Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Nice

Ska vara (50+2x)/10 =(325+x)/60 vilket ger x = 2.27 m.

Detta behandlar asymptot och kurvkonstruktion:

Konstruera grafen till funktionen f(x)= (4x+5)(3x-6)

Först definerar man detta dvs x=2 = en vertikal asymptot (varför man gör detta vet jag inte?)

f(x)/x = 4 + (5/x) / (3 - 6/x) -->0= k då x--> +-oändligheten.

Hur kommer det sig att k=0 ??? jag är lite konfunderad hur man i överhuvudtaget får k!
_____________________________________________________________________

Ett annat exempel där f(x)= x^2/ sqrt((x^2) -9)
f(x)/x = x/ sqrt((x^2) -9) = 1/sqrt(1- 9/(x^2) )=>1=k

Hur kommer det sig att k blir 1 här och varflör sätter man i 1 i x ??som i x/ sqrt((x^2) -9) = 1/sqrt(1- 9/(x^2) ).
_________________________________________________________________________

Vidare undrar jag när man skall erhålla m dvs f(x)-kx--->m:

f(x)-kx = [ x/ sqrt((x^2) -9) ] -x = (x^2)-(x sqrtx^2 -9) /sqrt((x^2) -9)=x^4 -x^2(x^2 -9)/(sqrt x^2 -9) (x^2 +xsqrt(x^2-9))=> 0 =m
dvs y=x ; sned asymptot.

jag är lite konfunderad hur man i överhuvudtaget får m!

Hur får man fram att f(x)-kx = [ x/ sqrt((x^2) -9) ] -x plötsligt blir (x^2)-(x sqrtx^2 -9) /sqrt((x^2) -9)?? och varför blir m=x???

Tack för all svar.

Strukturera dina inlägg bättre, det är väldigt grötigt och otydligt. Jag kan svara på ettan, resten är väldigt grötigt så jag vet inte riktigt hur jag ska tolka det.

f(x) = (4x + 5)/(3x - 6)

Det finns en vertikal asymptot eftersom när x -> 2 går f(x) mot ett obestämt uttryck.
Du har ju när x -> 2+ så (4x + 5)/(3x - 6) -> oo, men när x -> 2- så (4x + 5)/(3x - 6) -> -oo.
Därav har du en vertikal asymptot ...

Sen vill du veta vad som händer i ändpunkterna i kurvan, dvs vad som händer när x -> oo eller
när x -> -oo, ett bra sätt att göra detta är att på följande vis, du har (4x + 5)/(3x - 6) - men delar du både täljare och nämnare med x kan du få uttryck som är kända. Dela båda med x och då får du (4 + 5/x)(3 - 6/x), när x -> oo går 4 + 5/x -> 4, och 3 - 6/x -> 3, alltså när x -> oo
så (4 + 5/x)/(3 - 6/x) -> 4/3. Samma gäller när x -> -oo. Att r/x -> 0 när x -> +- oo och r ett
ändligt tal är ett standardgränsvärde.

Nu har jag formulerat om meningen lite bättre.

Detta behandlar asymptot och kurvkonstruktion:

Konstruera grafen till funktionen f(x)= (4x+5)(3x-6)

[formel:f(x)/x -->k]

f(x)/x = (4 + 5/x) / (3 - 6/x) -->0= k då x--> +-oändligheten.

Frågan här är ur kommer det sig att k blir noll? Varför inte 4/3 som jag fått det till? Förstår inte riktigt hur man tänkter för att få fram k.

En svårare uppgift är vad blir k här?(Som i talet ovan, hur tänker man för att få fram k?)
f(x)= x^2/ sqrt((x^2) -9)

f(x)/x = x/ sqrt((x^2) -9) = 1/sqrt(1- 9/(x^2) )=>1=k

_________________________________________________________________________

Tack för all svar.

Ska det inte vara (4x+5)/(3x-6) ? Annars kommer funktionen att gå mot oändligheten när x går mot +- oändligheten.

Tar teorin först...

Att y=f(x) har en asymptot y=kx+m då x går mot oändligheten definierar vi som att
f(x) - kx - m -> 0 =>
(f(x) - kx - m)/x -> 0 <=>
f(x)/x - k - m/x -> 0 <=>
f(x)/x - k -> 0 <=>
f(x)/x -> k

Observera att f(x)/x -> k inte nödvändigtvis innebär att y=f(x) har en asymptot i oändligheten då den första pilen inte är en ekvivalens.
För bekräfta att en asymptot finns måste vi undersöka gränsvärdet av f(x) - kx, om gränsvärdet existerar, så är det lika med m och vi har en asymptot.

Om (du har glömt divisionen?) f(x) = (4x+5)/(3x-6) så är f(x)/x = (4 + 5/x)/(3x - 6)
Täljaren går mot 4 och nämnaren mot oändligheten, dvs f(x)/x -> 0, "k = 0"
f(x) = (4 + 5/x)/(3 - 6/x) -> 4/3
dvs asymptoten är y = 4/3

Man kan ju lösa linjära diff-ekvationer genom att laplacetransformera ekvationen, hitta en lösning i frekvensplanet och sedan använda inversionsformeln. Exakt varför fungerar detta? Antar att y(x) är en lösning till ekvationen E(y(x)) = f(x) om och endast om Y(s) är en lösning till Laplace(E(y(x)) = L(f(x)) men jag vill gärna ha en bra förklaring till varför det går.

Det fungerar inte alltid. Man hittar bara laplacetransformerbara lösningar.

Men för laplacetransformerbara lösningar följer det väl i princip av entydigheten hos laplacetransformen.
För t.ex. första ordningens ekvaion y'(x) + p(x)y(x) = q(x)
så innebär ju lösningen mha laplacetransform att du antagit att alla termer är laplacetranformerbara och hittat ett y som ger vänsterledet samma laplacetransform som högerledet. Då följer det av entydigheten att diffekvationen är uppfylld.
http://www.sosmath.com/diffeq/laplace/basic/basic.html

När är en diffekvation inte laplacetransformerbar?

Tja, ta t.ex. y'(x) = x*y(x), y(0) = 1 som har lösningen y(x) = e^(x^2/2)
y är inte laplacetransformerbar.

roal:
men hur vet jag att laplace-lösningen verkligen upfyller den "ursprunliga" ekvationen?

Om jag laplacetransformerar en ekvation för en godtycklig lösning y, kan jag då alltid transformera tillbaka ekvationen även om jag ersätter y med en exciplit funktion? Så om jag har en ekvation f(y(x)), där f är given (exemeplvis y' + 5y) åså laplacetransformerar jag ekvationen. I den transformerade ekvationen sätter ja in laplacetransformen för t, ex x^2+x och transformerar tillbaka. kommer jag då att få 2x+1 + 5(x^2+x)? Altså om jag laplacetransformerar för en godtycklig funktion så kan jag ändå köra inversionsformeln hur "den godtyckliga" funktionen än ser ut? (Om den går att transformera)

a(b + 3a) - 3a(2a - 2b)

plz hjälp mig, fattar ingenting...

Ja inte vi heller. Du utelämnar troligtvis ett ytterst viktigt likamed tecken

Alltså... vad du då gjort är att du visat att för det y du fått fram så gäller att laplacetranformen av y' + 5y är lika med laplacetransformen av x^2+x, och pga entydighetssatsen gäller därmed att funktionerna är lika (sånär som på i enstaka punkter, men vi kräver ju en kontinuerlig funktion i en diffekvation).

Vad jag menar är i princip bara om detta resonomang e rätt:
Om ekvationen är y´+ y = delta(t) för att ta ett enkelt exempel
Då kan ja laplacetransformera och få

iwY + Y = 1 <=> Y = 1/(1+iw), dvs att iw (1/(1+iw)) + 1/(1+iw) = 1. Detta gäller såklart. Nu vill jag bara vara säker på att inversen av Y uppfyller den vanliga ekvationen.

När jag nu laplace-transformerar tillbaka ekvationen så Vet jag enligt räkneregelnerna att den kommer ha formen y' + y = delta(t), där y är inversen av Y, oavsett vad Y är. Eftersom båda sidorna har lika laplacetransform kommer de även vara lika när man transformerar tillbaka, vilket visar att inversen av Y löser ekvationen? (Pga att jag kan invers-transformera för vilken funktion som helst(som går att transformera altså) och ändå få ursprungsekvationen(fast med min lösning insatt) på högersidan och det vanliga vänsterledet.

Beräkna arean av torusen:
x = (2-cos(t) ) * cos(s)
y = (2 - cos(t))*sin(s)
z = sin(t)

Finns det något enkelt sätt att göra detta? Jag påbörjade att derivera och kryssa, men det blev väldigt långa uttryck och jag tvivlar på att någon klarar att hålla tungan rätt i mun för att få det rätt. Finns det något enklare sätt?

Den där minns jag att jag gjorde. Och det blev maffiga uttryck, men dock inte särskilt svåra. Det är bara att bita ihop och se till att inte tungan sticker iväg.

EDIT, ovanstående gäller nog åtminstone om det är flerdimmen. Den var väl dessutokm på något extrapapper?

Det har kommit en ny upplaga nu som vi använder, och där är den med.

Fastnade på en annan uppgift nu:

hur beräknas kurvintegralen x^2- y + 2ln(1+y) dx + (1+x)^2 / (1+y) dy över halva enhetscirkeln medurs från (-1,0) till (1,0).

Antar det ska ha ngt med Greens formel att göra, men jag har inte greppat det riktigt.

Figur 1:

Figur 2:

Förutsättning:
Vi har en godtycklig cirkelbåge och känner sträckorna a och b. (Se figur 1)

Problem:
Vi vill under ovan nämnda förutsättningar ta reda på r och v uttryckt
i radianer. (Se figur 1)

--- Mitt försök till lösning ---

Mina antaganden:
1) För varje cirkelbåge är radien och medelpunktsvinkeln bestämda.
2) För varje vinkel, v, finns en bestämd kvot mellan a och b,
oberoende av cirkelns radie.

Resonemang:
Om man först drar en bisektris genom v (se figur 2) får man två
rätvinkliga trianglar. Med hjälp av sinusfunktionen kan man då ta reda
på a om man känner vinkeln. Cirkelbågen b fås genom en vanlig
beräkning för längden av en cirkelbåge. När man tecknar ekvationer där
sträckorna a och b beror av v och r får man följande:

a = 2r*sin(.5v) a = 2r*sin(.5v)
b = 2[pi]r*v/2[pi] b = rv

Enligt antagande 2 bildas kvoten mellan a och b:

b/a = rv/2r*sin(.5v) b/a = v/2sin(.5v)

Det jag nu vill göra är att lösa ut v. Dock har jag inte kunnat hitta
någon analytisk lösning för denna ekvation.

Frågor:
Är mina antaganden 1 och 2 korrekta?
Är mitt försök till lösning på rätt väg?
Finns det något sätt att lösa ovan beskrivna problem analytiskt?
Vilka andra lösningsmetoder finns?

Jag har ingen lösning, men två kommentarer:

1) Varför måste antagande två vara med? Det är ju bara ett ekvationsystem mellan r och v som du löser. a och b är bara konstanter, du behöver inte dela dem, utan du kan använda additionsmetoder, substitution eller hur du nu vill lösa ekvationsystemet.

2) Jag TROR inte att man kan lösa ekvationer av typen v*sin(av) = b analytiskt.

Nej, du kan nog inte få ut v och r analytiskt.

Här har du lite formler: http://mathworld.wolfram.com/CircularSegment.html

det kanske har kommit upp förut men jagg orkade inte elta igenom hela tråden.
i höstas höll vi på med volym och sånt. hur räknar man ut volymen på en sfär? hur räknar man ut volymen på en kon? jag tror att det är r x r x 3.14 r=radie jag är ganska säker på att man även ska dela med ett tal, på kon tror jag att det är 3 men vad är det på sfär?

nej nej:

sfär = rotationsvolymen under y = sqrt(R^2 - x^2)

Hade du tänkt dig att de där skulle lära sig att integrera och sedan kunna tillämpa det? De kan ju inte ens memorera formlerna..

Lite annorlunda beteckning du har där Igor, Varför inte ^ istället för **

Iaf min fråga;
Jag skall ställa upp en matris i Matlab af formen

[a,b,c,b,a,0,0,0;
0,a,b,c,b,a,0,0;
0,0,a,b,c,b,a,0;
0,0,0,a,b,c,b,a]

Och gjorde först en loop som satte ihop denna ganska lätt. Men det skulle visst gå att göra med kommandor spdiags() också
Jag kan få det att fungera för matriser upp till 4 rader, men efter den börjar spdiags bygga upp matriserna helt annorlunda. Några tips? jag har provat alla möjliga kombinationer med att skicka indata transponerat hit och dit, men ack.

Har lite problem med en uppgift.

Jag har en rekrusiv algoritm, xn=ax(n-1) (mod m), alla värderma på de olika variablerna får man själv besäma. Frågan är hur stor den största talföljden kan bli, altså antal tal olika tal innan den börja upprepa sig själv igen.
Det visade sig att den länsgta talföljden ska vara m-1, och detta ska bevisas.

Jag har kommit fram till att m-1 är just de antal möjliga tal som kan förekoma i en talföljd, eftersom de varken får vara 0 eller m. Alltså kan ju en talföljd aldrig bli längre än detta. Men vad är det som säjer att talföljden kan bli m-1 lång?
Någon som har ett bra tips på hur man kan vissa detta, med figur eller vad som helst.

Du visar med induktion att x_n = a^n * x_0 (mod m)

Det minsta talet x så att a^x = 1 (mod m) kallas ordningen av a mod m. Det största möjliga ordningen för ett tal modulo m är phi(m), phi = eulers phi-funktion, och ett tal med denna egenskap kallas för en primitiv rot modulo m.
Om m är ett primtal så är phi(m) = m-1.

Man ser ju att om a^x = 1 (mod m) så är a^(x + n) = a^n (mod m), så talföljden a^n blir periodisk med period n. Vi behöver alltså ett tal a som är primitiv rot modulo m (och m måste vara ett primtal).

x_0 kan nu vara vilket tal som helst som är invertibelt modulo m, dvs relativt primt med m, och det är alla nollskilda tal mindre än m om m är ett primtal.

Du visar med induktion att x_n = a^n * x_0 (mod m)

Det minsta talet x så att a^x = 1 (mod m) kallas ordningen av a mod m. Det största möjliga ordningen för ett tal modulo m är phi(m), phi = eulers phi-funktion, och ett tal med denna egenskap kallas för en primitiv rot modulo m.
Om m är ett primtal så är phi(m) = m-1.

Man ser ju att om a^x = 1 (mod m) så är a^(x + n) = a^n (mod m), så talföljden a^n blir periodisk med period x. Vi behöver alltså ett tal a som är primitiv rot modulo m (och m måste vara ett primtal).

x_0 kan nu vara vilket tal som helst som är invertibelt modulo m, dvs relativt primt med m, och det är alla nollskilda tal mindre än m om m är ett primtal.

Se en bok i elementär talteori för bevis av dessa saker.

Edit: Lite om primitiva rötter och bevis av det som du behöver (corollary 3.1): http://www.math.swt.edu/~haz/prob_sets/notes/node38.html

5x^2-(2x+1)(x-3)=3(x+4)(x-4)

x=?