vilket ddr4 till mitt moderkort, samt hur mycket max får jag ha. bästa för priset?

Skriv datorns exakta namn för märkesdatorer är knepiga att hitta rätt manualer till och det går inte att söka på "moderkortesnamnet" för det verkar inte vara hela namnet.
En gissning är att det inte bör vara nått problem att använda 16 Gbtye stickor men större än så kanske inte funkar.
Eftersom du antyder att det är en vanlig desktop så är det inte laptopminnen och eftersom det är en märkesdator lär den inte gå att överklocka så 3200-36000 MHz lär vara maxfrekvens.
Utan att veta mer detaljer så är jag ganska säker på att tex https://www.webhallen.com/se/product/330746-Corsair-Vengeance... borde funka men för att veta med säkerhet måste du veta exakt vilken dator det är och annars får du prova men 2x16 Gbyte 3200MHz standardminne borde funka.

Den har i vart fall 3200MHz minnen original. Jag hittar inga säkrqa uppgifter på den men är rätt säker på att 2x16 funkar, kanske funkar även 2x32 men det är lite mer chansning i så fall och det är väl inte heller nån datortyp som man bygger ut på det sättet.

Jag har tidigare länkat till ett 2x16 Gbyte 3200MHz kit och jag har inte ändrat mig utan tror att det funkar och är osäker på om du kan använda 32 Gbyte minnesstickor utifall du velat ha 64 Gbyte (och det är nog ändå lite fel datortyp att ha 64 Gbyte)
https://www.webhallen.com/se/product/330746-Corsair-Vengeance...

Om du vill chansa lite på att det går att köra 3600 MHz så
https://www.webhallen.com/se/product/320867-Corsair-Vengeance...
Jag vet inte hur nerlåst en HP är, har du tur funkar det men original går den i vart fall i 3200 MHz även om 5600g optimalt körs på 3600 MHz.
3600 MHz minnena går att köra i 3200 MHz och de kostar 100 kr mer så det är inte så dyrt att chansa och hoppas att moderkortet går att ställa in på 3600 MHz.

Eller så får du besöka en butik eller kompis och låna minnen och prova dig fram.

Nej det borde inte behövas men du kan kolla om du kan ställa in så du kan köra 3600MHz på minnesbussen för det är bästa frekvensen mot en 5600g så går det att få till den frekvensen vore det optimalt att använda 3600 MHz minnen och köra på det.

Om det du skriver gäller för det moderkortet så är som sagt 2x16 Gbyte och 3200 MHz det bästa du kan utnyttja.

Du gissar lika bra som nån annan, du har en märkesdator och de är svåra att få tag på alla tekniska detaljer om, det finns inget uppenbart som hindrar att du har grafikkort men det kanske finns nån artificiell spärr.
En apu är inte bästa valet om man ska ha grafikkort men de går att använda men motsvarande cpu ger bättre prestanda mot ett grafikkort.

Om jag fattar rätt så är lådan bara 30 cm djup och nätagget är på 350W, och ventilationen har nog kanske också sina begränsningar...
Så du kan nog inte stoppa i speciellt mycket kraftigare grejer innan utrymmet och strömförbrukningen börjar bli ett problem!
Ett 3050 drar ungefär samma ström så borde funka gällande den biten, men jag vet inte på rak arm hur mycket du skulle tjäna i prestanda på att göra det. (och återigen: kolla måtten!)

Ett 3060 drar uppemot 40-50W mer så kommer bli varmare och belasta nätagget hårdare!
Några kort har även två PCI-E strömkontakter, vilket det är risk du inte har tillgängligt i din dator, så undvik dem. (Håll dig överlag till kort som inte har massa fokus på prestanda med överklock osv, då det bara lär vara ivägen och kosta extra för ingen vinning för dina behov) Och som sagt säkra måtten att kortet faktiskt ryms i datorn.
I slutändan är det ändå en viss risk att du belastar nätagget och temperaturerna mer än vad chassit är byggt för. Kolla om HP har några rekommendationer för det.