Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

5x^2-(2x+1)(x-3)=3(x+4)(x-4)

<=>

5x^2 - (2x+1)(x-3) - 3(x+4)(x-4) = 0

<={öppna paranteserna}=>

5x^2 - (2x^2 - 5x - 3) - (3x^2 - 48) = 0

<=>

5x^2 - 2x^2 + 5x + 3 - 3x^2 + 48 = 0

<=>

5x + 51 = 0

<=>

x = -51/5 = -10.2

Jag hade nyss matteprov, och undrar över ett par frågor:

1) Tänk dig en triangel ABC, där basen AB är 10 cm, och AC = BC (alltid likbent). Om man drar en höjdlinje från basen till C så kalla längden på denna x. Vi vet att x ökar 2 cm per sekund. Hur snabbt ökar vinkeln vid C när triangelns sidor är alla lika långa?

Jag gick till väga så att jag tänkte att dA/dt = dx/dt * dA/dx, där A är den totala vinkeln vid C. Sen ställde jag upp att A = 2*arctan(5/x), deriverade för att finna dA/dx, och använde sen ekvationen ovan när x = sqrt(75) cm (då är AC och BC 10 cm). Stämmer denna metod och uppställning? Ännu bättre, kan någon kolla om svaret är -0.2 radianer per sekund?

2) Denna fråga är nog väldigt svår att beskriva utan bild. Tänk dig enhetscirkeln. Rita en linje från origo O till cirkeln med vinkel alpha. Kalla denna punkt på cirkeln A. Kalla punkten B för punkten du hamnar på om du tar cos(0) i enhetscirkeln. B_1 är punkten direkt nedanför A på linjen AB.

Skapa en ny punkt på linjen OA som du kallar A_1. Dra en cirkelbåge från A_1 till punkten B_1. Skapa en ny punkt B_2 direkt under A_1 på OB. Skapa en ny punkt A_2 på OA. Dra en cirkelbåge från A_2 till B_2... och så vidare tills du har ett oändligt antal cirkelbågar. Vad är summan av cirkelbågslängderna AB + A_1B_1 + A_2B_2 ... ?

Jag antar att det inte alls går att förstå vad jag menar. Dock vet jag att jag har sett liknande problem förr, så någon kanske känner igen problemet och vet vad jag menar.

Tack för all hjälp. Det är främst tvåan jag vill ha hjälp med. Väldigt svår uppgift.

Ettan blev -0,2 radianer/s för mig med. Tvåan förstår jag inte riktigt, är punkten B = (1, 0)...?

Japp, B = (1,0). Jag skulle lägga ner tiden på att rita en bild om jag kunde.

Jag tror jag har löst den. iaf fram till summan som jag inte riktigt kan

Iaf. s(x) = sträckan av cirkelbågen, d.v.s en stegfunktion för varje iteration

alltså är totala sträckan summan av s(0) + s(1) + s(2) + ... + s(inf)

s(x) = a*r(x)
när a är mätt i radianer

så då kan vi lika gärna skriva
Totala sträckan = a(r(0)+r(1)+...+r(inf))

r(0) = 1 = cos(a)^0
r(1) = r(0)*cos (a) = cos(a)^1
r(2) = r(1)*cos(a) = r(0)*cos (a)*cos(a) = cos (a)^2

alltså kan r(x) formuleras som
r(x) = cos(a)^x

vilket ger

Totala sträckan = a(1+cos(a)+cos(a)^2+...+cos(a)^inf)

edit: enligt mathematica kan summar skrivas som
1/2 * Csc[a/2]^2

Fast jag har inte den blekaste vad Csc ens betyder

edit igen! kollade lite i hjälpen

Csc = 1/sin
så med lite mer bekanta uttryck blir det
1/2 * Sin[a/2]^-2

Det är nog rätt, och summan beräknas med (1/(1 - cos(a)), så att den totala sträckan är a/(1 - cos(a)). r(x) är alltså radien av cirkeln, OA_x. Dock förstår jag inte varför radien kan beräknas av den föregående radien gånger cos(a). Vill du förklara?

csc är 1/sin. Jag vet inte var den får det hela ifrån, men serien du har hittar är bara en geometrisk serie med "r" som cos(a) i a_n = ar^(n - 1). cos(a) är ju bara en konstant. För en oändlig konvergent geometrisk serie är summan (a/(1 - r)), alltså 1/(1 - cos(a))

Ja punkten B_1 är ju ganska öppenbart r_1 *cos(a)

och sträckan OB_1 är ju den nya radien.

och till den andra meningen. .. ja? cos(a) är en konstant ja. Vet inte riktigt vart du vill komma. Förstår du att den nya radien är cos(a) * föregående radien så blir allt ganska klart.

edit: en sån fuling du skrev klart efter att jag skickat jo mathematica brukar ha lustiga förkortningar minst sagt. Själv har jag inte räknat summor på evigheter.

Min andra mening betyder bara att summan inte är komplicerad, utan det är bara att använda formeln för en vanlig oändlig konvergent geometrisk serie, ty cos(a) < 1

EDIT: Jag har fel. Klart att OB också är radien. Det är jag som tänker fel. Det var nog det som gjorde att jag inte klarade uppgiften. Du löste den. nice. Tack.

Hur löser man detta tal: roten ur 8 - roten ur 2

Försökte med ASCII tecknen men fick inte "roten ur" tecket att funka.

Svaret är roten ur 2, men hur räknar man det....

sqrt(8)=sqrt(2)*sqrt(4)
vilket kommer ge oss att sqrt(8)-sqrt(2)=sqrt(2)(2-1) =sqrt(2)

Hej! Behöver hjälp med några för er väldigt simpla tal

1. I triangeln ABC är vinkeln B 11grader större än vinkeln A.
Vinkeln C är 23grader större än vinkeln B.
Hur stora är triangelns vinklar?

2. På en ritning har informationen om ritningens skala fallit bort.
Du vet att ett fönster i verkligheten är 180cm brett, på ritningen 36mm brett.
Hur långt är ett rum i verkligheten om det på ritningen har längden 86mm?

Går i 8'an, men är ifrån 9'ans bok

1'an, vad menas med vinklarna? Är det inte bara att vinkeln B är 11 grader, men de står ju redan, verkar luddigt :S

1) Det står faktiskt inte att vinkeln B är 11 grader, utan att den är 11 grader STÖRRE än vinkeln A (som inte är känd än). Vi har alltså att B = A + 11, och C = 23 + B = 23 + A + 11. Vad kan du om en triangels vinkelsumma?

2) Om 36 mm på ritningen motsvarar 180 cm i verkligheten, vad blir då 1 mm på ritningen i "verklighets-centimeter"?

36 förhåller sig till 180 som 86 förhåller sig till X uttrycks matematiskt som

36/180 = 86/X

Hur gör en miniräknare när den räknar ut att ex; tan(32) ~ 0.625, vilken algoritm används alltså?

Och vad är tan en förkortning på (för det är väll en förkortning)?

"tan" står för "tangens" ("tangent" på engelska). Om jag förstår rätt använder de flesta miniräknare CORDIC-algoritmen för att beräkna värden av de trigonometriska funktionerna. Man kan annars approximera många funktioner med oändliga summor (som då kan trunkeras efter ändligt många termer på ett sådant sätt att man får den noggrannhet man vill ha). Se Mathworld för ett par exempel.

Okej, tack

har en liten gullig historia här jag skulle behöva lite hjälp med:

Två ridintresserade systrar har länge önskat sig en egen paddock (ridbana) hemma på gården där de bor.

Paddocken ska ha en rektangulär form och placeras så att två av dess hörn ligger mot grusvägarna och dess långsida ligger utmed asfaltvägen.

Systrarna vill att deras paddock ska ha så stor area som möjligt för att få stor plats att rida på. De beräknar därför ett samband mellan paddockens area och långsida.

Sambandet ser ut enligt följande:
A(x) = 84x-0.48x^2
där A(x) är paddokens area i kvadratmeter och x är paddockens långsida i meter.

Bestäm paddockens största möjliga area.

Då jag inte har en scanner kan ni inte få se bilden på vägarna men rektangeln ska ligga inuti en triangel med sidorna 105m, 140m och 175m.

Wait, det var lättare än jag trodde. x = 87.5m.

Följuppgiften: "När sytrarna bestämt paddockens största möjliga area tycker de att paddockens långsida blir alltför lång i förhållande till bredden. Systarna bestämmer sig då för att paddockens långsida ska vara 70 meter. Vilken bredd får paddocken?"

A = b*l så b = A(70)/70

raol: såklart. galet enkelt tack så mycket.

Ytterligare matteprov idag. Det fanns en svår uppgift som jag inte klarade, löd ungefär så här: "u and v are unit vectors. Prove that the vector (u + v) bisects the angle between u and v."

Jag kom inte ens in på rätt riktning. Ideer, förslag?

Antag att vinkeln mellan u och v är t, och att vinkeln mellan u och (u + v) är a. Det gäller då att visa att a = t/2 <=> t = 2a. (Och liknande för vinkeln mellan v och (u + v) antar jag, men det bör la bara vara att byta ut u mot v i nedstående resonemang).

Massa ekvationer får vi:

u.v = |u||v|cos(t) = cos(t),
|u + v|^2 = (u + v).(u + v) = u.u + 2u.v + v.v = 2 + 2cos(t),
u.(u + v) = |u||u + v|cos(a) = |u + v|cos(a).

Sista likheten kan skrivas;

u.u + u.v = |u + v|cos(a)
=>
(1 + cos(t))^2 = |u + v|^2 * cos(a)^2 = (2 + 2cos(t)) * cos(a)^2
=>
(1 + cos(t))^2 = (2 + 2cos(t)) * cos(a)^2
=>
(1 + cos(t))^2 = 2(1 + cos(t)) * cos(a)^2 ... (*)
=>
1 + cos(t) = 2cos(a)^2
<=>
cos(t) = 2cos(a)^2 - 1
<=>
cos(t) = cos(2a).

Sen får man använda nån magi som säger att t och 2a ligger i "rätt" interval (så att sista ekvationen medför t = 2a). Vid (*) bör man nog kolla så man inte delar med 0 också.

u.u + u.v = |u + v|cos(a) => cos(a) = (1 + cos(t))/|u + v| >= 0 (ty cos(t) >= -1)
Därmed ligger a i intervallet [0,pi/2] (vi bryr ju oss bara om vinklar i intervallet [0,pi]) dvs 2a ligger i [0,pi] liksom t, och eftersom att cos är strängt avtagande i detta intervall kan vi säga att cos(t) = cos(2a) => t = 2a

1 + cos(t) blir noll bara om u = -v, och då är u+v = 0 och frågan är meningslös.

Tack till både Muzzafarath och raol. Jag hänger inte riktigt med just nu, men jag ska kolla mer imorgon när jag inte är lika trött.

Jag har en fråga till, om principen i matematisk induktion. Det var en uppgift där man definierade T_n(x) = cos(n*arccos(x)), n \in Z+. Man skulle med induktion bevisa att T_n(x) alltid var ett polynom av gradtal n. Jag lyckades visa att påståendet är sant för n = k+1 OM det är sant för både n=k och n=k--1. Sen visade jag att det var sant för både n = 2 och n = 1, och därför borde det gälla för n = 3,4,5... I vanliga fall betraktar man ju bara n=k+1 och n=k, och inte n=k-1. Håller principen ändå?

Ja. Bevis:
Antag att P(n) är ett påstående och P(1) och P(2) är sanna samt att (P(k) och P(k+1)) => P(k+2)
Lås S(n) vara påståendet att P(n) och P(n+1) är sanna.
S(1) är sant enligt antagandet.
Enligt antagandet har vi att S(k) => P(k+2) och därmed S(k) => S(k+1)
Enligt induktionsprincipen är S(n) sant för alla n = 1, 2, 3, ... och det följer (ty S(n) => P(n)) att P(n) är sant för alla n = 1, 2, 3, ...

har fastnat på en separabel diff ekv

man ska lösa (x^2 + x)*y'=y^2
efter omskrivning

y'/(y^2) =(1/(x^2 +x))dx

det är här jag fastnar då man ska integrera saken...

När du integrerar vänsterledet så får du -1/y
1/(x^2 + x) = 1/((x + 1)*x) = (x + 1 - x)/((x + 1)*x) = 1/x - 1/(x+1)
Integralen av detta är ln|x| - ln|x+1| + C

tackar.. det var där blev jag osäckert.
han en annan problem som jag får inte rätt svar på

y''-y'-6*y=x*e^(-3x)
antag u''-u'-6*u=x*e^(-3x)
ansätt u = z*e^(-3x)
då u' = z'*e^(-3x) -3*z*e^(-3x)
och u'' =z''*e^(-3x) -6*z'*e^(-3x) + 9*z*e^(-3x)
så z''*e^(-3x) -6*z'*e^(-3x) + 9*z*e^(-3x) -(z'*e^(-3x) -3*z*e^(-3x))-6*(z*e^(-3x))=x*e^(-3x)
förkortar e^(-3x)
z''-7z'+6z=x
ansätter z = ax+b //1'a grads polynom
z'=a
z''=0
så -7a+6ax+6b=x
som ekv.s
6a=1 => a=1/6
-7a+6b=0 => b= 7/36

återgår till ursprungliga ekv ger
(1/36)*(6x+7)*e^(-3x)

detta doch är fel, vilket har tyngt mitt hjärna, hopps någon han ge klarhet i detta?!

Du har glömt att du först måste lösa den homogena diffen. y''-y'-6*y=0, därefter adderar du den homogena lösningen till partikulärlösningen för högerledet. x*e^(-3x)

Eftersom det är antidubbelpost så kan jag passa på att posta två frågor som jag har lite problem med.
1. Hur många permutationer av de 28 bokstäverna i det svenska alfabetet innehåller varken orden kurva eller vagn?

Om U får beteckna alla permutationer så borde |U|=28!
Om A får beteckna alla permutationer som innehåller ordet Vagn så torde |A|=25!
B de som innehåller ordet Kurva |B|=24!,
|AU(union)B|= 22!. Antalet permutationer som varken innehåller Kurva eller vagn är då lika med 28!-(25!-22!)-(24!-22!)?

2. Lös den diofantiska ekvationen 91u^2+234v^2=4108, är det bara att göra substituonen u^2=x v^2=y och lösa den diofantiska ekvationen 91x+234y=4108 och därefter lösa u^2=x v^2=y för alla x,y, och förkasta de lösningar som inte är heltal?

I ett träd finns 11 fågelbon. Fågelmammorna är där minst 13 min / h. Hur stor är sannolikheten att du träffar på minst en fågel under dagtid?

Jag antar att med "dagtid" menas 24h / 2= 12h

Tänker jag rätt om jag gör så här?:

Under en timme är sannolikheten för att se fåglarna 13/60. Dock så står det ju "minst en fågel", så jag delar 13/60 med 11, alltså (13/60) / 11

Sen multiplicerar jag med 12 eftersom det hela gäller "dagtid".

(13/60) / 11 = ~0.0197

12 * 0,0197 = 0,2364

Rätt??

1. Du menar |A snitt B| = 22!, (unionen kan ju inte bli mindre!), permutationerna som innehåller både vagn och kurva.
Sedan söker vi |U\(A union B)| = |U| - |A union B|
|A union B| = |A| + |B| - |A snitt B|
dvs |U\(A union B)| = 28! - 25! - 24! + 22!

2. Så borde det vara ja.