat (men går mot −∞), och polynomet i nämnaren går mot 0 (varför är inte 3ˣ ett problem?): vi får alltså ett "−∞ ∕ +0"-uttryck, vilket ju går mot −∞ så det bara visslar om det. En viktig detalj att visa är att tecknet i nämnaren gäller från både "höger och vänster", dvs både när vi går mot 0 på den positiva och på den negativa talaxeln. Det var kanske i detta steg du såg att någon bröt ut x⁴.

I x → −∞-fallet så tittar vi först på var problemen ligger: ln |x| går mot ∞ (om än långsamt), och polynomet i nämnaren går mot −∞ (varför är inte 3ˣ ett problem?): vi får alltså ett "∞ ∕ −∞"-uttryck, där "tricket" här blir att se om täljaren eller nämnaren är "snabbast" (och i viss mån tecknet på nämnaren, men det är rätt tydligt). Utifrån vad vi vet om logaritmer och polynom så kan vi återigen se svaret direkt, eller massera om uttrycket tills det blir än mer tydligt (exempelvis bryta ut x⁵ i nämnaren).

Grunden i båda lösningarna är att först identifiera och karakterisera problemet, och sedan möblera om tills vi har termer vars beteende vi känner att vi har kontroll på (här behövde vi "egentligen" inte möblera om så mycket alls).

Ett sätt är att skriva om uttrycket för att få en enklare jämförelse (typiskt med 0).

Flytta exempelvis över enligt
   eˣ − 1 < x eˣ
      ⇔ 0 < x eˣ − eˣ + 1
      ⇔ 0 < x − 1 + e⁻ˣ
där jag i sista ledet delade båda led med det positiva talet eˣ — en lärdom uppgiften troligen försöker förmedla är just att detta alltid är positivt för reella tal (jag antar att du bara vill titta på reella x då liknande jämförelser är rätt tandlösa om man tillåter imaginärdelar).

Kalla nu exempelvis högerledet för f och kontrollera var f > 0, med de vanliga verktyg som används för att kontrollera funktioners uppträdande (jag hade här nog valt att ställa upp ett teckenschema, men alla sätt är rätt (så länge de inte är fel)).

"Vet" och "vet" — det är bara ett sätt som jag tycker är en naturlig förenkling här, men det är inte nödvändigt. Här kunde olikheten 0 < x eˣ − eˣ + 1 förenklas till 0 < x − 1 + e⁻ˣ, vilket åtminstone jag tycker ser enklare ut. Det går lika bra att skippa detta för "kostnaden" att deriveringen i teckenstudien blir aningens mer komplicerad, men det är ytterst marginellt här. Dock så bör man inte vara rädd för att göra sådana saker, med kunskap om de eventuella fallgropar som man får se upp för (dela med 0 är förbjudet, och delar man med något negativt så vänds olikheten).

Att båda leden delas är för att vi måste göra samma operation på båda sidor om olikhetstecknet. Jämför med vad som gäller för "vanliga" ekvationer. Enda tillägget att tänka på här är det jag nämnde om att likheten vänds om man delar med något negativt.

Ett teckenschema inkluderar stationära punkter, randvärden och icke definierade punkter. Mellan dessa kollar man tecknet på derivatan, vilket ger om funktionen växer eller avtar. Mot icke definierade punkter kollar man gränsvärden, och i övriga intressanta punkter utvärderar man funktionen i sig.

Deriverar du uttrycket i högerledet — låt oss kalla det f — och kollar när f ′ = 0 så får du en stationär punkt. Kolla derivatans tecken på endera sida om denna och skriv upp motsvarande teckenschema, så kan du se för vilka x som f är större än 0, vilket alltså motsvarar de x för vilka den ursprungliga olikheten gäller. Saker förenklas lite i denna uppgift då den stationära punkten sammanfaller med villkoret för olikheten, vilket inte måste vara fallet (men i så fall löses genom att lista ut var funktionen "träffar" gränsen och lägga till dessa punkter i schemat), men det vet man inte förrän man räknat ut detta .

Jag har för den delen inte koll på i vilket sammanhang uppgiften gavs, och det kan säkert finnas fler sätt att lösa den på (som sagt: alla sätt är rätt, förutom de som är fel ), men ovanstående är ett relativt generellt sätt att attackera sådana problem. Din bok kanske förespråkar något annat just här.

Originaluppgiften kan ses här (PDF).

Uppgift 3: om a < 0 och x = √√√(a²) så gäller att: (varpå vi får ett par alternativ).
För att jämföra med alternativen så är det viktigaste att titta på vad som händer med den innersta roten. √y definieras som det icke-negativa tal vars kvadrat är lika med y. Vill vi förenkla den innersta roten här, dvs √(a²) (för reella tal används detta ibland som en definition av |a|) så måste vi se till att resultatet är icke-negativt, och eftersom vi får informationen att a i sig är negativt så måste vi slänga på ett tecken: −a blir ett positivt tal då a < 0. Som räkneexempel så har vi att √(2²) = √4 = 2, men även √((−2)²) = √4 = 2. Om a = −2 så blir alltså √(a²) inte a = −2, utan −a = −(−2) = 2. Jämför även med hur |a| = a för positiva a, men |a| = −a för negativa a.

Uppgift 4: om a < 0 och x = ∛∛∛(a³) så gäller att: (varpå vi får ett par alternativ).
Här har vi egentligen inget bekymmer utan kan göra den "vanliga" förenklingen med potensregler, då ∛() är definierat för både positiva och negativa argument. ∛(5³) = ∛125 = 5 och ∛((−5)³) = ∛(−125) = −5, inga konstigheter. ∛() busar alltså inte med tecknet på något sätt, så det finns ingen anledning att införa ett extra sådant (och skulle man göra det blir det fel).

Lite luddigt skrivet så här på kvällskvisten kanske, men jag hoppas att åtminstone räkneexemplen ska göra det tydligt vari skillnaden mellan problemen ligger.

Mja, det där med att √(−1) = ⅈ är lite bekymmersamt, eller snarare onödigt, att blanda in. "Egentligen" är den "vanliga" kvadratroten inte definierad för negativa argument, men när man går in på de komplexa talen med definitionen ⅈ² = −1 så lägger man samtidigt till konventionen att √(−1) = ⅈ. Man kan notera att det finns en viss godtycklighet här, för exempelvis så borde ju även −ⅈ vara en rot till −1, eftersom (−ⅈ)² = −1, men att man i detta fall väljer +ⅈ som lösning är analogt till provuppgiften här.

Vi kan direkt titta på den innersta biten √(a²) och se att detta tvingar fram det där tecknet. Definitionen av kvadratroten ger att vi vill ha det icke-negativa tal vars kvadrat ger rotargumentet. Vi säger inte att √4 är −2, trots att (−2)² = 4. När vi skriver roten så väljer vi alltså en lösning. För att matematiken ska "hålla ihop" så måste man vara konsekvent med detta: ifall jag skulle få välja den negativa eller positiva grenen som jag vill så skulle jag kunna säga saker som
   4 = √4 ⋅ √4 = [nu väljer jag den negativa grenen av √() i ena fallet och positiva i andra] = −2 ⋅ 2 = −4
vilket ju uppenbarligen ser rätt risigt ut.

För att vara konsekvent så måste vi alltså i provuppgiften se till att välja den positiva grenen av kvadratroten, vilket, eftersom a < 0, ger att vi måste skriva −a.

Kubikroten (och uddavärda rötter i allmänhet) har inte riktigt detta bekymmer när vi begränsar det till reella tal, då det inte finns någon godtycklighet eller något val inblandat i att skriva exempelvis ∛125 = +5: det finns ju bara det reella talet som upphöjt till 3 blir 125, för (−5)³ = −125 ≠ 125. Därför kan vi också utan risk definiera ∛() för negativa argument. I finare ord säger man att funktionen f(x) = x³ från ℝ → ℝ är bijektiv, med inversen f⁻¹(y) = ∛y, men kärnan i uppgifterna är bara att vara medveten om definitionen av kvadratroten √().

Sommarmattematerialet som jag skriver om med jämna mellanrum här på forumet innehåller nog egentligen alla de grunder man behöver. Utöver det så behöver man dock öva, öva och öva på mer invecklade uppgifter. Just de gamla intagningsproven låter väl som en bra källa att öva på; de verkar bara presentera svar snarare än kompletta lösningar vad jag kan se, men det kan vara ledning nog i många fall. Är det en uppgift man inte förstår så går det säkert att gå tillbaka och läsa motsvarande del i Sommarmattematerialet för att försöka se vad som felar. Fysikdelen skulle jag säga är svårare att plugga på, då jag inte vet något motsvarande material som sammanställt redogör för dess grunder på samma sätt, utöver Wikipedia eller liknande som dock blir rätt trubbigt.

Två av de högst ansvariga för provet och Teknisk fysik samt Teknisk matematik på Chalmers presenterade en utvärdering 2011 (PDF) där de bland annat skriver att Sommarmatteprojektet "officiellt" rekommenderas som en väg att ge elever material att öva på inför provet.

Redigering: Lade till länk till Sommarmatteinformationen, enligt senare uppenbarelse.

Så om du då "bryter ut" eˣ ur x eˣ − eˣ + 1 så får du
   x eˣ − eˣ + 1 = eˣ(x − 1 + 1 ∕ eˣ)
Delar du sedan med eˣ så blir bara det inom parantesen kvar, och potensdefinitioner ger att 1 ∕ eˣ = e⁻ˣ, vilket ger det uttryck jag skrev.

Att bryta ut eˣ ur varje term i uttrycket för att sedan dela bort det blir ju dock samma sak som att bara dela varje term med eˣ direkt.

På andra sidan olikheten hade vi 0, och 0 ∕ eˣ = 0, så där händer inte mycket. Detta säger i någon mån att högerledet inte kan "gå förbi 0" och byta tecken bara för att vi skalar uttrycket med en positiv faktor, vilket låter intuitivt vettigt.

Det är ingen generell sanning att man behöver utvärdera funktionen i fler specifika punkter. Kolla vilket tecken derivatan har på vardera sida om den stationära punkten x = 0, så kan du direkt få en kvalitativ bild av funktionen.