Jag har samma problem som vad du har, och jag har en Google Pixel 6a och använder Privacy Browser och Firefox i arbetsprofilen. Problemet uppstod efter en uppdatering av Bitwarden-appen (om det var den senaste eller en tidigare uppdateringen, ingen aning).
Jag tror dock att det beror på vad man har gjort för val i batteriförbrukningen för appens systeminställningar. Den var på valet "Optimerad" innan jag bytte till "Obegränsad". När den är på "Optimerad" kan Android själv bestämma om appen ska få konsumera batteri (vara i bakgrunden) eller inte, beroende på hur du använder appen. Efter att jag gick till pixelfed.social och tryckte på ett av textfälten på logga in-sidan, fick jag valet om automatisk ifyllning via Bitwarden. Detta valet försvann såklart när jag tvingade Android att avsluta Bitwarden via appens systeminställningar, precis som vad jag trodde.
Så personligen tror jag att problemet är såpass enkelt att Android har stängt ner Bitwarden-appen i bakgrunden för att den konsumerade för mycket batteri. Detta kommer aldrig att ske i och med valet "Obegränsad". Ska testa att ha det såhär i några dagar. Om problemet kvarstår trots detta, återkommer jag med ett nytt inlägg i den här tråden.
Fotnot: om du tvingar ett avslut för Bitwarden-appen, så måste du gå till appens inställningar och återaktivera automatisk ifyllning.