Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Hur kan beräkna den obestämda integralen int{ sqrt(x) * ln x dx. } ? Här ser jag att partiell integration ska användas. Men det kommer bara bli krånligare om jag kör det direkt då jag inte kommer kunna bestämma primitiva funktionen till andra termen efter partiell integration. Så hur ska man tänka när man har en sån här uppgift och inte kan köra partiell integration direkt? Då kanske man ska göra variabelbyte för finns ju inte så många olika sätt men har ingen aning om vad man ska göra variabelbyte med.

Har du verkligen testat alla alternativ för derivering och integrering? Om något ser besvärligt ut att integrera är det kanske den man bör derivera...

Aa det är sant, kan köra det ändå såg jag nu. Då får jag 2/3 * x^(3/2) * ln x - int{ 2/3 * x^(3/2) * 1/x dx }. Då får jag 2/3 * x^(3/2) * ln x - 4/15 * x^(5/2) * ln |x| + C. Men det verkar som att facit förenklade bort 1/x i integralen, försvinner den för man har x vid första termen eller hur förenklar de bort den?

Ja, x^(3/2)*1/x blir ju x^(1/2) på samma sätt som till exempel x^2 * 1/x blir x^1.

Aa det är sant, då får jag 2/3 * x^(3/2) * ln x - 4/9 * x^(3/2) + C. Stort tack för hjälpen!

Hur kan jag beräkna int{e^-x * cos2x dx } ? Hade ett liknande uppgift i boken och på den när man körde partiell integration fick man bara tillbaka det usprunliga. Men då körde man partiell integration 2 gånger och fick 2I = något här. Men om jag kör partiell integration så får jag -e^-x * cos2x - int{-e^-x * 2sin2x dx }. Sen igen: -e^-x * cos2x - (e^-x *2sin2x - int{e^-x * 4 cos2x dx } ) men får 4 cos2x istället för cos2x som var det jag började med. Hur går jag vidare eller kan man lösa den på något annat sätt?

Det där låter dock som
I = -e^-x * cos2x - (e^-x *2sin2x -4*I)
det borde man kunna göra något med.

Hur går du från -e^-x * cos2x - (e^-x *2sin2x - int{e^-x * 4 cos2x dx } ) till I = -e^-x * cos2x - (e^-x *2sin2x -4*I) ? Och vad är I inuti parantesen?

I som i ditt första exempel alltså, där du hade 2I. Nu blev det inte 2 utan något annat, men principen är ungefär densamma.

Okej men varför blev det -4*I?

Det tar jag inget ansvar för; huvudsaken är att man kan lösa ut det och därmed se vad det blir.

Kom på hur man skulle göra nu, tack för hjälpen!

Har en annan uppgift som jag inte vet hur man ska lösa. Ska beräkna int{ dx/(x^3 + 2x^2 + 5x) }. På tidigare uppgifter har man kört pbu, men skulle behöva faktorisera nämnaren vilket känns riktigt klurigt. Hade varit enkelt att köra kvadratkomplettering om jag haft en andragradare, men inte säker på hur jag ska göra nu. Behöver inte köra polynomdivision då täljaren har lägre grad än nämnaren.

Inte för att det hjälper så mycket för kvadratkomplettering kanske, men allt i nämnaren verkar ju innehålla x, så en rot har man i alla fall.

Aa man kan bryta ut x då får man x(x^2+2x+5). Men det kan man ju kvadratkomplettera. x*((x+1)^2 +4). Har för mig att man kunde göra variabelbyte på t=x+1 sen men är inte säker på vad det ska leda till..

partialbråksuppdela och håll det där variabelbytet i minnet om du behöver det senare.

Köra pbu på det ursprungliga? Känns konstigt att göra det och få (ax^2 + bx + c)/(x^3 + 2x^2 + 5x), eller menar du på dx/x*((x+1)^2+4)?

Det senare ser ju ut som något som skulle kunna ge något. Testa.

Okej då får jag A/x + (Bx+C)/((x+1)^2 + 4). Sen skriver jag gemensam nämnare och kommer till ekvationssystemen: A+B = 0, 2A+C = 0, 5A = 1. Det ger A=1/5, B=-1/5 och C = -2/5.

Då får jag 1/5x - ((1/5x) - 2/5)/((x+1)^2 +4). Men det känns inte rätt, om det är rätt, ska jag utveckla parantesen och skriva på gemensam nämnare?

Tänk på att använda parenteser (eller att i alla fall vara konsekvent); 1/(5x) + (-(1/5)x - 2/5)/((x+1)^2 +4) menar du väl? Gemensam nämnare behövs nog inte; dela upp den så mycket som möjligt istället och integrera en del i taget.

Aa menade det där. Men vet inte hur jag kan dela upp det. Att integrera 1/5x kan jag fixa, men har ingen aning hur man ska göra på den andra termen.

Då får du alltså
1/5*∫dx/x -1/5*∫x*dx/((x+1)^2+4) -2/5*∫dx/((x+1)^2+4)
Hur man skall göra på de två senare är kanske inte uppenbart, men x i täljaren är ju ungefär som nämnarens inre derivata. Man kan ju testa att göra som med den första termen och se vad resultatet blir; kanske kan man fixa eventuella detaljer senare.

I den tredje kan man göra det där variabelbytet för att hamna på formen
1/(t^2 +1)
Den derivatan känner man lämpligen igen.

Okej men för 1/5*∫dx/x får jag 1/5 ln |x|. Sen för 2/5*∫dx/((x+1)^2+4) får jag 4/5 * arctan t/2. Men vet inte hur man ska bestämma primitiva funktionen till den i mitten.

Om man tänker sig det där x i täljaren som något som ges av en inre derivata räcker det dock att hitta på något som ger (x+1)^2+4 i nämnaren. Tänk på hur du gjorde när du behövde x i nämnaren nyss...

Hmm förstår inte riktigt..

∫dx/x gick ju bra; vad händer om man försöker göra på samma sätt med ∫dx/((x+1)^2 +4)

Den där får man göra variabelbyte och sen dividera med 4 för att få det till arctan.

Nja, fast nu hade man ju ett x i täljaren också (som vi bortsåg från då det ser ut som en inre derivata). Försök antingen att göra likadant som med den tidigare och se vad som händer, eller gör variabelbytet t = (x+1)^2 eller liknande.

Okej men om jag gör variabelbytet t=x+1 får jag dt=dx. Det ger int{(t-1)/(t^2 + 4) * dt. Då får jag int{t/(t^2+4) dt } - int{1/t^2 + 4 dt}. Den andra är ju arctan men vad kan jag göra med den första?